Как перевести тангенс в косинус в ворде

Обновлено: 06.07.2024

Приветствую на канале "Математика не для всех", уважаемый Читатель! Прежде чем перейдем к сути вопроса хотелось бы сообщить, что теперь каждой статье будет ставиться в соответствие определенный уровень сложности. Таким образом я хочу облегчить Ваш путь и не забрасывать знаниями, к которым Вы еще не готовы. Чаще всего такое переполнение приводит к отрицанию математики, чего не хотелось бы. Вот перечень уровней сложности вышедших на канале материалов:

Список материалов для начинающего математика:

  • Как выглядели цифры 900 лет назад?
  • Зачем строителю египетский треугольник?
  • Как считать на пальцах до 60 ?
  • Самая красивая формула в мире математики .
  • 2+2 =5 с точки зрения математики.
  • Задачка про сосиски .
  • Помните теорему Виета?
  • Когда случайное не случайно: теорема Чебышева .
  • Решаю ЕГЭ по математике (часть А) .

Список материалов для обыкновенного математика:

  • Этих тригонометрических формул не знал в школе даже отличник .
  • Обычные числа, которые умеют удивлять .
  • Решаю ЕГЭ по математике (часть B) .
  • Первый замечательный предел: спасибо, что ты есть!
  • Факториал: математический властелин или почему он так крут?
  • Изучаем топологию или почему человек - это шар с ручками?

На моем канале пока нет действительно сложных материалов, но скоро они появятся. Плашка для них такая:

Уже листая ленту, будет видно , к какому уровню сложности относится материал.

Другими цветами будут выделены материалы по истории математики и, возможно, отдельные направления, например, топология Другими цветами будут выделены материалы по истории математики и, возможно, отдельные направления, например, топология

А ТЕПЕРЬ ПЕРЕЙДЕМ К ДЕЛУ: К ТРИГОНОМЕТРИИ!

Несмотря на небольшое, в целом, количество углов, требующих запоминания, наизусть вызубрить их достаточно сложно, в то время как применяются они повсеместно: начиная со школьной статьи и заканчивая строительством.

Правила, которые позволяют запоминать сложные формулы на уровне интуиции и представления называются мнемоническими .

Для начала стоит запомнить знаки, которые соответствуют четвертям и тригонометрическим функциям:

Я еще в школе на уровне подсознания сопоставил положительному синусу - верх, а положительному косинусу - право, ну а тангенс и котангенс из этого выводится легко. Ниже представлена таблица значений тригонометрических функций.

В принципе опять, важны для запоминания только синус и косинус (останется только поделить их друг на друга). С одной стороны запомнить не так сложно: используется то всего несколько цифр. Но педагогика на то и педагогика, что позволяет и этот процесс мнемонически упростить:

Если сопоставить мизинцу угол 0 градусов, а большому пальцу 90, то остальные три пальца чудесным образом лягут на 30, 45 и 60 градусов. Пронумеруем пальцы начиная с мизинца : 0,1,2,3,4.

Общая формула такова: sin a = (Корень из порядкового номера пальца)/2.

Проверьте, получается все правильно. Для косинуса особо замороченные предлагают перенумеровать пальцы, но я считаю, что это лишняя путаница. Во-первых по основному тригонометрическому тождеству можно вычислить и так, а можно запомнить, что если синус "плохой" (т.е. с корнем), то косинус его "хороший" (дробное число), естественно не касаясь угла 45, который плох везде))).

Вот так просто и быстро мы запомнили синусы и косинусы углов от 0 до 90 градусов

Минуточку, а вдруг вы оказались наедине с углом в 55 градусов, синус которого Вам жизненно важно знать, а калькулятора под рукой нет? Выход есть, формула Тейлора:

Три поправочки : угол x надо представить в радианах (гифка в конце этой статьи ) и еще знать что такое факториал . Ну и как бы придется вычислить для хорошего приближения хотя бы 5-ую степень числа. Но это нас не остановит, не так ли? Проверим формулу для угла 30 градусов.

С помощью этой формулы можно перевести градусы в радианы и наоборот. Например, угол 30 градусов это пи/6.

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.

Теорема

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вытекают следующие формулы:

Утверждение

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\) :

\(\sin \angle A=\cos \angle B\)



Доказательство

Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Теорема

Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) верна следующая таблица:

Доказательство

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) : \(\angle C=90^\circ, \angle A=60^\circ, \angle B=30^\circ\) .



Тогда по теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac2c\) .

Теперь по определению \(\sin \angle A=\sin 60^\circ =\dfrac ac=\dfrac2\)

Т.к. по предыдущему утверждению \(\sin \angle A=\cos \angle B\) , то \(\cos 30^\circ =\dfrac2\) .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) : \(\angle C=90^\circ, \angle A=45^\circ, \angle B=45^\circ\) .



Этот треугольник равнобедренный, следовательно, \(BC=AC=a\) .

Тогда по теореме Пифагора \(a^2+a^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac2c\) .

Следовательно, \(\sin \angle A=\cos\angle A=\sin\angle B=\cos \angle B=\dfrac2\) .

Из определения следует, что \(\mathrm\,45^\circ=\mathrm\,45^\circ=1\) .

Замечание

Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:

То есть для синуса и косинуса число выглядит как \(\dfrac<\sqrt<\phantom<0>>>2\) , где у синуса под корнем пишется \(1, 2, 3\) , у косинуса – наоборот.

Теорема

Справедливы следующие формулы приведения:

Таким образом, если \(\alpha\) – острый угол, то с помощью этих формул можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс тупого угла, смежного с \(\alpha\) .

Пример

Учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение конкурентных баллов по итогам его прохождения, непременно должны повторить теорию о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе. Как показывает практика, задания по данной тематике ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Таким образом, если одним из ваших слабых мест являются формулы и теоремы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, рекомендуем освежить в памяти базовую теорию. В этом вам поможет образовательный портал «Школково». В соответствующем разделе представлена теория о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах, которая позволит вам подготовиться к сдаче экзамена. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, выпускник сможет грамотно объяснять решение задач ЕГЭ на синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. В этом состоит половина успеха при прохождении аттестационного испытания.

Для того чтобы учащиеся из Москвы или другого населенного пункта России, посетившие наш ресурс, смогли легко и качественно подготовиться к ЕГЭ, мы не только в понятной форме изложили теорию косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов, но и подобрали соответствующие упражнения. Для каждого из них наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполняя такие задачи при подготовке к ЕГЭ по математике, выпускники смогут лучше закрепить изученную теорию синусов и косинусов в треугольнике. Выбрать простые и более сложные упражнения вы можете в разделе «Каталог».

Изучив теорию о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах и попрактиковавшись в решении задач по данной теме при подготовке к ЕГЭ, учащиеся имеют возможность сохранить любое задание в «Избранное», чтобы при необходимости обсудить его с преподавателем.

В треугольнике \(ABC\) : \(\angle C = 90^\) , \(\sin = \dfrac\) . Найдите \(AC\) , если \(AB = 6\sqrt\) .


Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac = \dfrac\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfracAB = 4\sqrt.\]

По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\) , тогда \(AC = 10\) .

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) , причем \(\angle C=90^\circ\) . Известно, что \(\cos \angle B=\dfrac13\) , \(AB=9\) . Найдите \(BC\) .



По определению косинуса \[\cos\angle B=\dfrac=\dfrac13 \quad \Leftrightarrow \quad BC=\dfrac13\cdot AB=\dfrac13\cdot 9=3\]

Дан треугольник \(ABC\) , причем \(\angle C=90^\circ\) . Найдите длину его гипотенузы, если \(AC=8, \ \cos \angle A=\dfrac45\) .



По определению косинуса \[\cos \angle A=\dfrac=\dfrac45 \quad \Leftrightarrow \quad AB=AC\cdot \dfrac54=10\]

Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\) . Боковая сторона равна \(14\) . Синус острого угла равен \(\dfrac>7\) . Найдите меньшее основание.



Проведем \(BH\perp AD\) . Из \(\triangle ABH\) : \[\dfrac>7=\sin\angle A=\dfrac\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt<14^2-(4\sqrt)^2>=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\) , то \(BC=AD-2AH=34-12=22\) .

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(CH\) – высота, \(AB=13\) , \(\mathrm\,\angle A=0,2\) . Найдите \(AH\) .



Так как по определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle A=\dfrac 15\] то можно принять \(BC=x\) , \(AC=5x\) . Следовательно, по теореме Пифагора \[BC^2+AC^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad x^2+(5x)^2=13^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\dfrac2\] Из \(\triangle AHC\) : \[\cos \angle A=\dfrac\] Из \(\triangle ABC\) : \[\cos \angle A=\dfrac\] Следовательно: \[\dfrac=\dfrac\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac=\dfrac=\dfrac2=12,5\]

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(CH\) – высота, \(AB=26\) , \(\mathrm\,\angle B=5\) . Найдите \(AH\) .



По определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\) , \(BC=x\) . Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\) , откуда \(x=\sqrt\) .
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac=\dfrac5<\sqrt>\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\) . Следовательно, из \(\triangle HCA\) : \[\dfrac5<\sqrt>=\sin \angle HCA=\dfrac\quad\Rightarrow\quad AH=25\]

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\) , \(AB=17\) , \(\mathrm\,\angle A=0,25\) . Найдите высоту \(CH\) .



По определению из \(\triangle ABC\) : \[\dfrac=\mathrm\,\angle A=\dfrac 14\] Следовательно, можно принять \(AC=4x\) , \(BC=x\) . Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(4x)^2=17^2\) , откуда \(x=\sqrt\) .
Так как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) , с одной стороны, равна \(0,5CH\cdot AB\) , а с другой стороны, равна \(0,5BC\cdot AC\) , то \[CH\cdot AB=BC\cdot AC\quad\Rightarrow\quad CH=\dfrac=4\]

Уметь оперативно и правильно решать задачи ЕГЭ на вычисление элементов многоугольника необходимо всем выпускникам вне зависимости от того, базовый или профильный уровень экзамена они сдают. Причем этой теме традиционно посвящается несколько заданий. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему обязательно стоит уделить внимание задачам, в которых требуется найти синус, косинус и тангенс угла треугольника.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимый навык. Весь теоретический и практический материал составлен и изложен таким образом, чтобы все выпускники могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ, в которых требуется вычислить тангенс, синус или косинус угла треугольника.

Основные моменты

Первое, что нужно сделать при решении подобных задач в ЕГЭ, - вспомнить, что такое тангенс, косинус и синус угла треугольника. Далее рекомендуется следовать такому алгоритму:

  • Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который требуется найти.
  • Определяем известные элементы и выявляем тригонометрическую функцию, которая их связывает.
  • Записываем получившееся соотношение и применяем подходящую формулу.

Научившись правильно выполнять упражнения на вычисление элементов многоугольника, а также, например, по теме «Окружность, описанная около многоугольника», которые представлены в данном разделе образовательного портала «Школково», вы сможете закрепить материал и без труда справляться с подобными заданиями на аттестационном экзамене.

Читайте также: