Однополостный гиперболоид построение в ворде

Обновлено: 01.07.2024

Цель работы: закрепить полученные знания при выполнении лабораторной работы №1. Научится использовать абсолютные ссылки, строить Поверхности второго порядка в пространстве.

Поверхности второго порядка в пространстве

Общее уравнение поверхностей второго порядка имеет вид уравнения второй степени:

Ах 2 + Ву 2 + Сz 2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy +2Kz + L = 0. (5)

Причем коэффициенты A, B, C, D, E, F не могут быть равны нулю одновременно.

Частными случаями уравнения (5) являются основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

Гиперболоид

Существует два вида гиперболоидов: однополостные и двухполостные.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

. (6)

Однополостным гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горловины.

Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

. (7)

Двухполостньй гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух отдельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.

Уравнения (6) и (7) называются каноническими уравнениями гиперболоидов.

Для построения гиперболоида в Ехсеl канонические уравнения (6) или (7) необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде ).

Пример 2. Построить верхнюю часть двухполостного гиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-5; 5], y[-3; 3] с шагом h=0.5 для обеих переменных.

Решение

Этап 1. Математическая часть. Из уравнения необходимо выразить переменную z: , т.к. в задании необходимо построить только верхнюю часть гиперболоида, то мы оставляем только положительный корень: .

Этап 2. Ввод данных.

Введем значения переменной x в столбец A. Для этого в ячейку A2 вводим первое значение аргумента – левая граница диапазона (-5). В ячейку A3 — второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг (-4,5). Выделяем блок ячеек A2:A3, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (-3). В ячейку С1 — второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций (шаг 1 из 2) в поле Категория → Математические. В поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 1 + $А2^2/16 + B$1^2/9. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 1.8875. Теперь необходимо установить курсор на ячейке B2, курсором мышки нажать в поле Редактор формул и умножить формулу на 5. Нажать Enter. Курсор останется на ячейке В2: в поле ввода появится формула =5*Корень(1 + $А2^2/16 + B$1^2/9); в ячейке В2 – значение 9,4373. Автозаполнением копируем эту формулу вниз в диапазон В2:В22. Затем автозаполнением протягиванием вправо копируем эту формулу вначале в диапазон В2:N22 (рис.6).

Этап 3. Выбор типа диаграммы.

Для построения диаграммы на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4):Тип диаграммы выберем Тип — Поверхность, Вид — Проволочная (прозрачная) поверхность. После чего нажать кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 4. Указание диапазона.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): Источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон мышью указать интервал данных В2:N22.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах.

Этап 5. Ввод подписей по оси X.

Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси X указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать данное поле, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести в него диапазон подписей оси х — А2:А22.

Вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд выбираем первую запись Ряд1 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, вводим значение первой переменной у В1. Затем в поле Ряд выбираем вторую запись — Ряд2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у С1. Повторяем таким образом до последней записи — Ряд13. После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее.

Рис. 7. Диаграмма верхней части двуполостного гиперболоида

Этап 6. Введение заголовков.

Этап 7. Завершение.

В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4) требуется выбрать место расположения диаграммы на отдельном листе Диаграмма1 или имеющемся Лист1. По умолчанию переключатель будет стоять «имеющемся Лист1». В нашем случае оставляем по умолчанию. Нажимаем кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис. 7).

Этап 8. Переименование листа. Навести курсор на закладку Лист1, правой клавишей мыши (ПКМ) вызвать контекстное меню, выбрать пункт Переименовать, удалить старое название листа и с клавиатуры набрать новое Дв_гиперболоид, нажать Enter.

Задание 6. Построить верхнюю часть однополосного гиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-10; 10] с шагом h=0.5, y[-5; 5] с шагом h=0.25.

Задание 7. Построить верхнюю часть двухполостного гиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-10; 10] с шагом h=0.5, y[-5; 5] с шагом h=0.25.

где , , -- положительные числа.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).

Рис. 13 . 8 .Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду

где , . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).

Рис. 13 . 9 .Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.

Рис. 13 . 10 .Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (13.6) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.11).

Рис. 13 . 11 .Однополостный гиперболоид вращения

Определение 13 . 5 Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , , -- положительные числа.

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).

Рис. 13 . 12 .Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

где , . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис. 13 . 13 .Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.

Рис. 13 . 14 .Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис 4.15).

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.

Модуль 3. Кривые и поверхности второго порядка.

Лабораторный практикум 3.2. Кривые и поверхности второго порядка.

Авторы: кафедра ВМ-1

Модуль 3. Кривые и поверхности второго порядка.

Лабораторный практикум 3.2. Кривые и поверхности второго порядка. 2

1.Кривые второго порядка 2

2.Поверхности второго порядка 3

4.Задание на «5». 7

Кривые второго порядка

Матлаб обладает рядом встроенных функций для упрощенного построения графиков некоторых функций. Одна из таких функций «ezplot».

Пример 1.

figure, axis equal, axis([-1 1 -1 1]), grid on, hold on

Кроме того, данную функцию можно использовать и с символьными переменными

Упражнение 1.

Создать 6 графических подобластей.

subplot(3,2,1), axis equal, axis([-1 1 -1 1]), grid on, hold on

subplot(3,2,2), axis equal, axis([-1 1 -1 1]), grid on, hold on

итд subplot(3,2,3), subplot(3,2,4), subplot(3,2,5), subplot(3,2,6),

В первой построить эллипс, a>b, отметить фокусы, директрисы, изобразить описывающий его прямоугольник,

во второй области построить эллипс, в котором b>a, отметить фокусы, директрисы,

далее гиперболу, сопряженную гиперболу, у гипербол построить асимптоты, отметить фокусы, директрисы

параболу, отметить фокус, директрису.

В шестой подобласти изобразить на одном графике эллипс, a>b и гиперболу, a>b.

Упражнение 2.

Для уравнения кривой второго порядка реализовать m-функцию get_canonical, которая приводит уравнение данной кривой к каноническому виду

, используя поворот осей координат на определенный угол. Таким образом, заголовок файла «get_canonical.m» будет выглядеть примерно так:

function [u,v,phi]= get_canonical (a,b,c)

Упражнение 3.

Нарисовать кривую, заданную уравнением .

С помощью реализованной ранее функции get_canonical привести уравнение данной кривой к каноническому виду, отметить фокусы, отобразить директрисы. Сравнить результат.

Поверхности второго порядка

MATLAB обладает мощным набором встроенных функций для построения различных поверхностей, в том числе и поверхностей второго порядка.

Эллипсоид , его уравнение этой поверхности можно задать параметрически:

, , . Каждой точке на поверхности эллипсоида с координатами ставится в соответствии пара чисел-координат по формулам:

Если , то мы получим часть эллипсоида лежащего в первом октанте (

Если , то мы получим верхнюю часть эллипсоида .

Если , то мы получим весь эллипсоид.

Пример построения эллипсоида:

В этой программе мы транспонировали строку - массив «theta», так как для каждого аргумента функции «mesh» мы создадим квадратные матрицы mesh(x(i,j),y(i,j),z(i,j)), а при перемножении столбца на строку как раз и получается квадратная матрица.

Упражнение 4.

Используя данную программу изобразите часть эллипсоида лежащего в первом октанте (, верхнюю часть эллипсоида , изобразите также эллипсоид в декартовых координатах, используя «meshgrid» и «mesh» или «plot3». Сравните полученные результаты.

Однополостный гиперболоид определяется следующей зависимостью координат точек поверхности , , от двух параметров :

«» и «» гиперболические косинус и синус. Параметр регулирует высоту фигуры вдоль оси OZ. Для того чтобы при подстановке этих параметрических уравнений в уравнение однополостного гиперболоида получить тождество, нужно вспомнить аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций .

Пример построения однополостного гиперболоида:

Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид . Так как переменная z явно выражена через x и y , то эллиптический параболоид можно построить с помощью «meshgrid»

Упражнение 5.

Провести исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

Однополосного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, гиперболического параболоида, эллиптического параболоида.

Например, по однополостному параболоиду должно быть примерно такое исследование:

разбиваем графическое окно на несколько подобластей

в первом рисуем все, что касается сечений параллельных плоскости УОХ,

Прокомментировать, как получаемые сечения связаны с непосредственным названием фигуры.

Анимация.

Конус. . Его поверхность можно полностью составить из прямых линий. Такие поверхности называются линейчатыми. Исходя из этого, образуем поверхность конуса вращением прямой – образующей конуса, которая вращается вокруг пересекающейся с ней другой прямой - осью конуса. Вращение будем осуществлять с помощью функции «rotate(L,[1 1 0],10+i)», образующая L поворачивается вокруг оси с направлением [1 1 0], на угол 10 градусов. За счет «i» создается цикл, в результате которого мы каждый раз исходную фигуру L будем поворачивать на все больший угол, пока не пройдем полный оборот 360 градусов. Команда «pause(секунды)» позволяет работать программу с задержкой, что и создает впечатление анимации.

Пример построения поверхности конуса с помощью вращения:

grid on, hold on, box on, axis equal,view(23,29)

% Строим ось вращения: задаем прямую параметрически

% t-параметр, М-точка, V – направляющий вектор оси

plot3(os (1,:), os (2,:), os (3,:),'Color','red','LineWidth',2);

plot3(os (1,2), os (2,2), os (3,2),'>r','MarkerSize',8,'LineWidth',4);

% Строим образующую L

L=plot3(obr (1,:), obr (2,:), obr (3,:));

for i=1:2:360, L=plot3(obr (1,:), obr (2,:), obr (3,:),'m');

rotate(L,[0 0 1],10+i),pause(0.1),end

Упражнение 6.

Сделать анимацию, вращения прямой вокруг параллельной ей прямой. (Что получится?)

Задание на «5».

Однополостный гиперболоид . Также является линейчатой поверхностью. Более того через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности. Его поверхность можно получить, вращая прямую или даже две пересекающиеся прямые, принадлежащие поверхности параболоида вокруг скрещивающейся с ними прямой, то есть вокруг мнимой оси однополосного гиперболоида.

*Задание 1*. Составить уравнения двух пересекающихся прямых в пространстве, скрещивающихся с осью OZ, их вращением получить однополостный гиперболоид, с осью симметрии OZ.

*Задание 2*. Аналитически привести уравнение кривой к каноническом виду. Нарисовать график полученной кривой, отметить фокусы, отобразить директрисы.

а)

б) доказать, что уравнение определяет параболу, привести к каноническом виду, построить кривую, провести ось симметрии, директрису, отметить фокус.

Прямая x=y=z+1 вращается вокруг оси OZ. Изобразить поверхность. Составить уравнение поверхности вращения.

На опросе помимо теоретического вопроса по теме модуля, будет задание, касающееся устройства мини-программы: построения прямой в пространстве, заданной параметрически.

Нужно уметь описывать каждый объект: «V*t», «size(t)», «ones(size(t))», «M*ones(size(t))». И объяснять, что считывает plot3,если аргументы заданы в виде: «xyz(1,:),xyz(2,:),xyz(3,:)»

Читайте Кривилева стр165, 167: «Задание линии в пространстве»

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости , поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 11).

Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением . Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис.12).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями. Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 12).

Рис. 12 Изображение двуполостного. Рис. 13. Двуполостный гиперболоид. Рис. 14 Двуполостный гиперболоид

гиперболоида с помощью сечений вращения

Если в уравнении , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости, вокруг оси (рис.14).

Определение

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где - положительные числа.

С математической точки зрения поверхность лучше определять с помощью уравнения , так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины имеют размерность длины, то в уравнении размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости , поэтому

Это уравнение пары прямых на плоскости . Построим эти прямые (рис.15). Сечение плоскостью также является парой прямых с уравнением .

Рис. 15. Сечения плоскостями и .

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду . Обозначив и , получим

Данное уравнение является уравнением эллипса. Построим полученные сечения (рис. 17).

Рис.16. Дополнительное сечение Рис.17. Изображение конуса с помощью сечений

Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса.

Если в каноническом уравнении , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости, вокруг оси .

Параболоиды

Определение

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где и - положительные числа.

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду , то есть к виду , где , . Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При плоскость поверхность не пересекает.

Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 20).

Рис.20 Дополнительное сечение Рис. 21.Эллиптический параболоид Рис. 22.Параболоид вращения

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости.

Если в уравнении , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 22).

Читайте также: