Распределение пуассона в excel

Обновлено: 05.07.2024

Рассмотрим взаимосвязь Биномиального распределения, распределения Пуассона, Нормального распределения и Гипергеометрического распределения. Определим условия, когда возможна аппроксимация одного распределения другим, приведем примеры и графики.

Схема взаимосвязи 4-х распределений случайных величин выглядит так:

• Биномиальное распределение B(n;p),
• Распределение Пуассона Pois(λ),
• Нормальное распределение N(μ;σ) и
• Гипергеометрическое распределение H(n;D;N)

Формулы приближенного вычисления разрабатывались для упрощения и ускорения вычислений в условиях отсутствия или дороговизны времени вычислительных машин. Учитывая современные возможности компьютеров, аппроксимация для этих целей сейчас стала бессмысленна. Однако, примеры, рассмотренные ниже, полезны для понимания условий применения того или иного распределения при решении реальных практических задач и понимания взаимосвязи различных распределений между собой.

Аппроксимация Гипергеометрического распределения Биноминальным распределением

В случае, когда размер совокупности N Гипергеометрического распределения гораздо больше размера выборки n (т.е., N >> n или n/N >n имеет место хорошая аппроксимация? Дело в том, что в случае Гипергеометрического распределения выборка производится без возвращения , т.е., результат каждого последующего испытания зависит от результатов предыдущих испытаний, что является нарушением условия применимости Биномиального распределения . По мере уменьшения отношения n/N предыдущие испытания все меньше и меньше влияют на исход последующих, тем самым обеспечивая выполнение условий эксперимента по Схеме Бернулли , лежащей в основе Биномиального распределения , что в свою очередь приводит к совпадению результатов этих двух распределений.

Связь Распределения Пуассона и Биномиального распределения

Распределение Пуассона с параметром λ( лямбда) является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если:

• параметр nБиномиального распределения стремится к бесконечности;
• вероятность успеха p стремится к 0;
• произведение n*p=λ достаточно мало и постоянно.

Строгое доказательство этого утверждения называется теоремой Пуассона , а приближенная формула – формулой Пуассона .

Примечание : Вывод формулы Пуассона основан на известном пределе

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

• p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением . Подробнее, см. раздел Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением .

Для пояснения связи этих двух распределений рассмотрим задачу.

Задача

Известно, что среднее количество звонков, поступающих на телефонную станцию в течение 1 часа, равно 50. Необходимо произвести расчет вероятности количества вызовов, поступивших на станцию за 1 час.

Т.к. звонки делаются независимо, а средняя частота звонков постоянна, то вероятность количества звонков, поступивших на станцию за 1 час, можно смоделировать распределением Пуассона с параметром λ=50.

Теперь взглянем на ситуацию не с позиции телефонной станции, а с позиции поступления отдельных звонков, и построим модель на основе Биномиального распределения с параметрами n и p .

В основе Биномиального распределения лежит Схема Бернулли . Испытание в нашем случае будет состоять из регистрации факта поступления 1 звонка на станцию за определенный период времени. Напомним, что для применения Схемы Бернулли должны быть выполнены следующие 3 условия:

• Каждое испытание должно иметь только два исхода , условно называемых «успехом» и «неудачей». Для нашего случая – поступил звонок или нет;
• Результат каждого эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов (независимость испытаний). Для нашего случая это обеспечивается предположением о независимости звонков от разных абонентов (звонят не сговариваясь).
• Вероятность успеха p должна быть постоянной для всех испытаний. В нашем случае вероятность регистрации звонка не зависит от того когда он был сделан: в начале периода наблюдения (часа) или в конце.

