Розы гвидо гранди в excel построение
Обновлено: 08.07.2024
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №4 г.Ессентуки Исследовательская работа на тему: „Замечательные математические кривые - розы и спирали ” Автор: Ненашева Елизавета, ученица 10А класса Руководитель: Казанова А.В., учитель математики г.Ессентуки 2019
Введение: Актуальность темы исследования: в школьном курсе не достаточно рассматриваются свойства и применение таких замечательных кривых, как розы и спирали. Объект и предмет исследования: Роза Гранди и спирали Цель исследовательской работы: Исследовать зависимость внешнего вида кривой от параметров входящих в её уравнение. Изучить применение роз Гранди и спирали Архимеда в нашей жизни.
Задачи: - Выяснить, что такое роза Гранди и спирали; - Установить какие виды роз и спиралей существуют; - Выяснить их применение; - Построить свои розы Гранди; - Опытным путем показать, как изменяются кривые Гранди и спирали в зависимости от различных значений параметров; - Сделать выводы и дать общее заключение; Гипотеза: при изучении замечательных кривых и их свойств можно объяснить различные явления окружающего мира.
Понятие кривой Кривая линия – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Плоские кривые - это кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости. Парабола Гипербола Эллипс
Розы Гвидо Гранди Гвидо Луиджи Гранди Роза в природе Роза Гвидо Гранди — плоская кривая, заданная в полярной системе координат, напоминающее символическое изображение цветка.
Полярная система координат Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя величинами — полярным углом и полярным радиусом.
Уравнение розы Гранди R=ASINK K – количество лепестков А – размер кривой
Графики роз Гранди K=2 K=3
Анализирование K - четное число, то K – нечетное число, то лепестков в 2 раза больше лепестков столько же K=2 K=3 K – число в виде отношения чисел, то лепестки перекрывают друг друга K=5/2
Применение роз Гранди Розы Гранди используются в архитектуре, ландшафтном дизайне, в дизайнерских решениях при создании интерьеров.
Спирали Спираль - это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу.
Спираль Архимеда Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно и поступательно от центра по равномерно-вращающемуся радиусу.
Уравнение спирали Архимеда R=Kф K - смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.
Свойства Архимедовой спирали Шаг спирали – постоянное расстояние между витками, равное 2πk. Правая спираль - положительные значения (+) Левая спираль - отрицательные значения (-)
Применение Архимедовой спирали
Спираль Ферма Спираль Ферма - плоская кривая, которая задается на плоскости в полярной системе координат при помощи уравнения: R*2=A*2ф Спираль Ферма Подсолнечник
Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль - кривая, которая задается в полярной системе координат с помощью уравнения R=Ae*Bф. Свойства логарифмической спирали: 1.Размер витков увеличивается, но форма неизменна. 2.Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен
Спираль Фибоначчи или Золотая спираль Золотая спираль - это частный случай логарифмической спирали, коэффициент роста которой равен ф*4 , где - ф золотое сечение. Золотая спираль
Вывод Личностные навыки Знакомство с красотой роз Гранди и спиралей Получение различных видов роз Гранди
Спасибо за внимание!
Выбранный для просмотра документ Проект по математике(текст).docx
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждени е средняя общеобразовательная школа № 4 г.Ессентуки
на тему: „Замечательные математические кривые - розы и спирали ”
Автор : Ненашева Елизавета, ученица 10А класса
Руководитель: Казанова А.В., учитель математики
Актуальность темы исследования : я считаю, что тема моей исследовательской работы достаточно актуальна, так как в школьном курсе не достаточно рассматриваются свойства и применение таких замечательных кривых, как розы и спирали.
Объект и предмет исследования : Роза Гранди и спирали
Цель исследовательской работы : Целями моей исследовательской работы является исследование зависимости внешнего вида кривой от параметров входящих в её уравнение и изучение применения роз Гранди и спирали Архимеда в нашей жизни.
- Выяснить, что такое роза и спираль, как замечательные кривые;
- Установить какие виды роз и спиралей существуют;
- Выяснить их применение;
- Построить свои розы Гранди;
- Показать, как изменяются кривые в зависимости от различных значений параметров;
- Сделать выводы и дать общее заключение;
Гипотеза : при изучении замечательных кривых и их свойств можно объяснить различные явления окружающего мира.
Понятие кривой
Для начала вспомним понятие кривой.
Кривая линия – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую. Мы знакомы с некоторыми алгебраическими плоскими кривыми, с такими как парабола, гипербола, эллипс и т.д. Плоские кривые - это кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости. Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f (xy) = 0.
Парабола Гипербола Эллипс
Розы Гвидо Гранди
Полярная ночь холодна и морозна,
Укутавшись в плед изо льда и ветров,
Розы вычерчивает осторожно,
Чтобы шипы не острить мягкотой.
Жёлтый свет лампы, термометра след,
Холода не было, трещины нет.
Роза прекрасна, синяя тень,
Циркуля холод, угла единица,
Что ж это мне по ночам-то не спится?
В этом стихотворении красной нитью проходит тема о розах Гвидо Гранди.
Гвидо Луиджи Гранди (1671 - 1742) был итальянским монахом, священником,
философом, математиком и инженером.
Он родился 1 октября 1671 в Кремоне, Италия и окрещен Луиджи. В 18 веке Гранди создал кривые линии похожие на цветки роз. Он собрал все свои восхитительные розы в одну книгу и назвал ее «Цветник роз».
Гвидо Гранди, работая с полярной системой координат, решил воссоздать с помощью линий такие прекрасные растения, как розы. Розы Гвидо Гранди радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями.
Роза Гвидо Гранди — плоская кривая, заданная в полярной системе координат, напоминающее символическое изображение цветка.
Так как мы затронули понятие полярной системы координат, разберемся что это значит.
Полярная система координат
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат задаётся лучом, который называют полярной осью(обозначается . Точка, из которой выходит этот луч, называется полюсом(обычно обозначается r ).
Координатные линии в полярной системе координат.
Уравнение Розы Гранди
Розы Гранди задаются уравнением в полярной системе координат, и это уравнение выглядит таким образом: r= a sin k , где k– положительное число, которое
определят кол-во лепестков, a – положительное число, которое определяет размер. Также k можно представить в виде рационального числа ( k = )
Графики Роз Гранди
На основе полученных знаний, я провела свои исследования и выяснила, как же меняется замечательная кривая роза Гранди при изменении параметров в её уравнении.
Я выполняла свои построения в программе Microsoft Excel . Для более удобного построения необходимо перевести значения кривой из полярной системы координат в привычную нам декартовую систему (грубо говоря с x и y ). Затем я составила таблицу с величинами и в итоге получила график кривой.
5-ти лепестковая роза
На первом графике представлена роза с параметрами K =2 и A =4. Во всех дальнейших построениях я использовала один и тот же параметр A =4 и это означает, что все розы имели один и тот размер. Но что касается параметра K , то на всех графиках он был разным.
Также я попробовала взять в качестве параметра K рациональное число, представленное в виде дроби и вот, что у меня получилось.
Проанализировав полученные результаты, я сделала некоторые выводы.
1) Если k является четным числом, то количество лепестков увеличивается в два раза
(например, k =2, но лепестков в розе ровно 4)
Если k является нечетным число, то количество лепестков соответствует модулю k .
2) Если k — рациональное число, равное отношению , то каждый лепесток будет частично перекрывать предыдущий.
Применение роз Гранди
Розы Гранди радуют своими плавными и красивыми формами глаза человека. Поэтому данные кривые широко используются в архитектуре, ландшафтном дизайне, в дизайнерских решениях при создании интерьеров.
Розы Гранди были особенно красивы и популярны на окнах зданий во времена готики.
С такими замечательными кривыми, как розы, мы закончили и теперь перейдем к изучению спиралей.
Многие имеют представление, что такое спираль и как она выглядит. Сегодня мы познакомимся с этим понятием более подробно.
По определению Архимеда: Спираль - это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу.
Так же есть еще одно определение спирали - плоская кривая линия, многократно обходящую одну из точек на плоскости.
Зачастую, мы сталкиваемся с данной кривой, изучая различные явления природы: смерчи, водовороты, циклоны и антициклоны, спиральные галактики, раковины брюхоногих, молекула ДНК, рога у животных и даже семена в подсолнечнике распределяются согласно законам построения спирали.
В этом есть своя красота, которую задает природа. Спираль как будто воплощает саму жизнь, ее бесконечность, ее развитие, непрерывность жизни.
Существует большое количество видов спиралей, которые отличаются друг от друга формой и уравнением, которое задает спираль.
Первой из спиралей, с которой мы познакомимся, будет спираль Архимеда
Спираль Архимеда
Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно и поступательно от центра по равномерно-вращающемуся радиусу.
Архимедова спираль была открыта, не трудно догадаться кем, самим Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Архимедова спираль задается уравнением в полярной системе координат таким образом: r = k , где k — смещение точки M по лучу r , при повороте на угол равный одному радиану.
Свойства Архимедовой спирали
Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2 π k , и равно шагу спирали . На картинке шаг спирали показан в виде расстояния между точками B , M и A .
Также интересным свойством спирали Архимеда является и то, что если вращать луч, который образует спираль против часовой стрелки, то получается правая спираль ( на картинке она показана синим цветом ) и этой правой спирали будут соответствовать положительные значения угла , а левая спираль (показана зеленым цветом ), которая образуется путем вращения луча по часовой стрелке , будет соответствовать отрицательным значениям угла .
Применение спирали Архимеда
В III веке до нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт , который успешно применяли для передачи воды. Позже на основе винта Архимеда создали шнек . Его очень известная разновидность – винтовой ротор в мясорубке . Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции. Также на основе спирали Архимеда работает часовой механизм в механических часах. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.
И это лишь только малая часть всевозможных способов применений данной спирали. Спираль Архимеда нашла огромное практическое применение в математике, технике, архитектуре и машиностроении.
Теперь мы познакомимся с остальными видами спиралей, но не на столько подробно, как со спиралью Архимеда, а более кратко.
Спираль Ферма
Спираль Ферма - один из видов спирали Архимеда. Данная спираль задается на плоскости в полярных координатах при помощи уравнения = . По траектории спирали Ферма растут семечки в подсолнечнике.
Гиперболическая спираль — плоская кривая , уравнение которой в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: r = a
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль - кривая, которая задается в полярной системе координат с помощью уравнения r = a .
Некоторые интересные свойства логарифмической спирали:
1. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.
2. Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков , спиралям циклонов и галактик .
Спираль Фибоначчи или Золотая спираль
Золотая спираль - это частный случай логарифмической спирали, коэффициент роста которой равен , где - золотое сечение. Данная спираль расположена в квадратах, размеры которых соответствуют последовательности Фибоначчи.
На данном рисунке изображены квадраты с размерами 1, 1, 2,3, 5,8, 13 и 21. Спираль изображенная синим цветом и является золотой спиралью.
Подводя итоги моей презентации, я хотела бы сказать, что я получила огромный опыт нахождения, обработки, анализирования и использования информации из сети Интернет.
Также данная исследовательская работа позволила нам взглянуть, на казавшиеся скучные и неинтересные замечательные кривые, совершенно иначе. Мы увидели, что Розы Гранди и спирали имеют красивые и интересные графики и самое главное то, что данная красота окружает нас повсюду.
В ходе исследования мы получили огромное разнообразие видов и форм роз Гранди и увидели, как один параметр уравнения может коренным образом изменить всю кривую.
Содержание Аннотация проекта Основные понятия геометрии, необходимые для построения кривых Виды уравнений в плоскости Основные системы координат Переход от ДСК в ПСК Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel Исследование форм роз от изменений коэффициентов
Аннотация проекта Я увлекаюсь математикой очень давно и мне постоянно хочется узнавать что-то новое по этому предмету. Так, расширяя границы знаний в области математики, я узнал о цветах Гвидо Гранди. Эта тема показалась мне необычной и интересной, и я захотел показать, насколько красивой может быть эта наука.
Цели и задачи Цели проекта: Вывести закономерности построения цветов Гвидо Гранди. Показать ученикам всю красоту и простоту «графической» математики. Применение систем координат в жизни. Задачи проекта : Повторить основные понятия геометрии И зучить различные виды систем координат Научиться переходить из одной системы координат в другую Научиться строить графики с помощью программы Microsoft Excel .
Основные понятия геометрии Точка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик Плоскость - это поверхность, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей из себя прямую Прямая – линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Вектор – математический объект, характеризующийся величиной и направлением.
Основные системы координат Декартова система координат — прямолинейная система координат взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Сферическая система координат — система координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат.
Применение полярных систем координат В медицине: Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.
Применение полярных систем координат В геодезии: получение координат точек объекта основано на измерении полярных углов и расстояний до объекта.
Чтобы правильно занять свое место в кинотеатре, нужно знать две координаты - ряд и место. Применение декартовой системы координат
Система географических координат широта – параллели, долгота -меридианы Применение декартовой системы координат
Переход от ДСК к ПСК Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, – в полярной. Тогда очевидно, что: Формулы обратного перехода: Замечание: число в полярной системе определено не однозначно: парам чисел соответствует одна и та же точка при любых натуральных n.
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel Переведем уравнение из декартовых координат в полярные, используя формулы: X = R * COS ( F ), Y = R * SIN ( F ). Задача. Построить кривую, заданную уравнением Решение. Найдем уравнение линии в полярных координатах Для программы Microsoft Excel : R= 4*COS(3*F) Пусть угол Выберем шаг изменения 0,1 Построим компьютерную модель исследования
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel А2 0,1 А3 =А2+0,1 B2 =4*COS(3*F) C2 =SIN(А2) D2 =COS(А2) E2 =С2* D 2 F2 =С2* E 2 Внесем данные и получим следующее распре- деление по столбцам электронной таблицы: 1 F R SIN(F) COS(F) X Y 2 0,1 3,821346 0,099833 0,995004 3,802255 0,381498 3 0,2 3,301342 0,198669 0,980067 3,235535 0,655875 4 0,3 2,48644 0,29552 0,955336 2,375387 0,734793 5 0,4 1,449431 0,389418 0,921061 1,335014 0,564435 6 0,5 0,282949 0,479426 0,877583 0,248311 0,135653 Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д.
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel Получим следующую кривую
Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel Исследование формы кривой. Внося изменения в ячейку В2 , не меняя более ничего, мы можем получать различные кривые заданные уравнением
В математике спираль — это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой. Спирали Спираль Архимеда может быть определена как траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а другое – по окружности. прямо-пропорциональная зависимость
Спираль Архимеда. Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2р. Число a — называется шагом спирали . Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль.
Спираль Ферма Любопытное отличие спирали Ферма от других спиралей заключается в том, что расстояние между ее витками убывает по мере удаления от полюса. Гиперболическая спираль По мере роста спираль устремляется к полюсу, делая вокруг него бесконечное множество витков, расстояние между которыми убывает.
Логарифмическая спираль В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в письме Декарта к Мерсену в 1638 г., в котором Декарт определяет новую спираль как линию, отношение длины дуги которой к радиус-вектору является постоянным. Уравнение кривой в полярных координатах:
Семейство роз Гранди . Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками . В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
Четырехлепестковая Роза Гранди Ч етырехлепестковая роза Гвидо Гранди в декартовых координатах задаётся уравнением: В полярных координатах общее уравнение для роз записывается в виде: или
Исследование формы роз «Роза» - располагается внутри круга радиусом a. Количество же лепестков розы зависит от величины модуля k: Если модуль k – целое число, то роза состоит: из k лепестков, при нечетном k, из 2k лепестков при k четном
2. Если I k I – рациональное число, равное то роза состоит из m лепестков в случае, когда оба числа m и n нечетные, и из 2 m лепестков, если одно из этих чисел является четным. 3.Если модуль k – иррациональное число, то роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга. Исследование формы роз
«Пируэты роз » ( получены с помощью графопостроителя для Word версия 1.50 и компьютерной программы «Розы», язык Visual Basic ).
Лист кувшинки Лист конопли Лист клевера Кривые Хабеннихта
Интересные «цветы» получаются при построении кривых заданных уравнением которое задает на плоскости две линии: окружность и розу Форма кривой при постоянном значении радиуса r = 2 , и изменяющемся значения коэффициента k
Читайте также: