Решение матричной игры в excel

0,176471	1,54E-33	0,411765
0,058824	0,823529
0,117647
1,54E-33
0,058824
0,117647

Переход к решению исходной игры.

Проверка: Произведение двух векторов и матрицы, взятое в заданном порядке, равно цене игры:

Ответ:

Обоснование распределения финансовых ресурсов между проектами.

На инвестирование трех проектов выделено В млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений x_i в каждый j-й проект, заданная таблично значением нелинейной функции f_j(x_i), где , , n – количество проектов, m – количество возможных сумм капитальных вложений.

Необходимо распределить выделенные средства между проектами таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Исходные данные варианта 0:

Математическая модель задачи.

Определить х * = ( , , …, , …, ), обеспечивающий максимум целевой функции

и удовлетворяющий условиям

,

Математическая модель задачи варианта 0:

,

.

Максимально возможный доход, который может быть получен с проектов (с k-го по n-й), определяется с помощью функции Беллмана:

,

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах x_i = тыс. руб.

Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 3.

x3 C3

F3(C3)

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₃, которые могут быть предоставлены третьему проекту. В столбце C₃ отражены варианты значений капиталовложений, которые могут быть выделены всем трем проектам в совокупности.

Предположим, что все средства в количестве x₃ = 700 тыс. руб. отданы третьему проекту. В этом случае максимальный доход составит f₃(x₃) = 700 тыс. руб., следовательно: F₃(C₃) = f₃(x₃) и x₃= C₃.

2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим проектами. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

.

Представим в таблице расчет функции Беллмана.

x2 C2	F2(C2)
0+0
0+40	50+0
0+50	50+40	70+0
0+80	50+50	70+40	90+0
0+110	50+80	70+50	90+40	120+0	100/300
0+150	50+110	70+80	90+50	120+40	160+0	100/400/500
0+180	50+150	70+110	90+80	120+50	160+40	190+0	100/500
0+230	50+180	70+150	90+110	120+80	160+50	190+40	220+0	0/600

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₂, которые могут быть предоставлены второму проекту при условии, что часть средств выделяется третьему проекту. В клетках таблицы первое слагаемое – это возможный прирост выпуска продукции при втором проекте f₂(х₂) в результате освоения капиталовложений х₂; второе слагаемое – значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₃(C₂ – х₂), т.е. возможный прирост выпуска продукции при третьем проекте, если ему будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₂ – х₂.

Например, рассуждая формально, если при общей величине капиталовложений C₂ = 0 второму проекту выделяется х₂ = 0, то прирост продукции составляет f₂(0) = 0, а значение функции Беллмана из табл.1 составит: F₃(0 – 0) = 0. Поэтому в клетке табл. 2 (0, 0) отражается сумма 0+0.

При общей величине капиталовложений C₂ = 100 тыс. руб. возможны уже два варианта распределения средств между вторым и третьим проектами:

1) второму проекту ничего не выделяется, т.е. х₂ = 0 и прирост продукции составляет f₂(0) = 0. В этом случае значение функции Беллмана из табл. 1 составит F₃(100 – 0) = F₃(100) = 40 тыс. руб., т.е. вся сумма C₂ = 100 тыс. руб. выделена третьему проекту, поэтому суммарный прирост продукции составит 0+40, отражаемый в клетке (100, 0).

2) второму проекту может быть выделено х₂ = 100 тыс. руб., прирост продукции при втором проекте составляет f₂(100) = 50 тыс. руб. В этом случае значение функции Беллмана из табл. 1 составит F₃(100 – 100) = F₃(0) = 0, т.е. вся сумма C₂ = 100 тыс. руб. выделена второму проекту, поэтому суммарный прирост продукции составит 50+0, отражаемый в клетке (100, 100).

Рассуждая аналогично, заполняются все строки табл. 2.

Максимальная сумма по каждой строке вносится в колонку F₂(C₂), одновременно в колонку вносят соответствующие максимальным суммам значения х₂ из шапки табл. 2.

Например, в строке C₂ = 100 максимальная сумма 160 не единственная, следовательно, F₂(100) = 50, ему соответствует значение х₂ = 100, следовательно, =100. В строке C₂ = 500 максимальная сумма единственная 50, следовательно, F₂(500) = 160, ему соответствуют значения х₂ = 100, х₂ = 400, х₂ = 500, следовательно, =100/400/500.

3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими проектами, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

, на ее основе составлена табл. 3.

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₁, которые могут быть предоставлены первому проекту при условии, что часть средств выделяется второму и третьему проекту. В клетках таблицы первое слагаемое – это возможный прирост выпуска продукции при первом проекте f₁(х₁) в результате освоения капиталовложений х₁; второе слагаемое – значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₂(C₁–х₁), т.е. возможный прирост выпуска продукции при втором и третьем проектам, если им будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₁ – х₁.

x1 C1	F1(C1)
0+0
0+50	30+0
0+90	30+50	50+0
0+110	30+90	50+50	70+0
0+130	30+110	50+90	70+50	100+0	100/200
0+160	30+130	50+110	70+90	100+50	150+0	0/100/200/300
0+200	30+160	50+130	70+110	100+90	150+50	190+0	100/500
0+230	30+200	50+160	70+130	100+110	150+90	190+50	210+0	500/600

Значение функции Беллмана F₁(С₁) представляет собой максимально возможный доход при всех проектах, а значение , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первый проект.

Значение целевой функции равно максимальному значению функции Беллмана F₁(С₁) из табл. 3.

Следовательно, значение целевой функции равно F_max(x * ) = 240 тыс. руб.

II этап. Безусловная оптимизация.

Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина С_k = (С_k-1 – х_k-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение х_k, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S_k.

Определяем компоненты оптимальной стратегии. Для этого значения функций Беллмана и соответствующие им оптимальные значения х вносим в итоговую табл. 4.

F3(C3)		F2(C2)		F1(C1)
100/300	100/200
100/400/500	0/100/200/300
100/500	100/500
0/600	500/600

1-й шаг. По данным из табл. 4 максимальный доход при распределении 700 тыс. руб. между тремя проектами составляет: C₁ = 700, F₁(700) = 240 тыс. руб.

При этом возможны следующие варианты.

Первому проекту нужно выделить:

1) = 500 тыс. руб.;

2) = 600 тыс. руб.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего проектов:

1) С₂ = C₁ – = 700 – 500 = 200 тыс. руб.;

2) С₂ = C₁ – = 700 – 600 = 100 тыс. руб.

По данным табл. 4 находим, что оптимальный вариант распределения между вторым и третьим проектами денежных средств размером:

1) 200 тыс. руб. составляет: F₂(200) = 90 тыс. руб. при выделении второму проекту = 100 тыс. руб.;

2) 100 тыс. руб. составляет: F₂(100) = 50 тыс. руб. при выделении второму проекту = 100 тыс. руб.

3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего проекта:

1) С₃ = C₂ – = 200 – 100 = 100 тыс. руб.;

2) С₃ = C₂ – = 200 – 200 = 0.

По данным табл. 4 находим:

1) F₃(100) = 40 и = 100 тыс. руб.;

2) F₃(0) = 0 и = 0.

Таким образом, возможны два альтернативных варианта оптимального плана инвестирования проектов:

1) х * = (500, 100, 100), который обеспечит максимальный доход, равный

F(700) = f₁(500) + f₂(100) + f₃(100) = 150 + 50 + 40 = 240 тыс. руб.;

2) х ** = (600, 100, 0), который обеспечит максимальный доход, равный

F(700) = f₁(600) + f₂(100) + f₃(0) = 190 + 50 + 0 = 240 тыс. руб.

Заключение.Подвести итог о том, что в работе исследовано и что получено.

Как уже отмечалось, любая парная игра с нулевой суммой может быть сведена к решению задачи линейной оптимизации. Используя значение функции и неизвестных взаимно двойственных задач линейной оптимизации, легко найти цену игры и вероятности применения стратегий каждым из игроков.

Пример 1.

В качестве примера применения информационных технологий Excel найдем решение парной игры с платежной матрицей

Для данной задачи (седловая точка отсутствует). Запишем пару двойственных задач линейной оптимизации для решения игры.

Решим исходную и двойственную задачи с помощью Excel.

Рекомендуемые файлы

Внесем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.1.

Рис. 4.1. Данные для решения исходной задачи примера 1.

В ячейки E3:E6 введем формулы для расчета функций – ограничений, ячейки B9:D9 отведем для переменных , ячейку B15 – для расчетного значения цены игры , диапазон ячеек F12:H12 – для расчетных значений вероятностей применения стратегий игроком I, и, наконец, ячейку F9 – для расчета целевой функции. Введем все необходимые формулы в соответствующие ячейки. Установим все необходимые ограничения исходной задачи перед запуском Поиска решения. С помощью Поиска решения получим следующий результат:

В EXCEL задача составляется на двух листах. На первом отражены интересы второго игрока, а на втором- первого. На первом листе в ячейки B4:F4 заносятся значения, равные 1. Следующая строка- это нижняя граница, равная 0, а следующая строка- верхняя граница, равная 1. В ячейки B8:F10 заносятся ограничения модели. В левую часть заносится формула сумма произведений. В правую часть в первом ограничении заносится 1, в остальные два- 0. Знак в первом ограничении =, а в остальных- <=. Целевая функция на минимум.

На втором листе в ячейки B4:D4 заносятся 1. Также пишется верхняя и нижняя граница. В ячейки B8:C12 заносятся 5 ограничений модели. Левая и правая части аналогичны первому листу. Знак первого ограничения- =, а остальные- >=. Целевая функция на максимум.

Для составления компьютерного аналога математической модели используется надстройка «поиск решений». Для вызова окна надстройки необходимо обратиться в меню сервис/поиск решений.

Для запуска вычислительного процесса необходимо нажать кнопку ВЫПОЛНИТЬ, после чего в случае верного решения появляется окно «Результаты поиска решения». При этом на рабочем листе происходят соответствующие изменения найдены оптимальные значения переменных, в целевой ячейке – минимальное значение целевой функции, а на втором листе- максимальное. Внизу экрана появился корешок – отчет по результатом.

3.Анализ результатов расчетов, и их экономическая интерпретация.

Графический анализ матричной игры

Это означает, что первый игрок должен делать 1-й ход с вероятностью 0,6, а 2-й с вероятностью 0,4.

V=-1,4 - это означает, что первый игрок проиграет второму 1,4 ед. , и это будет его минимальный проигрыш.

Это означает, что второй игрок должен делать 2-й ход с вероятностью 0,533, 3-й ход с вероятностью 0,467, а первым и четвертым он не должен пользоваться

V=-1,4 – это означает, что второй игрок выиграет 1,4 ед. , и это будет его минимальный выигрыш.

Задача оптовой закупки при неопределенности розничной продажи

Это означает, что фирма будет рассчитывать на дождь с вероятностью 0,5547, а на солнце с вероятностью 0,4353.

V= -697 – это означает, что фирма потерпит убытки в размере 697 рублей, и это будит ее минимальный проигрыш.

Это означает, что дождь будит с вероятностью 0,5547, а солнце с вероятностью 0,4353.

Читайте также:

  
• Логин дискорд что такое
  
• Ошибка 3 adobe illustrator
  
• Как пробудить шаринган в реальной жизни за пару минут без фотошопа на все жизнь
  
• 1с унф или 1с бухгалтерия что лучше
  
• Как включить анализ данных в excel