Что такое плавающая точка на клавиатуре

Обновлено: 18.05.2024

Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений. Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Кроме чисел двойной точности также используются следующие форматы чисел:

половинной точности (half precision) (16 бит),
одинарной точности (single precision) (32 бита),
четверной точности (quadruple precision) (128 бит),
расширенной точности (extended precision) (80 бит).

При выборе формата программисты идут на разумный компромисс между точностью вычислений и размером числа.

Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: [math] 0.01 = 0.001 \times 10^1 [/math] .

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

знак
экспонента (показатель степени) (в виде целого числа в коде со сдвигом)
мантисса (в нормализованной форме)

В качестве базы (основания степени) используется число [math] 2 [/math] . Экспонента хранится со сдвигом [math] -1023 [/math] .

Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
[math] x = (-1)^ \times (1.mant) \times 2^ [/math] .

В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
Вследствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
В формате double представимы числа в диапазоне [math] [2.3 \times 10^, 1.7 \times 10^] [/math] .

В нормализованной форме невозможно представить ноль. Для его представления в стандарте зарезервированы специальные значения мантиссы и экспоненты.

Согласно стандарту выполняются следующие свойства:

[math] +0 = -0 [/math]
[math] \frac< \left| x \right| >= -0\,\![/math] (если [math]x\ne0[/math] )
[math] (-0) \cdot (-0) = +0\,\![/math]
[math] \left| x \right| \cdot (-0) = -0\,\![/math]
[math] x + (\pm 0) = x\,\![/math]
[math] (-0) + (-0) = -0\,\![/math]
[math] (+0) + (+0) = +0\,\![/math]
[math] \frac<-\infty>= +0\,\![/math]
[math] \frac<\left|x\right|>= -\infty\,\![/math] (если [math]x\ne0[/math] )

Для приближения ответа к правильному при переполнении, в double можно записать бесконечное значение. Так же, как и в случае с нолем, для этого используются специальные значение мантиссы и экспоненты.

Бесконечное значение можно получить при переполнении или при делении ненулевого числа на ноль.

В математике встречается понятие неопределенности. В стандарте double предусмотрено псевдочисло, которое арифметическая операция может вернуть даже в случае ошибки.

Неопределенность можно получить в нескольких случаях. Приведем некоторые из них:

[math] f(NaN) = NaN [/math] , где [math] f [/math] - любая арифметическая операция
[math] \infty + (-\infty) = NaN [/math]
[math] 0 \times \infty = NaN [/math]
[math] \frac<\pm0><\pm0>= \frac<\pm \infty><\pm \infty>= NaN [/math]
[math] \sqrt = NaN [/math] , где [math] x \lt 0 [/math]

Денормализованные (denormalized numbers) - способ увеличить количество представимых числе в окрестности нуля. Каждое такое число по модулю меньше самого маленького нормализованного.< Согласно стандарту числа с плавающей точкой можно представить в следующем виде:

[math] (-1)^s \times 1.M \times 2^E [/math] , в нормализованном виде если [math] E_ \leq E \leq E_ [/math] ,
[math] (-1)^s \times 0.M \times 2^E_ [/math] , в денормализованном виде если [math] E = E_ - 1 [/math] ,

где [math] E_ [/math] - минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (единичный сдвиг), [math] E_ - 1 [/math] - минимальное значение порядка, которое он может принимать - все биты нули, нулевой сдвиг.

Ввиду сложности, денормализованные числа обычно реализуют на программном уровне, а не на аппаратном. Из-за этого резко возрастает время работы с ними. Это недопустимо в областях, где требуется большая скорость вычислений (например, видеокарты). Так как денормализованные числа представляют числа мало отличные от нуля и мало влияют на результат, зачастую они игнорируются (что резко повышает скорость). При этом используются две концепции:

Flush To Zero (FTZ) - в качестве результата возвращается нуль, как только становится понятно, что результат будет представляться в денормализованном виде.
Denormals Are Zero (DAZ) - денормализованные числа, поступающие на вход, рассматриваются как нули.

Начиная с версии стандарта IEEE 754 2008 года денормализованные числа называются "субнормальными" (subnormal numbers), то есть числа, меньшие "нормальных".

Таким образом, компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] y [/math] , если [math] 1 \lt \frac \lt 1 + \varepsilon_m [/math] . Из свойств чисел двойной точности следует, что для них [math] \varepsilon_m = 2^<-54>[/math] .

Мера единичной точности используется для оценки точности вычислений.

Приведем пример кода на Python, который показывает, при каком значении числа [math] x [/math] компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] x + 1 [/math] .

То есть [math] x = 2^ [/math] , так как мантисса числа двойной точности содержит 53 бита (в памяти хранятся 52). В C++ для расчета расстояния между двумя числами двойной точности можно воспользоваться функцией [math] \mathrm [/math] .

[math] a \oplus b = (a + b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m [/math] ,
[math] a \ominus b = (a - b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m [/math] ,
[math] a \otimes b = ab (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m [/math] .

[math] \forall a, b, c \in D^2, \tilde = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) [/math]

[math] \exists \tilde \in D: [/math]

[math] \tilde \gt \tilde \Rightarrow (b - a) \times (c - a) \gt 0 [/math]
[math] \tilde \lt -\tilde \Rightarrow (b - a) \times (c - a) \lt 0 [/math]

Обозначим [math] v = (b - a) \times (c - a) = (b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x)[/math] .

Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике.

[math]\tilde = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\ - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),[/math]

[math] |\delta_i| \leq \varepsilon_m [/math]

Заметим, что [math] v \approx \tilde [/math]

Теперь оценим абсолютную погрешность [math] \epsilon = |v - \tilde|. [/math]

Пусть [math] t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).[/math] Получаем, что

[math] \epsilon = |v - \tilde| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). [/math]

[math] t \leq \tilde \frac <(1 - \varepsilon_m)^4>= \tilde (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) [/math]

[math] \epsilon = |v - \tilde| \leq \tilde \leq \tilde (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) [/math]

[math] \tilde \lt 8 \varepsilon_m \tilde [/math]

Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать [math] \tilde \lt 4.25 \varepsilon_m \tilde [/math] или [math] \tilde \lt 4.5 \varepsilon_m \tilde.[/math]

В первые же дни изучения Java я наткнулся на такой любопытный вид примитивов, как числа с плавающей точкой. Меня сразу заинтересовали их особенности и, тем более, способ записи в двоичном коде (что взаимосвязано). В отличие от какого-либо диапазона целых чисел, даже в очень малом промежутке (например от 1 до 2) их бесконечное множество. И имея конечный размер памяти, невозможно выразить это множество. Так как же они выражены в двоичном коде и как работают? Увы, объяснения в вики и достаточно клёвой статьи на хабре тут не дали мне полного понимания, хотя заложили базу. Осознание пришло лишь после этой статьи-разбора наутро после прочтения.

Экскурс в историю

(почерпнул из этой статьи на Хабре) В 60-70 гг, когда компьютеры были большими, а программы — маленькими, ещё не было единого стандарта вычислений, как и стандарта выражения самого числа с плавающей точкой. Каждый компьютер делал это по-своему, и ошибки были у каждого свои. Но в середине 70-х компания Intel решила сделать новые процессоры с поддерживаемой "улучшенной" арифметикой и заодно стандартизировать её. Для разработки привлекли профессоров Уильяма Кэхэна и Джона Палмера (нет, не автора книг про пиво). Не обошлось без драм, но всё же новый стандарт был разработан. Сейчас этот стандарт называют IEEE754

Формат записи числа с плавающей точкой

N = 1200 — получаемое число
M = 1,2 — мантисса — дробная часть, без учёта порядков
n = 10 — основание порядка. В данном случае и когда речь не идёт о компьютерах, основанием выступает цифра 10
p = 3 — степень основания

Знак и степень

И что мы имеем? В итоге мы также имеем двоичное число, которое состоит из мантиссы — часть, которую будем возводить в степень и саму степень. Кроме этого, так же как принято и у целочисленных типов, в числах с плавающей точкой есть бит, который определяет знак — будет число положительным или отрицательным. В качестве примера предлагаю рассмотреть тип float , который состоит из 32 бит. С числами двойной точности double логика такая же, только в два раза больше бит. Из 32 бит, первый старший отводится на знак, следующие 8 бит отводятся на экспоненту — степень, на которую будем возводить мантиссу, а остальные 23 бита — на мантиссу. Для демонстрации давайте посмотрим на пример пример: С первым битом всё очень просто. Если значение первого бита 0, то число, которое мы получим будет положительным. Если бит равен 1, то число будет отрицательным. Следующий блок из 8 бит — блок с экспонентой. Экспонента записывается как обычное восьмибитное число, а чтоб получить требуемую степень нам нужно из полученного числа вычесть 127 В нашем случае восемь бит экспоненты — это 10000001. Это соответствует числу 129. Если есть вопрос, как это посчитать, то на картинке быстрый ответ. Развёрнутый можно получить на любом курсе булевой алгебры. 1×2 7 + 0×2 6 + 0×2 5 + 0×2 4 + 0×2 3 + 0×2 2 + 0×2 1 + 1×2 0 = 1×128 + 1×1 = 128+1=129 Не сложно посчитать, что максимальное число, которое мы можем получить из этих 8 бит 11111111₂ = 255₁₀ (подстрочные 2 и 10 означают двоичную и десятеричную системы исчисления) Однако, если использовать только положительные значения степени (от 0 и до 255), то полученные числа будут иметь много чисел перед запятой, но не после? Чтоб получать отрицательные значения степени, из сформированной экспоненты нужно вычитать 127. Таким образом, диапазон степеней будет от -127 до 128. Если использовать наш пример, то нужная степень будет 129-127 = 2. Пока запоминаем это число.

Мантисса

Теперь о мантиссе. Она состоит из 23 бит, однако в начале всегда подразумевается ещё одна единица, на которую биты не выделяются. Это сделано в целях целесообразности и экономии. Одно и то же число можно выражать разными степенями, добавляя к мантиссе нули перед или после запятой. Проще всего это понять с десятичной экспонентой: 120 000 = 1,2×10 5 = 0,12×10 6 = 0,012×10 7 = 0,0012×10 8 и т.д. Однако, введя фиксированное число в голове мантиссы мы каждый раз будем получать новые числа. Примем как данность, что перед нашими 23 битами будет ещё один с единицей. Обычно этот бит от остальных отделают точкой, которая, впрочем, ничего не значит. Просто так удобнее 1 . 11100000000000000000000 Теперь полученную мантиссу нужно возводить в степень слева направо, уменьшая с каждым шагом степень на одну. Стартуем со значения степени, который мы получили в результате вычисления, т. е. 2 (Я специально выбрал простой пример, чтоб не писать каждое значение степени двойки и в приведенной таблице не вычислял их, когда соответствующий бит равен нулю) 1×2 2 + 1×2 1 + 1×2 0 + 1×2 -1 = 1×4 + 1×2 + 1×1 + 1×0,5 = 4+2+1+0,5 = 7,5 и получили результат 7,5, правильность можно проверить, например, по этой ссылке

Итоги

Стандартное число с плавающей точкой типа float состоит из 32 бит, первый бит — знак (+ или -), следующие восемь — экспонента, следующие 23 — мантисса По знаку — если бит 0 — число положительное. Если бит 1 — отрицательное. По экспоненте — побитно переводим в десятичное число (первый слева бит — 128, второй — 64, третий — 32, четвёртый — 16, пятый — 8, шестой — 4, седьмой — 2, восьмой — 1), из полученного числа вычитаем 127, получаем степень с которой будем стартовать. По мантиссе — к имеющимся 23 битам спереди дописываем ещё один бит со значением 1 и с него начинаем возводить в полученную нами степень, с каждым следующим битом декрементируя эту степень. That's all folks, kids! P. S.: В виде домашнего задания, используя эту статью, оставьте в комментариях свои версии, почему при большом количестве арифметических операций с числами с плавающей точкой возникают ошибки точности

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Содержание

«Плавающая запятая» и «плавающая точка»

Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.) ) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.) ). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».

Происхождение названия

Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.

Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее.

Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду ),

Структура числа

Число с плавающей запятой состоит из:

Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
Знака порядка

Нормальная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме теряет точность по сравнению с нормальной формой. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах - 0,0001 * 10 0 , 0,001 * 10 -1 , 0,01 * 10 -2 , 0,1 * 10 -3 ), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма, в которой мантисса принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.

Использование в вычислительных машинах

В вычислительных машинах показатель степени принято отделять от мантиссы буквой "E" (exponent). Например, число 1,528535047 × 10 -25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.

Краткий обзор

Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:

$1\le a&lt;q$

Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по-умолчанию находится в конце строки.
В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка "00012345" обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
В экспоненциальной записи используют стандартный (нормальный?) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном виде, если оно записано в виде aqn , где a такое, что , называется мантиссой, n — целое, называется показатель степени и q — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника планеты ЮпитераИо́, который равен 152853,5047 с, в стандартном виде можно записать как 1,528535047 × 10 5 . Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число 0.
Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в формате с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой цифры. Возвращаясь к примеру с Ио́, запись в форме с плавающей запятой будет 1528535047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 10 5 раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется ввиду - так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000. 0 и показатель +0. 0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью - по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.

Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как

0,12 × 0,12 = 0,0144

в нормальной форме представляется в виде

(1,20 × 10 −1 ) × (1,20 × 10 −1 ) = (1,44 × 10 −2 ).

В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление

0,120 × 0,120 = 0,014.

Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 52 бита + 1 знаковый, показатель — 11 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94 × 10 −324 до 1.79 × 10 308 (от 2 −52 × 2 −1022 до

1 × 2 1024 ). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.

Машинный эпсилон

В отличие от фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел малого порядка и более редкая — для больших чисел. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинного эпсилона.

Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что (знаком обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что , машина не различает.

См. также

Литература

Н. А. Криницкий, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов. Программирование. — Государственное издательство физико-математической литературы. — Москва, 1963

Генри С. Уоррен, мл.Глава 15. Числа с плавающей точкой // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4 коды с фиксированной запятой

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Плавающая точка" в других словарях:

плавающая точка — плавающая запятая — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом Синонимы плавающая запятая EN floating pointFP … Справочник технического переводчика

плавающая точка начала байта — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN floating byte … Справочник технического переводчика

На этом уроке мы рассмотрим типы данных с плавающей точкой в языке С++, их точность и диапазон. Выясним, что такое экспоненциальная запись и как она используется, а также рассмотрим ошибки округления и дадим определения для nan и inf .

Типы данных с плавающей точкой

Есть три типа данных с плавающей точкой: float, double и long double. Язык C++ определяет только их минимальный размер (как и с целочисленными типами). Типы данных с плавающей точкой всегда являются signed (т.е. могут хранить как положительные, так и отрицательные числа).

Тип	Минимальный размер	Типичный размер
Тип данных с плавающей точкой	float	4 байта	4 байта
double	8 байт	8 байт
long double	8 байт	8, 12 или 16 байт

Объявление переменных разных типов данных с плавающей точкой:

Если нужно использовать целое число с переменной типа с плавающей точкой, то тогда после этого числа нужно поставить разделительную точку и нуль. Это позволяет различать переменные целочисленных типов от переменных типов с плавающей запятой:

double d ( 5.0 ) ; // 5.0 - это тип данных с плавающей точкой (по умолчанию double) float f ( 5.0f ) ; // 5.0 - это тип данных с плавающей точкой ("f" от "float")

Обратите внимание, литералы типа с плавающей точкой по умолчанию относятся к типу double. f в конце числа означает тип float.

Экспоненциальная запись

Обычно, в экспоненциальной записи, в целой части находится только одна цифра, все остальные пишутся после разделительной точки (в дробной части).

Рассмотрим массу Земли. В десятичной системе счисления она представлена как 5973600000000000000000000 кг . Согласитесь, очень большое число (даже слишком большое, чтобы поместиться в целочисленную переменную размером 8 байт). Это число даже трудно читать (там 19 или 20 нулей?). Но используя экспоненциальную запись, массу Земли можно представить, как 5.9736 × 10 24 кг (что гораздо легче воспринимается, согласитесь). Еще одним преимуществом экспоненциальной записи является сравнение двух очень больших или очень маленьких чисел — для этого достаточно просто сравнить их экспоненты.

В языке C++ буква е / Е означает, что число 10 нужно возвести в степень, которая следует за этой буквой. Например, 1.2 × 10 4 эквивалентно 1.2e4 , значение 5.9736 × 10 24 еще можно записать как 5.9736e24 .

Для чисел меньше единицы экспонент может быть отрицательным. Например, 5e-2 эквивалентно 5 * 10 -2 , что, в свою очередь, означает 5 / 10 2 или 0.05 . Масса электрона равна 9.1093822e-31 кг .

На практике экспоненциальная запись может использоваться в операциях присваивания следующим образом:

Читайте также: