Что из перечисленного не является вектором в excel

Обновлено: 07.07.2024

Задача 6.1.1 . Умножить вектор на число.

Упражнение 6.1.2.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

1-й способ: за­писать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в ос­тальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. За­пишем в него формулу массива .

Анализ решения. Табличный массив - вектор-строка, а блок А2:А5 - вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).

Примечание. Если ввести формулу , то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомно­жителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).


  1. Установить курсор в ячейку, где нужен результат.

  2. Щёлкнуть кнопку автосуммы - .

  3. Выделить массив Х (А5:А12).

  4. Нажать знак умножить -*.

  5. Выделить массив Y (B5:B12).

  6. Нажать Ctrl + Shift + Enter.

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с мат­рицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемно­жение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сло­жить матрицы М и N, где


  • Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.

  • В блок А4:С5 ввести табличную формулу .

2-й способ:


  • Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.

  • В блок E4:G5 ввести табличную формулу < = М + N >.

Упражнение 6.2.2 . Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М - N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу .

Результат: 2*M - N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложе­нии матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сло­жение.

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию "Математические":

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

ТРАНСП — транспонирование.

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводит­ся как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

Упражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:


  1. В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определи­теля = МОПРЕД (А1:СЗ).

  2. В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:

  • выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).

  • Ввести формулу .

  1. При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке "ОК").

  2. Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.



  1. Проверить правильность вычисления обратной матрицы ум­ножением ее на исходную:

  • задать имена исходной матрице - А и обратной матрице - АО;

  • в блок D5:F7 ввести формулу .

  • как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.

У
Решение:
пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу abs (A-AО)>.

Пример вычисления определителя матрицы

А, введен­ной в формулу как массив констант: =МОПРЕД(:

92; 66; 25: -80; 37; 10>).

Задача 6.2.2 . При каком значении элемента а33 определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу 2SS Т - Е, где Т — операция транспо­нирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы пред­ставляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.

 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive .

Сначала немного теории. Векторным произведением двух векторов а и b , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c , что:

  1. он перпендикулярен обоим векторам а и b ;
  2. длина векторас равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними;
  3. вектор с направлен так, что тройка векторов а , b и с является правой ( с конца вектора с кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки ).


Почему такое сложное определение? Дело в том, что результатом векторного произведения [ a х b ], в отличие от скалярного , является вектор. А для того, чтобы однозначно определить вектор нужно задать его длину (второй пункт определения) и направление (первый и третий пункты определения).

Векторное произведение двух векторов a = < a x ; a y ; a z > и b = < b x ; b y ; b z > в декартовой системе координат можно вычислить, используя формулы:

или в матричной форме:


Теперь вычислим векторное произведение в MS EXCEL. Встроенная функция к сожалению отсутствует. Кроме того, формула должна возвращать три значения, т.е. 3 координаты вектора. Это может быть реализовано только формулой массива (вариант, когда 3 координаты рассчитываются независимо, с использованием 3-х различных формул, очевиден, но не интересен, хотя и приведен файле примера ).

Пусть даны координаты векторов а и b , записанные в строках 8 и 9 (см. файл примера ).


Обратим внимание, что запись в матричной форме напоминает вычисление обратной матрицы методом алгебраических дополнений . Вместо единичных векторов i, j, k запишем вспомогательный вектор с координатами и поместим его в строке 7 над векторами. Теперь у нас есть квадратная матрица А третьего порядка, для которой можно вычислить обратную матрицу.

Попробуем использовать функцию МОБР() для вычисления векторного произведения. Заметим, что три слагаемых из определения векторного произведения в матричной форме совпадают со значениями верхней строки матрицы алгебраических дополнений.

Примечание : Напомним, что алгебраическое дополнение A ij вычисляется по формуле A ij =(-1) i+j *М ij (где М - соответствующий минор, т.е. определитель, состоящий из элементов матрицы А за исключением всех элементов, расположенных на строке i и в столбце j).

Так как обратная матрица вычисляется по формуле:


то имея обратную матрицу, для вычисления верхней строки матрицы алгебраических дополнений и, соответственно, координат вектора с , необходимо ее транспонировать , а затем умножить ее на определитель матрицы А (той, что содержит координаты наших векторов а и b и единичный вектор).

Это реализовано с помощью формулы массива =ТРАНСП(МОБР(B7:D9))*МОПРЕД(B7:D9)

Коллинеарность векторов

Если два вектора коллинеарны, т.е. лежат на параллельных прямых, то их векторное произведение равно 0. В файле примеров приведена таблица для проверки векторов на коллинеарность.


Нахождение длины вектора с - результата векторного произведения

Из определения векторного произведения длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними.

Примечание : Как вычислить длины векторов по их координатам показано в статье Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

Синус угла найдем через тригонометрическую формулe sin 2 x+cos 2 x=1


Конечно, можно также сначала найти векторное произведение, а затем длину полученного вектора. Естественно, оба метода расчета дают одинаковые результаты.

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле


В случае вектора в пространстве добавляется третья координата


В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).


Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле = B8*B8+B9*B9 .

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.


Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.


3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).


Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 - угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))


Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат , см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.


Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)) .

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число (скаляр), равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.


СОВЕТ : о нахождении длин векторов см. статью Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

В случае двухмерной задачи скалярное произведение векторов a = < a x ; a y > и b = < b x ; b y > можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a x · b x + a y · b y Для вычисления скалярного произведения векторов в MS EXCEL идеально подходит функция СУММПРОИЗВ()

Если координаты 2-х векторов введены в диапазоны B8:C8 и B9:C9 соответственно, то формула =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B9:C9) подсчитает скалярное произведение векторов (см. файл примера ).


Естественно, для трехмерного случая можно записать аналогичную формулу.

Ортогональность векторов

Два вектора называются ортогональными если угол между ними равен 90 градусов. Т.к. косинус угла 90 градусов равен 0, то и их скалярное произведение равно 0.


Интерес представляет поиск вектора, ортогонального заданному.

Поиск одной координаты. Сначала подберем одну из координат трехмерного вектора, так, чтобы он стал ортогональным заданному (2 другие координаты известны). Такая координата всегда существует и решение единственно.

Для нахождения третьей координаты будем использовать инструмент MS EXCEL Подбор параметра (подробнее см. Подбор параметра в MS EXCEL ).

Пусть координаты заданного вектора равны (и размещены в ячейках В37:В39 ), а известные координаты искомого ортогонального вектора равны (размещены в ячейках С37:С39 ) См. рисунок выше и файл примера .

Вычислим в ячейке А42 скалярное произведение векторов с помощью формулы =СУММПРОИЗВ(B37:B39;C37:C39)

Вызовем окно Подбора параметра для ввода критериев поиска и установим их как показано на рисунке выше. После нажатия кнопки ОК в ячейке С39 (искомая координата) будет введено значение -9, а скалярное произведение станет равно 0.

Поиск всех координат ортогонального вектора. Если заданы координаты только исходного вектора и требуется определить все 3 координаты вектора, ортогональному к нему, то, понятно, что решение не единственно.

Например, для двухмерного случая (на плоскости), можно построить 2 разных вектора, которые будут ортогональны заданному (точнее не 2, а бесконечное множество коллинеарных векторов в двух противоположных направлениях).

Так как нам придется одновременно подбирать сразу 3 координаты, то Подбор параметра нам не подходит, нужно использовать Поиск решения (См. файл примера) .

В качестве ограничений для Поиска решения можно установить: найденные координаты должны быть целыми числами, а квадрат модуля искомого вектора д.б. >1 (иначе 0 вектор будет предложен в качестве решения). Также можно наложить ограничение на максимальную длину вектора.


После запуска инструмента Поиск решения будут найдены координаты

Отображение (ортогональных) векторов на плоскости

В двухмерном случае можно отобразить 2 ортогональных вектора.


Тип диаграммы установлен График (см. Основные типы диаграмм в MS EXCEL , раздел График).

Чтобы вектора выглядели ортогональными, необходимо зафиксировать минимальные и максимальные значения, отображаемые осями (см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL , раздел 7.Оси), иначе при построении различных пар векторов MS EXCEL будет применять автомасштабирование графика и масштабы осей могут стать не равными (это приведет к тому, что угол 90 градусов не будет выглядеть прямым).

Читайте также: