Какие функции используются в excel при действиях с векторами

Обновлено: 07.07.2024

Задача 6.1.1 . Умножить вектор на число.

Упражнение 6.1.2.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

1-й способ: записать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в остальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. Запишем в него формулу массива .

Анализ решения. Табличный массив - вектор-строка, а блок А2:А5 - вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).

Примечание. Если ввести формулу , то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомножителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).

Установить курсор в ячейку, где нужен результат.
Щёлкнуть кнопку автосуммы - .
Выделить массив Х (А5:А12).
Нажать знак умножить -*.
Выделить массив Y (B5:B12).
Нажать Ctrl + Shift + Enter.

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с матрицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемножение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сложить матрицы М и N, где

Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.
В блок А4:С5 ввести табличную формулу .

2-й способ:

Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.
В блок E4:G5 ввести табличную формулу < = М + N >.

Упражнение 6.2.2 . Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М - N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу .

Результат: 2*M - N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложении матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сложение.

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию "Математические":

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

ТРАНСП — транспонирование.

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводится как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

Упражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:

В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определителя = МОПРЕД (А1:СЗ).
В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:

выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).
Ввести формулу .

При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке "ОК").
Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.

Проверить правильность вычисления обратной матрицы умножением ее на исходную:

задать имена исходной матрице - А и обратной матрице - АО;
в блок D5:F7 ввести формулу .
как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.

У
Решение:
пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу abs (A-AО)>.

Пример вычисления определителя матрицы

А, введенной в формулу как массив констант: =МОПРЕД(:

92; 66; 25: -80; 37; 10>).

Задача 6.2.2 . При каком значении элемента а₃₃ определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу 2SS Т - Е, где Т — операция транспонирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы представляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.

 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive .

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число (скаляр), равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

СОВЕТ : о нахождении длин векторов см. статью Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

В случае двухмерной задачи скалярное произведение векторов a = < a _x ; a _y > и b = < b _x ; b _y > можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a _x · b _x + a _y · b _y Для вычисления скалярного произведения векторов в MS EXCEL идеально подходит функция СУММПРОИЗВ()

Если координаты 2-х векторов введены в диапазоны B8:C8 и B9:C9 соответственно, то формула =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B9:C9) подсчитает скалярное произведение векторов (см. файл примера ).

Естественно, для трехмерного случая можно записать аналогичную формулу.

Ортогональность векторов

Два вектора называются ортогональными если угол между ними равен 90 градусов. Т.к. косинус угла 90 градусов равен 0, то и их скалярное произведение равно 0.

Интерес представляет поиск вектора, ортогонального заданному.

Поиск одной координаты. Сначала подберем одну из координат трехмерного вектора, так, чтобы он стал ортогональным заданному (2 другие координаты известны). Такая координата всегда существует и решение единственно.

Для нахождения третьей координаты будем использовать инструмент MS EXCEL Подбор параметра (подробнее см. Подбор параметра в MS EXCEL ).

Пусть координаты заданного вектора равны (и размещены в ячейках В37:В39 ), а известные координаты искомого ортогонального вектора равны (размещены в ячейках С37:С39 ) См. рисунок выше и файл примера .

Вычислим в ячейке А42 скалярное произведение векторов с помощью формулы =СУММПРОИЗВ(B37:B39;C37:C39)

Вызовем окно Подбора параметра для ввода критериев поиска и установим их как показано на рисунке выше. После нажатия кнопки ОК в ячейке С39 (искомая координата) будет введено значение -9, а скалярное произведение станет равно 0.

Поиск всех координат ортогонального вектора. Если заданы координаты только исходного вектора и требуется определить все 3 координаты вектора, ортогональному к нему, то, понятно, что решение не единственно.

Например, для двухмерного случая (на плоскости), можно построить 2 разных вектора, которые будут ортогональны заданному (точнее не 2, а бесконечное множество коллинеарных векторов в двух противоположных направлениях).

Так как нам придется одновременно подбирать сразу 3 координаты, то Подбор параметра нам не подходит, нужно использовать Поиск решения (См. файл примера) .

В качестве ограничений для Поиска решения можно установить: найденные координаты должны быть целыми числами, а квадрат модуля искомого вектора д.б. >1 (иначе 0 вектор будет предложен в качестве решения). Также можно наложить ограничение на максимальную длину вектора.