Предположим, что сначала решили, что в течение часа будет проведено 100 наблюдений (n=100). Т.е. каждые 36 секунд (1час= 3600сек) будет фиксироваться факт поступления звонка, причем звонок должен быть единственным за период наблюдения (требования условия 1 ). Но, это условие может быть и не выполнено, т.к. в течение 36 секунд может поступить 2 и более звонка. Это следует, из того что вероятность p поступления 1 звонка в течение данного периода наблюдения достаточно высока и равна 0,5=50%: в час поступает 50 звонков, т.е. в среднем 1 звонок за 3600сек/50=72 сек. Кроме того, параметр распределения Пуассона λ = n * p , следовательно p =50/100=0,5 .

Поэтому, чтобы соблюсти условие 1 применимости Биномиального распределения , необходимо сократить период наблюдения, увеличив n, тем самым исключив возможность регистрации за период наблюдения более 1 звонка.

Увеличим размер выборки n до 1000. Теперь факт поступления звонка будет фиксироваться каждые 3,6 сек=(1час=3600сек)/1000. В этом случае вероятность «успеха» p в одном испытании по Схеме Бернулли будет равна 50 звонков /1000 интервалов=0,05 . Теперь мы выполнили все 3 условия необходимые для применения приближения Биномиального распределения распределением Пуассона (см. начало статьи) .

При n=1000 обе модели ( распределение Пуассона и Биномиальное распределение ) должны давать одинаковый результат. Следовательно, формулы =БИНОМ.РАСП(x;n;p;ИСТИНА) и =ПУАССОН.РАСП(x;n*p;ИСТИНА) должны возвращать примерно одинаковые значения для одних и тех же х . Это видно на картинке ниже (см. файл примера лист Биномин-Пуассон ).

По мере уменьшения размера выборки n (при этом будет пропорционально увеличиваться вероятность p , т.к. будет расти интервал наблюдения за поступившими звонками), то приближение будет все менее точным (из-за нарушения условия 1 применимости Биномиального распределения ).

Например, при n=100, оба распределения будут существенно отличаться (для удобства изменения интервала в файле примера использован элемент управления Счетчик ).

О точности приближения. Как было показано выше, из формулы Пуассона следует, что при увеличении n разность между величинами, вычисленными по формулам ПУАССОН.РАСП() и БИНОМ.РАСП() стремится к нулю. Однако, следует учитывать, что формула Пуассона гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность, может быть сколь угодно большой.

Например, для n=1000 и p=0,05 (λ=50) относительная погрешность при вычислении плотности вероятности составляет несколько процентов (см. файл примера лист Биномин-Пуассон ).

При уменьшении n (и, соответственно, увеличении p ), относительная погрешность существенно возрастает и может стать неприемлемой.

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением.

При n*p>10 форма графика плотности вероятности Биномиального распределения близка к колоколообразной форме Нормального распределения .

Напомним, что математическое ожидание (среднее) Биномиального распределения равно n*p, а дисперсия = n*p*q. Нормальное распределение с параметрами:μ= n*p,σ =КОРЕНЬ(n*p*q) хорошо аппроксимирует соответствующее Биномиальное распределение .

Как видно из рисунка выше, формулы =БИНОМ.РАСП(x;n;p;ЛОЖЬ) и =НОРМ.РАСП(х;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ЛОЖЬ)

возвращают примерно одинаковые результаты: относительная погрешность составляет примерно 1% (см. файл примера лист Биномин-Норм, столбец S ).

Приложение : Строгое математическое доказательство, обосновывающее возможность этого приближения, называется локальной теоремой Муавра-Лапласа, которая является следствием более общей Центральной предельной теоремы .

Приближение также можно осуществить через интегральную функцию нормального распределения , введя так называемую поправку на дискретность, вследствие того, что аппроксимируемое Биномиальное распределение является дискретным , а Нормальное распределение – непрерывным распределением . Поправка заключается в том, что для оценки вероятности биномиальной случайной величины принять некое значение х, вычисляется вероятность случайной величины, распределенной по соответствующему нормальному закону , принять значение в диапазоне от x-0,5 до x+0,5. В файле примера это реализовано с помощью формулы: =НОРМ.РАСП(x+0,5;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(x-0,5;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ИСТИНА)

Результаты вычислений по обеим формулам (через плотность вероятности и интегральную) практически совпадают: для μ=250 относительная разница составляет доли процента.

Изначально формулы приближенного вычисления разрабатывались для упрощения вычислений. Хотя в современных условиях это уже не актуально, использование аппроксимирующего распределения, в некоторых случаях может упростить ход решения задачи. Поясним на примере.

Задача . Производственный процесс изготавливает десятки тысяч микросхем в день. В среднем, 10% микросхем – бракованные (доля дефектных равна 0,1). Регулярно, контролер качества отбирает партию определенного размера и тестирует микросхемы. Нужно определить, размер партии n , при котором наблюденная частота f = x брак / n с вероятностью 0,95 отличается от доли дефектных изделий 0,1 не более чем на 0,02.

Решение1 . Вероятность обнаружить в контрольной партии размера n определенное число х бракованных микросхем при доли дефектных p=0,1 соответствует модели Биномиального распределения .

По условиям задачи вероятность отклонения частоты f в обе стороны от ожидаемого значения 0,1 должна быть меньше 5% (1-0,95). Вероятность отклонения частоты f только в одну сторону, например в сторону превышения, должна быть меньше 5%/2=2,5%. Эта вероятность является альфа-риском (риском отклонить гипотезу, что оцениваемая доля бракованных p не больше заданного нами порогового значения). Поэтому, мы можем оценить наибольшее значение x, при котором с вероятностью 0,975 диапазон отклонения f от p еще не будет превышать 0,02. Для этого расчета в MS EXCEL можно использовать функцию БИНОМ.ОБР() или КРИТБИНОМ() для MS EXСEL 2007 и более ранних версий.

В качестве аргументов функции БИНОМ.ОБР() нужно указать размер выборки n, вероятность «успеха» p (т.е. обнаружения брака) и альфа-риск . Для расчетов в файле примера на листе Биномин-Норм создана форма, в которой, с использованием инструмента Подбор параметра, можно подобрать размер выборки n. В результате расчетов получим, что выборка должна быть не меньше 875 микросхем.

Решение2 . Учитывая, что для данных значений n и p возможно использовать приближение нормальным распределением с параметрами μ=n*p и σ =КОРЕНЬ(n*p*(1-p)) , решим задачу другим способом.

Ожидаемое количество бракованных изделий в партии размера n равно n*p. В соответствии с условиями задачи, количество бракованных изделий должно лежать в пределах [n*p-0,02*n; n*p+0,02*n] с вероятностью 95%. Воспользовавшись нормальным распределением , вычислим вероятность, того что количество бракованных микросхем будет находиться в этом диапазоне. Это можно сделать с помощью выражения: =НОРМ.РАСП(n*p+0,02*n; n*p; КОРЕНЬ(n*p*(1-p)); ИСТИНА) – НОРМ.РАСП(n*p-0,02*n; n*p; КОРЕНЬ(n*p*(1-p)); ИСТИНА)

Это выражение, при определенном n, должно равняться заданной вероятности 95%. Подбор n также сделаем с использованием инструмента Подбор параметра (в параметрах MS EXCEL установите количество итераций=1000, а точность 0,0001 или точнее). Найденное решение будет равно 864, что близко к результату, полученному с использованием Биномиального распределения . Причем ход решения даже прозрачней, чем в первом варианте решения.

Примечание : Решение задачи близко по сути с определением доверительного интервала .

Аппроксимация распределения Пуассона Нормальным распределением

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ , σ 2 =λ .

Для λ =1000 относительная погрешность составляет менее 1%. Расчеты приведены в файле примера на листе Пуассон-Норм .

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ( лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Плотность вероятности распределения Пуассона задается следующей формулой:

λ – единственный параметр распределения Пуассона .

СОВЕТ : подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

• число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
• число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
• число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

• события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
• средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
• два события не могут произойти одновременно;
• число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

• число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
• число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
• число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название - POISSON.DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), но и интегральную функцию распределения (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения – Гистограмма с группировкой . Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат стандартного отклонения ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы дробная часть числа отбрасывается . Формулы =ПУАССОН.РАСП( 2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП( 2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ() , см. файл примера лист Генерация .

Связь Распределения Пуассона с Биномиальным и Нормальным распределением

Распределение Пуассона является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p – к 0.

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

• p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ =λ , σ 2 =λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

В следующем разделе «Распределение Пуассона в Excel» представлен обзор наиболее часто используемых функций в Excel. Это предварительно встроенная интегрированная функция распределения вероятностей (pdf) в Excel, которая классифицируется как Статистические функции.

Используется для расчета прогноза выручки.

Это связано с экспоненциальным распределением. Это число событий, произошедших в данной единице времени или расстояния, области или объема, например

а) Нет случаев несчастных случаев на велосипеде в день. Здесь число появлений события является случайной величиной Пуассона, оно непредсказуемо и неизвестно, события происходят случайным образом и независимо.

б) Количество телефонных звонков, полученных агентом колл-центра за 60 минут.

в) Количество недостатков в болте ткани.

d) Количество ошибок на каждой странице документа, которые могут быть орфографическими или другими ошибками.

Массовая функция вероятности Пуассона вычисляет вероятность появления x и рассчитывается по нижеприведенной статистической формуле:
P (x, λ) = ((e −λ ) * λ x ) / x!

Вот,

• λ (лямбда) - ожидаемое количество вхождений за указанный период времени.
• X (случайная величина) называется пуассоновской случайной величиной с параметром λ.
• е аналогичен пи, является математической константой, базой натуральных логарифмов, которая приблизительно равна 2, 71828.
• Икс! который называется х факториал, например, 5 факториалов будет 120, который рассчитывается как

5! = 5x4x3x2x1 = 120

Примечание. Здесь значение случайной величины равно лямбде, лямбда часто используется в распределении Пуассона.

Кривые распределения Пуассона для вероятности массы и кумулятивного

Объяснение функции распределения Пуассона в Excel

Он используется для оценки или прогнозирования вероятности определенного числа событий в течение определенного интервала времени или пространства.

Синтаксис или формула для функции распределения Пуассона в Microsoft Excel:

Синтаксис или формула функции POISSON.DIST имеет нижеприведенный аргумент:

• x: это общее количество событий, вероятность которых будет рассчитана.

Это значение должно быть целым числом; Если указан десятичный знак, он будет сокращен до целого числа в Excel.

• Среднее значение : ожидаемое количество событий (Примечание: оно должно быть ≥ 0).
• Накопительный : логический аргумент, который указывает тип распределения, которое будет рассчитано.

Здесь тип распространения может быть или может быть одним из следующих:

• ИСТИНА или 1 - использовать накопительную функцию распределения или

Он вернет совокупную вероятность того, что событие x или меньше произойдет.

• FALSE или 0 - использовать функцию вероятности массы или плотности.

то есть Excel вернет вероятность только x количества событий.

Как использовать функцию распределения Пуассона в Excel?

Давайте посмотрим, как работает функция распределения Пуассона в Excel, с примерами.

Вы можете скачать этот шаблон Excel по распределению Пуассона здесь - Шаблон Excel по распределению Пуассона

Пример № 1 - Расчет вероятности массы или функции плотности

Предположим, что агент исходящих звонков совершил 5, 8 телефонных звонков в минуту, и в этом случае возникновение звонков можно прогнозировать с помощью или посредством распределения POISSON. Давайте проверим, как рассчитать как интегральную функцию распределения, так и функцию вероятности или плотности.

Теперь мы можем вычислить массу вероятности или функцию плотности, используя функцию распределения Пуассона.

• Выберите ячейку, в которой необходимо применить функцию распределения Пуассона для расчета кумулятивного распределения , т.е. «A2»
• Теперь нажмите кнопку «Вставить функцию» (fx) под панелью инструментов формул в верхней части листа Excel. Появится диалоговое окно, в котором необходимо ввести ключевое слово «POISSON» в поиске функционального окна, появятся два типа уравнений Пуассона. Для этого вам нужно выбрать функцию распределения Пуассона.

Предположим, агент колл-центра совершил ровно 5 телефонных звонков за 1 минуту.

X = 5, это общее количество событий, вероятность которых будет рассчитана.

Среднее значение = 5, 8, это ожидаемое количество событий, которые должны произойти.

Накопительный : логический аргумент, который указывает тип распределения, которое будет рассчитано.

• Здесь тип распределения, который нужно выяснить, - это вероятность или функция плотности. следовательно, кумулятивный = ложь или 0 (функция плотности вероятности). Он вернёт вероятность только x количества событий.

• Функция распределения Пуассона возвращает значение вероятностной массы или функции плотности, т. Е. 0, 165596337, где вам нужно преобразовать его в процент, что дает 16, 55%.

При указанном выше значении, если я строю график для вероятности массы или функции плотности, то есть телефонных звонков в минуту по оси Y (средние значения) и вероятности массы или плотности по оси X (значения в формате PDF), он выглядит как упомянуто ниже.

Кривая распределения Пуассона для функции вероятности массы или плотности

Аналогично, мы можем вычислить кумулятивное распределение с помощью функции распределения Пуассона.

Пример № 2 - Расчет совокупного распределения

Предположим, колл-центр совершил до 5 звонков в минуту.

Чтобы рассчитать совокупное распределение с помощью функции распределения Пуассона, единственное изменение, которое необходимо сделать, - это кумулятивный аргумент в функции распределения Пуассона, установленный как значение ИСТИНА, а не ложь.

• Выберите ячейку, в которой необходимо применить функцию распределения Пуассона для расчета кумулятивного распределения, т.е. «D6»
• Теперь нажмите кнопку «Вставить функцию» (fx) под панелью инструментов формул в верхней части листа Excel. Появится диалоговое окно, в котором необходимо ввести ключевое слово «POISSON» в поиске функционального окна, появятся два типа уравнений Пуассона. Для этого вам нужно выбрать функцию распределения Пуассона.

Предположим, агент колл-центра совершил ровно 5 телефонных звонков за 1 минуту.

X = 5, это общее количество событий, вероятность возникновения которых будет рассчитана

Среднее значение = 5, 8, это ожидаемое количество событий, которые должны произойти.

Накопительный : логический аргумент, который указывает тип распределения, которое будет рассчитано.

Здесь тип распределения, чтобы узнать, является кумулятивным. Следовательно, кумулятивный = ИСТИНА или 1 Кумулятивная функция плотности (CDF).

Excel вернет совокупную вероятность события x или меньше.

Функция распределения Пуассона возвращает значение кумулятивного распределения, то есть 0, 478314687, где вам нужно преобразовать его в процент, что дает 47, 83%.

То, что нужно запомнить

• Значение X в функции распределения Пуассона всегда должно быть целым числом, если вы введете десятичное значение, оно будет усечено до целого числа в Excel

Рекомендуемые статьи

Это руководство по распределению Пуассона в Excel. Здесь мы обсуждаем, как использовать функцию распределения Пуассона в Excel вместе с примерами и загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете посмотреть следующие статьи, чтобы узнать больше -

Функция ПУАССОН.РАСП в Excel используется для получения распределения Пуассона для случайных событий, происходящих за определенный промежуток времени с известной средней частотой.

Закон Пуассона распределения вероятностей случайной величины в Excel

Функция ПУАССОН.РАСП возвращает два варианта значений (в зависимости от значения, переданного в качестве третьего аргумента):

1. Интегральное распределение Пуассона – числовое значение вероятности того, что известное количество случайных событий принадлежит диапазону 0;[x] (то есть, от 0 до x включительно).
2. Функция весовых коэффициентов – числовое значение вероятности того, что количество произошедших событий точно равно числу x.

Для расчета плотности вероятности используется следующая формула:

Здесь x находится в диапазоне от 0 до бесконечности со знаком плюс.

1. Функция распределения вероятностей (в целом) – зависимость F(x), которая в точке x принимает значение, соответствующее вероятности того, что некоторая случайная величина X будет меньше значения x), то есть F(x)=P(X<x).
2. Для понимания функций распределения вероятности рассмотрим пример о заводе по производству соков. При расфасовке тар емкостью 1000 г возможны отклонения от заявленного объема, поскольку дозирующее устройство работает с погрешностью. То есть, может быть емкость, содержащая 1000 г сока, и емкость с 980 г сока. Вероятность того, что в одной из тар будет 980 г напитка составляет 0, а 1000г – 1. Для нахождения промежуточных значений объемов используют функции распределения. К примеру, если настроить дозирующее устройство на наполнение емкостей по 990 г сока, вероятность нахождения тары с меньшим объемом напитка составляет 0,5.
3. Функция ПУАССОН использовалась в более старых версиях Excel до 2010 года. Она была оставлена для обеспечения совместимости. В более новых версиях следует использовать функцию ПУАССОН.РАСП.
4. Распределение Пуассона – один из видов функций распределения величин. Ее рационально использовать, если исследуемая математическая модель удовлетворяет следующим условиям:

• Вероятность каждого последующего события не связана с предыдущим, то есть каждое событие является независимым;
• События характеризуются средней частотой, которая является константой;
• Вероятность события и длина периода наблюдения являются пропорциональными величинами;
• Вероятность происхождения двух событий одновременна равна нулю;
• Отсчет количества событий начинается от 0 до бесконечности (0, 1, 2,…);
• Среднее значение выборки является величиной, близкой по значению к значению дисперсии.

Примечание: Распределение Пуассона неприменимо в следующих случаях:

• события являются зависимыми;
• непостоянство средней величины;
• минимальная величина превышает значение 0.

Решение задачи на распределение Пуассона в Excel

Пример 1. Отдел технического контроля определил, что среднее число не соблюденных допусков в размерах производимых деталей составляет 6. Определить вероятности следующих событий обеими рассматриваемыми функциями (для сравнения результатов вычислений):

1. Вероятность наличия 3 и менее погрешностей в случайно отобранной детали.
2. Вероятность наличия ровно 3 погрешностей в случайно выбранной детали.

Вид таблицы данных:

Рассчитаем вероятность наличия трех и менее дефектов с помощью функций:

• B3 – среднее значение;
• B2 – предполагаемое значение, для которого рассчитывается вероятность;
• ИСТИНА – указатель на интегральный тип функции.

Для нахождения вероятности выбора детали с наличием ровно трех дефектов используем функции:

Для расчета вероятности точного совпадения третий аргумент задан в качестве логического ЛОЖЬ.

Как видно, результаты вычислений обеих функций идентичны.

Биномиальное распределение Пуассона в Excel

Пример 2. На заводе по производству мониторов ожидается, что 5% изделий будут бракованными. Была взята выборка из 30 мониторов. Определить вероятность того, что 1 монитор из 30 окажется бракованным. Для решения использовать распределение Пуассона и биномиальное распределение, полученные результаты сравнить.

Вид таблицы данных:

Для определения вероятности события, при котором в выборке будет найден один бракованный монитор с использованием распределения Пуассона запишем функцию:

Произведение B4*B3 соответствует среднему ожидаемому значению (1,5). Полученный результат:

Для расчета с использованием биномиального распределения запишем функцию:

Как видно, для данной математической модели подходят оба метода определения вероятностей, поскольку полученные значения отличаются незначительно.

Читайте также:

  
• Сортировка листов в excel по алфавиту
  
• Команда для автокада epdfshx
  
• 1с планировщик формат даты
  
• 3d модели в формате автокад
  
• Delphi и visual studio сравнение