Решение задач вычислительной математики с помощью программ excel и mathcad

Обновлено: 04.07.2024

При изучении дисциплины “Математика” в средних специальных учебных заведениях предполагается рассмотрение темы: “Элементы численных методов”. Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для реализации численных методов позволяет сформировать понимание математического содержания конкретного метода и умение использовать современные программные средства. При использовании MathCAD 2000 и Microsoft Excel в ходе выполнения лабораторных работ студенты получают возможность использовать знания, полученные при изучении дисциплины “Информатика”.

Возможности MathCAD 2000 позволяют строить графики зависимостей, графически отделять корни уравнений, решать уравнения и системы уравнений, преобразовывать полученные выражения, проверять правильность полученного приближённого решения.

Возможности Microsoft Excel позволяют не тратить время на проведение однотипных расчетов, быстро исправлять возникающие ошибки в вычислениях.

Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений методом итераций.

На первом этапе приближённого решения СЛАУ методом простой итерации необходимо привести систему к нормальному виду. Для этого нужно выразить х из первого уравнения, y из второго уравнения и т.д. Это можно сделать с помощью Math CAD 2000. При этом можно использовать один из способов решения уравнений: набирается уравнение, причём равно ставится жирное (<Ctrl>+<=>) и даётся команда solve из панели “Символика”, после указания переменной, относительно которой необходимо разрешить уравнение, получим результат.

На втором этапе решения необходимо проверить для полученной системы, приведённой к нормальному виду условие сходимости итерационного процесса, т. е. сравнить нормы матрицы с единицей. Например, проверить условие, что наибольшая из сумм модулей элементов столбцов меньше 1. Это также можно сделать с помощью Math CAD 2000. При этом используется функция norm1(А) из стандартного набора функций.

Итерационный процесс удобнее осуществить в Microsoft Excel. В столбец А заносится номер итерационного шага, в столбцы В, С, D – значения х_k, y_k, z_k в столбцы E,F,G – значения х_k+1, y_k+1, z_k+1, в столбце Н можно вычислять значение погрешности вычислений на данном шаге итерации, чтобы выполнить вычисления с заданной степенью точности.

При заполнении ячеек В3, С3, D3 лучше ссылаться на ячейки E2, F2, G2, а не вводить данные вручную, это позволит рациональнее использовать время, лучше использовать автозаполнение и проще исправлять ошибки.

В правильности полученных результатов можно убедиться, если решить систему с помощью MathCAD 2000. Это можно сделать с помощью команд given и find.

Для решения данной системы методом Зейделя достаточно будет лишь изменить формулы для вычисления , y_k, z_k.

Пример использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для приближённого решения системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций и методом Зейделя можно увидеть на рис.1.

Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для интерполирования кубическими сплайнами

Сейчас широкое распространение для интерполяции получило использование кубических сплайн–функций – специальным образом построенных многочленов третьей степени.

Проверить правильность выполнения сплайн–интерполирования можно, построив график данной функции и полученного сплайна в MathCAD 2000. Для этого задаются: матрицы Х и У исходных данных, три отрезка на которых строится сплайн–функция. Потом задаются все три функции, определяющие сплайн–функцию (аргумент у каждой должен быть разный, соответствующий отрезку на котором эта функция построена). Последний этап – построение графика. Чтобы задать несколько аргументов и функций используется запятая. Если щёлкнуть по полю графика 2 раза, то появится окно форматирования графиков, в закладке Х–У Axec можно задать линию сетки, а в закладке Traces задать вид линии графика и построить график исходных данных точками, а график полученной сплайн–функции сплошной линией.

Пример использование Math CAD 2000 для интерполирования кубическими сплайнами можно увидеть на рис.2.

Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для поиска экстремума функции методом золотого сечения

При решении задачи на поиск экстремума функции методом золотого сечения необходимо сначала определить отрезок, которому принадлежит минимум или максимум. Это можно сделать, построив график данной функции в MathCAD 2000. Выполнив форматирование графика, можно указать достаточно малый отрезок, которому принадлежит экстремум функции.

Уточнять значение экстремума с заданной степенью точности лучше в Microsoft Excel. В столбцы A и D удобно занести значение концов отрезка на данном шаге, а в столбцы B и C – формулы для нахождения точек, которые осуществляют золотое сечение данного отрезка. В столбцах E и F вычисляются значения функции в этих точках, а в столбце G – вычисляется длина рассматриваемого отрезка, т. е. точность вычисления на данном шаге. Для наглядности выбора следующего рассматриваемого отрезка можно выделять ячейки цветом. Последующие строки заполняются с использованием автозаполнения.

Правильность решения можно проверить в MathCAD 2000. Для этого необходимо воспользоваться правилами нахождения экстремума функции средствами математического анализа. Найти производную функции и решить полученное уравнение помогут панели “Калькулус” и “Символика”.

Пример использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для нахождения экстремума функции методом золотого сечения можно увидеть на рис.4.

Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для поиска экстремума функции методом Ньютона

При нахождении экстремума функции методом Ньютона MathCAD 2000 поможет не только определить отрезок, которому принадлежит экстремум, но и вычислить необходимые для выбора начального приближения первую, вторую, третью производные и значения их на концах рассматриваемого отрезка.

Найти экстремум с заданной степенью точности можно в Microsoft Excel. В столбец А заносится начальное значение экстремума, в столбцах В и С вычисляются значения первой и второй производных в этой точке. В столбце D вычисляется по формуле Ньютона уточнённое значение экстремума, а в столбце Е – точность вычисления на данном шаге.

Пример использование Math CAD 2000 и Microsoft Excel для нахождения экстремума функции методом Ньютона можно увидеть на рис.5

Использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для аппроксимации функций методом наименьших квадратов

При осуществлении линейной аппроксимации функций методом наименьших квадратов для составления уравнения регрессии сначала необходимо вычислить числа М_х, М_ху, М_у, М_х 2 , это удобно сделать в Microsoft Excel, используя автосуммирование.

По полученным значениям М_х, М_ху, М_у, М_х 2 составляется система, после решения которой можно будет записать уравнение регрессии. Решить систему можно с помощью MathCAD 2000.

Правильность вычислений можно проверить в MathCAD 2000. Функции interсept(Х,У) и slope(Х,У) вычисляют по заданным векторам экспериментальных данных Х, У значения а₀ и а₁ для записи уравнения линейной регрессии в виде j (х)=а₀+а₁х.

Затем с помощью MathCAD 2000 можно убедиться в том, что полученное уравнение регрессии аппроксимирует таблично заданную функцию, построив в одной системе координат график данной функции и полученного уравнения регрессии. Возможности

Пример использование MathCAD 2000 и Microsoft Excel для составления уравнения линейной регрессии можно увидеть на рис.6.

Аналогично используются MathCAD 2000 и Microsoft Excel для выполнения аппроксимации функций многочленами второй степени и составления уравнений регрессии, преобразуемых в линейную. Примеры этого представлены на рис.7 и рис.8.

Использование MathCAD 2000 для численного решения дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта

Осуществление численного решения дифференциального уравнения методом Рунге–Кутта даже в Microsoft Excel весьма трудоёмкий процесс. MathCAD 2000 позволяет облегчить эту задачу.

Решить дифференциальное уравнение методом Рунге–Кутта в MathCAD 2000 можно двумя способами: с помощью встроенной функции и непосредственно по формулам.

При непосредственном осуществлении метода Рунге–Кутта задаются формулы для вычисления необходимых коэффициентов, а затем создаётся цикл для вычисления с помощью их искомых значений у.

Встроенная функция rkfixed позволяет осуществить метод Рунге–Кутта, не производя никаких вычислений. С помощью этой функции можно предложить студентам проверить вычисления, выполненные ими по формулам, а преподавателю быстро просчитать различные варианты.

Пример использование MathCAD 2000 для реализации метода Рунге–Кутта численного решения дифференциального уравнения можно увидеть на рис.9.

Применение MathCAD 2000 и Microsoft Excel для реализации численных методов и для решения других математических задач поможет студентам не только лучше понять приёмы решения задач, не теряя время на рутинные вычисления, но и создаст возможности для использования этих программ при дальнейшем обучении и в профессиональной деятельности.

Особенности исследования нелинейной функции одной переменной. Рассмотрение основных операций с матрицами. Решение системы линейных уравнений. Изучение приближения таблично заданной функции. Способы определения экстремума функции двух переменных.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	19.05.2015
Размер файла	1,3 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Кафедра «Компьютерные технологии и системы»

Тема: «Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad»

Выполнил ст. гр. 13-БАС

1. Исследование нелинейной функции одной переменной

2. Основные операции с матрицами

3. Решение системы линейных уравнений

4. Приближение таблично заданной функции

5. Экстремум функции двух переменных

Список использованной литературы

нелинейный матрица экстремум переменный

Мы все являемся свидетелями того, как компьютеры на глазах изменяют нашу жизнь.

Автоматические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ.- универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

Если же говорить об EXCEL, которая является одной из наиболее известных программ обработки электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы. Лично я считаю, что такие программы на сегодняшний день представляют собой один из наиболее мощных и гибких инструментов, созданных для компьютера.

Возможности EXCEL очень высоки. Обработка текста , управление базами данных - программа настолько мощна , что во многих случаях превосходит специализированные программы - редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может поначалу запутать , нежели заставить применять их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то , что границ возможностей EXCEL тяжело достичь.

1. Исследование нелинейной функции одной переменной

Условие задания № 1

Дана нелинейная функция f(x) и указан диапазон изменения аргумента (прил. 1) согласно варианту. Требуется:

Выполнить исследование нелинейного уравнения вида f(x)=0 1.(отыскать корни и экстремумы) с помощью программ Excel и Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

* Провести табулирование функции f(x) на заданном интервале (прил.1). Шаг табуляции h=0,2. Возможно применение другого шага, если при этом график получается более информативным и наглядным. Оформить таблицу (рамки, названия столбцов и т.п.).

* Построить график функции f(x). Нежелательно использовать линии с маркерами, так как иногда наличие маркеров затрудняет определение характерных точек на кривой, например точек пересечения с горизонтальной осью.

*По графику определить приближенные значения корней уравнения f(x)=0 и точек экстремума функции. Этот этап называется «локализация корней и экстремумов». На нем необходимо обязательно задавать начальное приближение того значения аргумента, вблизи которого имеется корень или экстремум. В ходе последующего использования имеющихся процедур уточняется значение аргумента (соответствующего нужному корню или экстремуму). Поэтому для каждого корня или экстремума обязательно должно быть задано свое начальное приближение.

* С помощью процедуры «Подбор параметра» определить уточненные значения корней уравнения f(x)=0. Точность реализации этого этапа можно настроить, используя меню «Параметры». Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

С помощью надстройки «Поиск решения» Excel найти экстремумы функции f(x). Выделить в таблице цветом точки корней и экстремумов или привести в соответствующих строках подписи рядом с таблицей («Корень 1», «Корень 2», «Максимум 1», «Минимум 2» и т.п.). Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

Решить это же нелинейное уравнение с помощью программы 3. Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

* Построить график функции f(x).

* По графику определить начальные приближения корней уравнения f(x). * Для каждого приближения определить уточненные значения корней уравнения. Для этих целей могут быть использованы соответствующие функции Mathcad: «root», «find» и т.п. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

С помощью символьных вычислений в Mathcad найти 4. производную функции f(x). Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения f'(x)=0 аналогично пункту 3. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

Сравнить полученные результаты и сделать выводы об 5. эффективности Excel и Mathcad при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции.

Дано уравнение на интервале [-3;5]

Выполним табулирование функции в Excel на интервале [-3;5] с шагом 0,2.

На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (Рисунок 1).

На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: -2.6, 1.2 и 2.8.

Рисунок 1. Табуляция функции и построение графика в Excel

С помощью процедуры «Подбор параметра» определяем точное значение корня для каждого приближенного значения. Получаем следующие значения корней уравнения: x1=-2,64202, x2=1,34597 и x3=2,99991 (Рисунок 2).

Рисунок 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения

Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет две точки экстремума в районе x=-1,6 (минимума) и точку экстремума в районе x=2.6 (максимума). Для нахождения этих экстремумов воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим её согласно Рисунку 3. Для этого сначала устанавливается целевая ячейка (ячейка из столбца значений функций - f(x), в которой функция принимает либо максимальное, либо минимальное значение по сравнению с соседними: верхними и нижними ячейками). После этого в поле «Изменяя ячейки» указывается адрес ячейки, в которой содержится соответствующее значение аргумента x. Именно этот адрес ячейки содержится в формуле для вычисления значения функции в целевой ячейке (обычно изменяемая ячейка расположена слева от целевой ячейки).

Рисунок 3. Настройка формы «Поиск решения» для функции с разрывом

Для функций такого типа (без разрывов) не обязательно добавлять ограничения нижнего и верхнего значения аргумента. Для функций с разрывами ограничения нужно задавать обязательно, чтобы в решении не оказалось бесконечное число, соответствующее точке разрыва.

Сформируем отчет о результатах поиска (Рисунок 4), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс=-1,56161.

Рисунок 4. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»

Аналогично находим экстремум максимума. Сформируем отчет о результатах поиска (Рисунок 5), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс =2,71069.

Рисунок 5. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»

С помощью программы Mathcad построим график функции на интервале [-3;5] (рис. 6). По графику определяем приближенные значения корней уравнения: -2.6, 1.2, 3.0.

Рисунок 6. График функции f(x), построенный в MathCad

С помощью функции root находим точные значения корней уравнения: x1=-2,642, x2=1,346 и x3=3.

Используя инструментарий Mathcad для работы с символьными вычислениями, находим производную

Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корня f'(x)=0: x=-1.6 и x=2.6. С помощью функции root находим точное значение корня уравнения f'(x)=0 (Рисунок 7), а значит, и значения экстремумов функции f(x): x=-1,562 и x=2.711.

Рисунок 7. Нахождение корней уравнения и экстремума функции

2. Основные операции с матрицами

Условие задания № 2

Даны матрицы A, B и С. Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту (прил.2). Задание выполнить в Excel и Mathcad.

Вычислим значение матрицы D по формуле D=(A+1)+ , где

С помощью Excel рассчитаем матрицу D (Рисунок 8).

Рисунок 8. Вычисление матрицы D в Excel

Операции линейной алгебры в EXEL выполняются в следующей последовательности:

Выделяется диапазон ячеек (матрица), в котором будет размещен результат. Также в Excel для обозначения матрицы иногда используется термин - «массив».

Применяется нужная процедура из категории «математические»:

* «МУМНОЖ» - возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив №1, и с таким же числом столбцов, как массив №2. Обращаем внимание, что массивы №1 и №2 должны задаваться именно в том порядке (слева направо), как они записаны в формуле. Нарушение этого правила приведет не только к неправильному вычислению коэффициентов результирующей матрицы, но и к получению результирующей матрицы другого размера (кроме случая перемножения квадратных матриц).

* «ТРАНСП» - транспортирование матрицы (возвращает вертикальный диапазон ячеек в виде горизонтального и наоборот).

* «МОБР» - возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

* «МОПРЕД» - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

После появления в массиве результатов первого значения (соответствующего индексам 1,1) для появления остальных нажать сначала клавишу «F2», а потом сочетание клавиш «Ctrl» + «Shift» + «Enter».

На Рисунке 9 приведен пример расчета матрицы D средствами Mathcad. (рис. 9). Найдем решение системы уравнений.

Рисунок 9. а) вычисление матрицы D в Mathcad; б) нахождение решения системы уравнений в Mathcad

3. Решение системы линейных уравнений

Условие задания № 3

Используя коэффициенты полученной матрицы D, решить систему уравнений. Обратить внимание, что для формирования системы линейных уравнений, подлежащей решению, коэффициенты матрицы D использованы в порядке, отличающемся от их записи непосредственно в матрице D.

Решим следующую систему линейных уравнений:

Запишем систему уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы

Решим полученную систему уравнений в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно - с применением обратной матрицы (рис. 10). В результате получим вектор решения:

Рисунок 10. Решение системы линейных алгебраических уравнений с проверками выполнения отдельных шагов

Решение системы уравнений в Mathcad приведено на рисунке 9б. В Mathcad также можно применять прямые (метод Гаусса) и итерационные методы решения систем алгебраических уравнений.

4. Приближение таблично заданной функции

Условие задания № 4

Дана таблично заданная функция - пары точек (xi,yi) (прил. 3), для которых необходимо выполнить следующее.

* С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график.

* С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой).

* Провести 2 вида аппроксимации согласно варианту (прил.3). Оба графика построить на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel – это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он предоставляет возможность производить различные расчеты, вычислять значения функций, решать системы линейных уравнений, находить значения параметров в линейных и квадратичных функциях, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

Файлы: 1 файл

Первый курсовой.doc

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Филиал в г. Златоусте

Кафедра Математики и Вычислительной техники

по информатике на тему

«Решение задач с помощью математического редактора MathCAD и электронной таблицы Microsoft Excel»

Выполнил: Метликин А.В.

Проверил: Заскалина Е.Н.

Вычисление определенного интег рала и производной 15

а) Линейная регрессия 26

б) Квадратная регрессия 31

Список литературы 37

MathCAD — программа для выполнения и документации инженерных и научных расчётов. MathCAD - первый и пожалуй главный помощник инженера, радиолюбителя, математика и конечно студента. MathCAD обладает широкими вычислительными возможностями, сохраняя при этом понятный интерфейс и простоту ввода данных. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают обычной программы. MathCAD — необычная программа. Она относится к классу приложений, называемых PSE (problem solution environment — программная среда для решения задач). Это подразумевает, что ее работа не определяется однозначно действиями пользователя (как, например, в текстовых редакторах и т. п.), а является (в большей степени) результатом работы встроенных алгоритмов, недоступных взору исследователя. Введя в редакторе MathCAD выражение, даже довольно простое, и получив некоторый ответ, многие даже не задумываются о том, что для его вычисления проделывается довольно сложная работа, результат которой заранее не предопределен и зависит от целого ряда факторов, не представленных непосредственно на рабочей области документа (свойств функции f, параметров численного алгоритма дифференцирования, значения системных констант и т. д.). Поэтому, проводя даже очень простые расчеты, вам придется иногда сталкиваться с неочевидным поведением программы, которое нельзя понять без ясного представления об основах работы соответствующих алгоритмов, встроенных в Mathcad.

Приложение Mathcad компании MathSoft — самый популярный из компьютерных математических пакетов, остающийся, бесспорно, на протяжении многих последних лет лидером в своем классе математического и образовательного программного обеспечения (ПО). С его помощью можно решать самые разные математические задачи и оформлять результаты расчетов на высоком профессиональном уровне, и сейчас уже сложно представить современного ученого, не пользующегося Mathcad. При помощи этого пакета осуществляются не только простые и вспомогательные вычисления, но и довольно сложные расчеты и научные исследования, использующие комбинации самых разных численных алгоритмов и аналитических преобразований.

1. Работа с векторами и матрицами

Векторы и матрицы рассматриваются в программе Ma thCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert – Matrix (Вставка – Матрица), либо нажатием Ctrl+M, либо значком Создать матрицу в панели инструментов Matrix. Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.

После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение:

Если необходимо изменить размерность матрицы, то нужно поместить курсор в область массива и вновь нажать Ctrl+M. В появившемся запросе следует указать сколько строк и столбцов добавляется или удаляется, используя соответственно кнопки Добавить или Удалить.

По умолчанию подразумевают, что индексы первого элемента массива равны нулю. Если нет необходимости работать с нулевыми строками и столбцами, то значение системной переменной ORIGIN нужно изменить с 0 на 1, непосредственно в документе указав ORIGIN:=1

Чтобы транспонировать матрицу, нужно нажать кнопку Транспонирование матрицы (или Ctrl+1) на панели инструментов Matrix.

Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М <0> . Для его ввода используется кнопка Столбец матрицы на панели инструментов Matrix.

Символы Σ и Π используют соответственно для нахождения суммы и произведения элементов вектора.

Некоторые векторные и матричные функции:

max (A) – нахождение максимального значения матрицы А;
min (A) – нахождение максимального значения матрицы А;
mean (A) – нахождение среднего значения матрицы А;
last (b) – вычисление номера последнего элемента вектора b;
length (b) – вычисление количества элементов матрицы b;
rank (A) – вычисление ранга матрицы А;
cols (A) – вычисление числа столбцов матрицы А;
rows (A) – вычисление числа строк матрицы А;
sort (b) – сортирует элементы вектора b по возрастанию значения;
reverse (b) – переставляет элементы вектора b в обратном порядке после сортировки по возрастанию значения;
rsort (A, n) – переставляет столбы матрицы А так, чтобы отсортированной оказалась n-строка;
csort (A, n) – переставляет строки матрицы А так, чтобы отсортированным оказался n-столбец;
augment (A, b) – формирует матрицу таким образом, что в первых столбцах находятся элементы матрицы А, в последних – элементы вектора b;

Следующий рисунок показывает применение вышеописанных функций:

Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица). Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой.

Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа М_I,J:= i +j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например x:= 0,0.01.. 1.

Вычислим значения N_I,J и запишем в табличном и матричном виде для каждого значения переменной а=(2.1, -3, 5, 0.2, 4, 8 ) и b=(-1, 3, 2.1, -4, 1) в формуле . Зададим i и j, после запишем последовательности a и b. Как видно из условия количество строк матрицы N определяется количеством элементов вектора a, количество столбцов – количеством элементов вектора b. Учитываем, что по умолчанию индекс первого элемента равен 0.

2. Табулирование функции.

Протабулируем функцию, то есть найдем значения функции для каждого x из предложенного интервала:

Если на всем интервале табуляции функция определена и непрерывна, то можно воспользоваться традиционным способом задания переменной как дискретной величины:

Наряду с традиционными способами можно использовать возможности программирования. В MathCAD, по сути, не встроен язык программирования, а просто снято ограничение на использование составных операторов в теле алгоритмических управляющих конструкций выбор и повторение. Кроме того, добавлены цикл с параметром и оператор досрочного выхода break. Алгоритмические конструкции и составные операторы в среде MathCAD вводятся нажимом одной из семи кнопок панели управления:

добавить строку программы, тела цикла, плеча альтернативы и т.д.

при нажатии на эту кнопку на экране появляется заготовка цикла с предпроверкой: слово while с двумя пустыми квадратиками. В квадратик правее while нужно записать булево выражение (переменную), управляющее циклом, а во второй квадратик (ниже while ) - тело цикла.

позволяет вводить в программу альтернативу с одним плечом.

Обозначает оператор, который должен быть исполнен, если условие оператора if не выполняется

кнопка для ввода в программы цикла с параметром.

кнопка досрочного выхода из программы или цикла.

Наличие постоянного шага изменения аргумента позволяет найти значения данной функции с помощью структуры программирования for:

Также данное задание можно выполнить в MS Excel.

Аргумент изменяется с постоянным шагом, что можно использовать для быстрого ввода значений этого ряда. Введем в ячейку А2 число 1, в А3 – число 3. Выделим эти ячейки и маркером автозаполнения сформируем весь ряд изменения аргумента. Теперь в ячейку B2 введем формулу, имеющую вид:

Далее скопируем формулу в другие ячейки столбца B. В окончательном виде таблица значений аргумента x и соответствующих им значений функции y(x) будет иметь вид:

Для наглядности построим график данной нам функции. В окне первого шага Мастера диаграмм на закладке Стандартные выберем тип График. В окне второго шага укажем диапазон вычисленных данных и расположение рядов – в столбцах. На вкладке Ряд укажем столбец аргументов в строке Подписи оси X:. Далее внесем название графика, а на закладке Линии сетки активизируем опции основные линии по обеим осям. График будет представлять собой:

3. Вычисление значения функции.

Вычислить значение данной функции:

Как видно из функции, она имеет разрыв в единственной точке x=0. Чтобы вычислить ее значения, удобно использовать встроенную функцию if, позволяющую наряду с единственным условием в качестве аргумента использовать другие функции, в том числе и саму if. Такая вложенная структура позволяет учесть все точки разрыва данной по условию задачи функции. Возможности программирования в MAthCAD позволяют более наглядно представить решение задачи:

Далее подставим несколько значений аргумента – одно больше 0,а другое меньше 0:

Данную задачу также можно решить с помощью возможностей программирования:

Для этого после нажатия кнопки Add Line вводим сначала саму функцию, а после условие для аргумента. В конце также можно выполнить проверку.

Чтобы решить данную задачу с помощью простых вычислений, нужно ввести значение аргумента, а затем записать функцию для этого аргумента:

Теперь вычислим значение функции в MS Excel. Для вычисления ее значений удобно использовать встроенную функцию ЕСЛИ. Эта функция вычисляет значение Y(x) в зависимости от значения самого аргумента x. Функция если представляет собой:

Решение поставленной задачи, а именно вычисление значений функции, будет иметь вид:

4. Вычисление определенного интеграла и производной

Вычислим значение определенного интеграла, в том числе используя символьный вид:

Также определим производную подынтегральной функции для середины отрезка и для его концов (x=0; x=0.6; x=1.2).

Расчет значения определенного интеграла опирается на формулу Ньютона-Лейбница:

Чтобы найти значение производной подынтегральной функции, нужно задать значение аргумента и после этого в панели инструментов Математика нажать на кнопку Производная (или вызвать производную нажатием сочетания клавиш Shift+/):

Учётная ставка – 12% годовых. Векселедатель получил 1200 тыс. руб., вексель выдан на три календарных месяца. Определить номинал векселя.

Реализация задачи в Excel .

Номинал векселя определим с помощью функции ПОЛУЧЕНО. Заполняем диалоговое окно.

Номинал векселя составляет 1237,113 тыс. р.

Реализация задачи в Mathcad .

Вводим начальные данные: P r – сумма векселеполучатель, t - срок сделки; d – учетная ставка.

Номинальная стоимость векселя:

(Задачу необходимо решить подробно с комментариями в MathCAD и Excel ). В Excel задачу решить с помощью макросов.

Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 300 млн. руб. Варианты оплаты следующие:

1) Для молодых семей – 15% авансом, а остаток стоимости – по льготному государственному кредиту на 20 лет под 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.

2) Аванс – 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит стоком на 2 года по номинальную процентную ставку 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят ежемесячно.

3) Аванс – 10%. Предусмотрена отсрочка платежей сроком на один год. Остальная сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита – 18%.

Требуется рассчитать финансовые последствия предложенных вариантов.

Условия и финансовые последствия вариантов 1 – 3 сведены в таблицу, где введены следующие обозначения: n , t – срок кредита и продолжительность отсрочки; m , ρ – число периодов начисления процентов и платежей в году; R - величина годового платежа; S – общая наращенная стоимость финансовой ренты.

Читайте также:

Решение задач вычислительной математики с помощью программ excel и mathcad

Оглавление

Файлы: 1 файл

Первый курсовой.doc