После запуска инструмента Поиск решения будут найдены координаты

Отображение (ортогональных) векторов на плоскости

В двухмерном случае можно отобразить 2 ортогональных вектора.

Тип диаграммы установлен График (см. Основные типы диаграмм в MS EXCEL , раздел График).

Чтобы вектора выглядели ортогональными, необходимо зафиксировать минимальные и максимальные значения, отображаемые осями (см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL , раздел 7.Оси), иначе при построении различных пар векторов MS EXCEL будет применять автомасштабирование графика и масштабы осей могут стать не равными (это приведет к тому, что угол 90 градусов не будет выглядеть прямым).

Функция ПРОСМОТР в Excel возвращает искомое значение из массива данных, строки либо столбца таблицы. Она позволяет быстро найти искомое значения без необходимости ручного поиска среди больших объемов информации. Особенности использования функции будут указаны ниже в примерах.

Функция ПРОСМОТР в Excel и особенности ее использования

Функция ПРОСМОТР упрощает поиск данных в строке, столбце таблицы и массиве данных наряду с ее аналогами:

Обратите внимание: результат работы функции ПРОСМОТР может оказаться некорректным, если данные в массиве или столбце таблицы не отсортированы в порядке возрастания числового значения или алфавитном порядке. Если сортировка невозможна в силу различных причин, рекомендуется использовать перечисленные выше аналоги данной функции.

Данная функция может быть записана в двух синтаксических вариантах:

1. Векторная форма записи. Вектором данных в Excel принято считать диапазон данных, содержащих лишь одну строку либо столбец таблицы. Соответственно, функция ПРОСМОТР используется для поиска определенного значения в одной строке или одном столбце. Синтаксис:

=ПРОСМОТР(искомое_значение; просматриваемый_вектор; [вектор_результатов])

Два первых аргумента функции должны быть обязательно указаны.

Описание версии 3-х аргументов:

Искомое_значение – объект числовых, текстовых, ссылочных или логических данных. Функция ПРОСМОТР выполняет поиск значения этих данных в векторе данных.
Просматриваемый_вектор – диапазон данных, который представляет собой столбец таблицы или строку. Вектор данных может содержать числовые, текстовые и логические значения. Все значения вектора данных должны быть отсортированы в порядке возрастания величин (А-Я; ЛОЖЬ, ИСТИНА; -2, 0, 103, 1000).
Вектор_результатов – необязательный аргумент, представляющий собой диапазон данных из одной строки либо столбца таблицы. Размеры просматриваемого и вектора результатов должны быть тождественны.

2. Форма массива. В Excel массивом считается группа ячеек либо значений, обрабатываемых в качестве единого модуля. Некоторые функции Excel принимают массивы в качестве аргументов, либо возвращают результаты в виде массивов данных. Синтаксис:

Все аргументы в данной форме записи являются обязательными.

Описание версии 2-х аргументов:

Обратите внимание: запись функции ПРОСМОТР в форме массива была предусмотрена только для совместимости различных программных продуктов для работы с таблицами, аналогичных Excel. Эта форма записи может возвращать некорректные результаты и не рекомендуется для использования. При работе с массивами данных рекомендуют применять аналоги: ГПР и ВПР.

Примеры использования функции ПРОСМОТР для быстрого поиска в таблицах Excel

Пример 1. Физик определял ускорение свободного падения эмпирическим путем: с определенной высоты запускал обтекаемый предмет и засекал время, которое требовалось на прохождение пути от точки запуска до момента соприкосновения с поверхностью земли. Затем по формуле g=2S/t2 определял искомую величину. После проведения нескольких опытов были получены следующие результаты:

Необходимо определить, находится ли среди полученных результатов значение, соответствующее общепризнанному значение g=9,81.

Для решения запишем в ячейку D2 следующую формулу:

C2 (9,81) – явно введенное искомое значение;
B2:B7 – массив данных, среди которых производится поиск.

То есть, среди результатов вычислений находилась искомая величина.

Примечание: значения в столбце Результат не отсортированы в порядке возрастания. Как было сказано ранее, функция возвращает наибольшее значение из массива, которое меньше либо равно искомому. Если бы производился поиск, например, числа 10, в данном случае было бы возвращено значение 9,4, что не является верным результатом (максимальное значение в столбце – 9,5). Для корректной работы функции необходимо выполнить сортировку массива данных.

Вторая версия функции ПРОСМОТР в Excel

Пример 2. В банк обратились 5 клиентов с целью получения кредита на определенные различные между собой суммы. Банк определяет процент за использование кредита с учетом суммы запрошенных средств в долг. Каждый клиент должен вернуть банку сумму денег, которая телу кредита и процентов в пересчете на денежные средства. Введем исходные данные в таблицу:

Задача состоит в поиске процента возврата с учетом зависимости между процентом и суммой кредита, а также вычисление суммы возврата. Определим искомые величины для клиента с фамилией Иванов. Для этого в ячейке C2 введем следующую формулу:

B2 – сумма взятого клиентом кредита.
$A$12:$A$17 – массив сумм, среди которых производится поиск эквивалентного или ближайшего значения к искомому.
$B$12:$B$17 – массив соответствующих процентов.

Примечание: знак «$» использован для «фиксации» ссылок на ячейки.

То есть, Иванову был выдан кредит под 6% годовых.

Для определения суммы возврата введем формулу:

B2 – сумма (тело) кредита, взятого Ивановым;
B2*C2 – сумма процентов за использование в денежном эквиваленте.

То есть, клиент Иванов обязан вернуть 127,2 денежных единиц. Подобным методом производится расчет задолженности для остальных клиентов.

Пример 3. В офисе работают 5 сотрудников различного возраста. Необходимо найти возраст Виталия.

Внесем исходные данные в таблицу:

Для определения возраста самого младшего сотрудника введем формулу в ячейке E3:

D3 – имя сотрудника, возраст которого необходимо определить;
A2:A6 – просматриваемый вектор имен;
B2:B6 – вектор соответствующих возрастов.

Значит, возраст сотрудника Виталия составляет 43 года.

В данном примере мы ознакомились с двумя версиями функции ПРОСМОТР на 2 и 3 аргумента для заполнения входящими данными.

Как сделать в Excel отображение отношений между людьми, компаниями, филиалами и т.д. с помощью интерактивной лучевой диаграммы. Это, так называемый сетевой график, помогает нам визуализировать отношения между разными людьми в интерактивном режиме.

Как сделать лучевую векторную диаграмму связей в Excel

Сначала взглянем на то, что мы пытаемся построить и визуально оценим объем работы. Выглядит интересно? Тогда читайте дальше, чтобы узнать, как это создать.

Чтобы создать лучевую диаграмму в Excel для визуального анализа взаимоотношений в сети, нам нужно сначала понять ее различные составляющие.

Как видите, диаграмма содержит следующие части:

Набор точек, каждая из которых представляет одну заинтересованную сторону – участники сети.
Набор сероватых толстых сплошных и тонких пунктирных линий, представляющих все отношения между людьми. Сплошные – сильные связи (например, друзья), пунктирные – слабые связи (знакомые).
Набор зеленых толстых и синих пунктирных линий, представляющих отношения для выбранного конкретного участника сетевой группы.
Срез для выбора анализа участника – как панель управления лучевой диаграммой.
Табличка со сводной статистикой выбранного человека.

Алгоритм создания лучевой векторной диаграммы в Excel

Чтобы упростить наш урок, давайте предположим, что мы говорим об отношениях не между четырнадцатью как на графике, а пока только с 4-ма людьми по имени Антон, Алиса, Борис и Белла.

Наша матрица уровня отношений и связей между ними выглядит следующим образом:

0 значит отсутствие отношений;
1 означает слабые отношения (например: Антон и Алиса просто знают друг друга);
2 означает крепкие отношения (например, Борис и Алиса друзья).

Как можно геометрически смоделировать визуализацию этих исходных данных? Если бы мы нарисовали отношения между этими четырьмя людьми (Антон, Алиса, Борис и Белла), это схематически выглядело бы так:

2 критерия, которые нам нужно определить:

Расположение точек (где печатаются имена людей).
Линии (начальная и конечная точка соединения линий).

Определение и построение точек

Сначала нам нужно построить наши точки таким образом, чтобы промежуток между каждой точкой был одинаковым. Это создаст сбалансированный график.

Какая геометрическая фигура максимально удовлетворяет нашу потребность в таких равных промежутках? Конечно же круг!

Вы можете возразить, что на готовой модели диаграммы нет фигуры круга. Да действительно нет –вот так. Нам не нужно рисовать круг. Нам просто нужно построить точки вокруг него.

Таким образом, у нас есть 4 заинтересованные стороны, нам нужно 4 точки:

Если у нас 12 заинтересованных сторон, нам нужно 12 точек.
Если у нас есть 20, нам нужно 20 точек.

Предполагая, что источником нашего круга является (x, y), радиус - это r, а тета - 360, деленная на количество нужных нам точек. Первая точка (x1, y1) на окружности будет в этой позиции:

x1 = x + r * COS (тета);
y1 = y + r * SIN (тета).

Как только все точки рассчитаны и подключены к XY-диаграмме (точечная диаграмма), давайте двигаться дальше.

Построение линий на лучевой диаграмме

Допустим, у нас в сети есть n человек. Это означает, что каждый человек может иметь максимум n -1 отношений.

Таким образом, общее количество возможных линий на нашем графике равно n * ( n -1) / 2.

Нам нужно разделить его на 2, как будто A знает B, тогда B тоже знает A. Но нам нужно нарисовать только 1 линию.

Шаблон лучевой диаграммы для анализа сетевого графика настроен для работы с 20 людьми. Его можно скачать в конце статьи и использовать как готовый аналитический инструмент визуализации данных связей. Это означает, что максимальное количество строк, которое мы можем иметь, будет равно 190.

Каждая строка требует добавления отдельной серии на график. Это означает, что нам нужно добавить 190 серий данных только для 20 человек. И это удовлетворяет только одному типу линии (пунктирная или толстая). Если нам нужны разные линии в зависимости от типа отношений, нам нужно добавить еще 190 серий.

Это больно и смешно одновременно. К счастью, выход есть!

Мы можем использовать гораздо меньшее количество серий и по-прежнему строить один и тот же график.

Допустим, у нас есть 4 человека – A,B,C и D. Ради простоты, давайте предположим, что координаты этих 4-х участников следующие:

А - (0,0);
B - (0,1);
С - (1,1);
Д - (1,0).

И скажем, A имеет отношения с B, C и D.

Это означает, что нам нужно нарисовать 3 линии, от A до B, от A до C и A до D.

Теперь, вместо того, чтобы поставить 3 серии для диаграммы, что если мы поставим одну длинную серию, которая выглядит следующим образом:

Это означает, что мы просто рисуем одну длинную линию от A до B, от A до C, от A до D. Договорились, что это не прямая линия, но точечные диаграммы Excel могут нарисовать любую линию, если вы предоставите ей набор координат.

Смотрите эту иллюстрацию, чтобы понять технику:

Таким образом, вместо 190 рядов данных для диаграммы нам просто нужно 20 рядов.

На последнем графике мы имеем 40 + 2 + 1 ряд данных. Это потому что:

20 линий для слабых отношений (пунктирные линии);
20 линий для прочных отношений (толстые линии);
1 строка для выделения синим цветом слабых отношений выделенного участника;
1 строка для выделения зеленым цветом сильных отношений выделенного участника;
1 комплект без линий, а просто точек для подписей данных на графике.

Как сгенерировать все 20 серий данных:

Это требует следующей логики:

разделите номер строки на 2, чтобы получить номер человека (скажем, m );
( Xn, Yn ), если нет отношений между n и m ;
( Xm, Ym ), если есть отношения.

Нам нужны формулы MOD и INDEX для выражения этой логики в Excel.

Как только все координаты линии будут рассчитаны, добавьте их к нашему точечному графику как новые ряды используя инструмент из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«КОНСТРУКТОР»-«Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте кнопку «Добавить» для добавления всех 43-х рядов.

Реализовывать создание такой лучевой диаграммы связей будем в 3 этапа:

Подготовка исходных данных.
Обработка данных.
Визуализация.

Подготовка данных для лучевой диаграммы

Как уже упоминалось выше данный шаблон будет обладать возможностью визуального построения связей до 20-ти участников (компаний, филиалов, контрагентов и т.п.). На листе книги шаблона «Данные» предоставленная таблица для заполнения входящих значений. Например, заполним ее для 14-ти участников рынка:

На этом же листе создадим дополнительную таблицу, которая представляет собой матрицу связей всех возможных участников, сгенерированную формулой:

С подготовкой данных мы закончили переходим к обработке.

Обработка данных для построения лучевой диаграммы

На следующем листе с именем «Обработка» создаем сначала 2 таблицы: одна обычная, вторая умная. Обычная таблица заполнена формулами и значениями так как показано на рисунке:

СЧЁТЗ(Данные!$B$3:$B$22);"";ИНДЕКС(Данные!$B$3:$B$22;$B$60))' >

В ячейках B9 и B10 используются формулы массива поэтому при их вводе следует использовать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+Enter.
Умная таблица должна быть расположена не выше 45-ой строки текущего листа Excel. Для данной таблице будет регулярно применятся фильтр, который будет скрывать часть строк листа. Нельзя допустить чтобы в эти строки попадали другие значения.

Рядом создаем еще одну таблицу для вычисления координат на основе данных первой таблицы. Для этого используется 2 формулы для значений X и Y:

Следующая таблица создана для построения координат линий – отношений на уровне знакомых. Таблица содержит 40 строк и 40 столбцов. Каждая пара столбов – это входящие данные для радов диаграммы. Все ячейки заполнены одной сложной формулой:

1);ИНДЕКС($E$3:$F$22;I$2;ОСТАТ(ЧИСЛСТОЛБ($H$2:I$2);2)+1);ИНДЕКС($E$3:$F$22;ЦЕЛОЕ($H4/2)+1;ОСТАТ(ЧИСЛСТОЛБ($H$2:I$2);2)+1))' >

Рядом же сразу создаем аналогичным образом таблиц с координатами построения линий – отношений на уровне друзей. Все ее ячейки заполнены формулой:

2);ИНДЕКС($E$3:$F$22;AX$2;ОСТАТ(ЧИСЛСТОЛБ($AW$2:AX$2);2)+1);ИНДЕКС($E$3:$F$22;ЦЕЛОЕ($H4/2)+1;ОСТАТ(ЧИСЛСТОЛБ($AW$2:AX$2);2)+1))' >

Эти две таблицы будут использованы для построения серых линий. А теперь создадим еще одну таблицу для построения синих и зеленых линий для выделенного участника:

В каждом столбце этой таблицы используются разные формулы:

Столбец листа CM (X-синяя):

Все с обработкой закончили! У нас есть все координаты для точек и линий. Осталось только построить лучевую диаграмму визуализировав таким образом входящие значения на листе «Данные».

Визуализация данных связей участников на лучевой диаграмме

Начнем сначала с построения серых пунктирных линий для отображения всех слабых связей между участниками. А потом сделаем те же самые действия для серых сплошных линий сильных связей. Выделите диапазон ячеек I3:J43 и выберите инструмент: «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Точечная с прямыми отрезками».

Из диаграммы следует удалить: сетку, оси координат, название и легенду.

Затем из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«КОНСТРУКТОР»-«Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте кнопку «Добавить» для добавления остальных 20-ти рядов:

Для каждой линии нужно присвоить один и тот же формат. Удобно выбирать ряды линий из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММАМИ»-«ФОРМАТ»-«Текущий фрагмент». Из выпадающего списка выбираем необходимый нам ряд, а ниже жмем кнопку «Формат выделенного» чтобы приступить к форматированию:

Далее добавляем еще 2 ряда для выделения цветом выбранных участников. Для этого используем значения последней таблицы:

Не забудем изменить цвета линий на зеленый и синий – соответственно.

Осталось еще добавить подписи данных. Для этого используем вторую таблицу с базовыми координатами точек участников при создании еще одного ряда:

Выделяем последний ряд, щелкаем по полюсу возле диаграммы и отмечаем галочкой опцию «Подписи данных». Сам ряд лучше скрыть, убрав завивку для его линий.

Интерактивная панель управления лучевой диаграммой связей

Для создания панели управления будем использовать обычный срез для уже созданной умной таблицы. Перейдите на любую ячейку умной таблице на листе «Обработка» и выберите инструмент: «ВСТАВКА»-«Фильтры»-«Срез». В паявшемся окне укажите галочкой только на опцию «Имя».

Копируем срез и лучевую диаграмму на отельный лист «ГРАФИК» и наслаждаемся готовым результатом:

Как видно выше на рисунке было создано всего 43 ряда для лучевой диаграммы связей взаимоотношений участников рынка. Для добавления большого количества рядов на график можно создать макросы, в данном случае можно все седлать вручную.

Читайте также: