Шаговый метод в excel

Обновлено: 06.07.2024

Практикум по численным методам в программе MS Excel к лабораторным работам по курсу « Информатика» методическая разработка для студентов дневной, вечерней и заочной формы обучения для всех специальностей/ НГТУ; Сост.: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. Н.Новгород, 2014. 28 с.

Изложены примеры решения задач по численным методам в программе MS Excel к лабораторным работам по курсу « Информатика » . Приведены типовые задачи.

Научный редактор А.А. Куркин Редактор Э.Б. Абросимова

Подп. к печ. Формат 60х84 1 16 . Бумага газетная. Печать офсетная.Печ.л.1,5 .Уч.-

изд. л. . Тираж экз. Заказ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева Типография НГТУ. 603950,Н.Новгород, ул.Минина,24.

Лабораторная работа №1 Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной. Методы отделения и

Постановка задачи. Для данного нелинейного уравнения y(x)=0 с одной неизвестной величиной на промежутке [a,b] отделить корни с шагом h (Шаговым методом) и уточнить корень с точностью ε :

методом половинного деления;

методом простой итерации.

y=f(x) – значение функции в точке

x 1 =x+h – следующее значение

y 1 =f(x 1 ) - значение функции в

y*y 1 < 0 - признак интервала

x=(a+b)/ 2 – середина интервала,

f(a) –значение функции в точке a,

f(x) –значение функции в точке x,

если f(a)*f(x)< 0 , то выбираем

если f(a)*f(x)>0, то выбираем [x,b]

x 0 = a или x 0 = b,

f 1 (x) – первая производная

x i+ 1 = x i - f(x i )/f 1 (x i )

f(x 0 )*f 2 (x 0 )> 0

x 0 = a или x 0 = b

если | φ (a)| > | φ (b)|,то

если | φ (a)| < | φ (b)|,то

с= 1 /max(|f 1 (a)|;|f 1 (b)|)

x i+ 1 = x i – c*f(x i )

если |f 1 (a)| > |f 1 (b)|,

если |f 1 (a)| < |f 1 (b)|,

Постановка задачи: шаговым методом найти интервал изоляции корня нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 на интервале 2 x 3, шаг hx = 0,1.

Документ MS Excel:

1 . Шаговый метод

 Ввести в ячейки Таблицы 1 интервал [ a, b] и шаг (Рис.1)



Рис.1. Исходные данные Заполним Таблицу 2, как показано на Рис.2

 Копируем формулы из ячеек А12 и B11 вниз по столбцу, получаем таблицу решения (Рис.3), из которой находим интервал изоляции корня, т. е. интервал, где функция меняет знак - [2,8; 2,9];

 Строим график функции f(x) = ln(x) - x + 1,8. Выделим диапазон A10:B21. Затем меню Вставка/Диаграмма.

Метод половинного деления

Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом половинного деления на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.

Документ MS Excel:

. Метод половинного деления

Заполним Таблицу 6 (Рис.9):

-A51 ввести формулу = A34; (левый конец интервала)

-B51 ввести формулу

= (A51 + C51)/2; (средняя точка интервала)

-C51 ввести формулу

= A35; (правый конец интервала)

-D51 ввести формулу

= LN(A51)-A51+1,8; ( f(x) в левом конце интервала)

-E51 ввести формулу

= LN(B51)-B51+1,8; ( f(x) в средней точке интервала)

-F51 ввести формулу

= IF(F51<0;A51;B51) ; ( Выбираем левый конец нового интервала )

-С52 ввести формулу

= IF(F51<0;B51;C51) ; (Выбираем правый конец нового интервала)

Копируем формулы из ячеек A52, B51, C52, D51:E51 по столбцам, до получения решения.

Рис.4 Электронн ый бланк метода половинно го деления

итерации с точностью 0,0001.

Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом Ньютона на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.

Документ MS Excel:

 Ввести в ячейки Таблицы 3 интервал изоляции корня [2,8; 2,9] и точность (Рис.5):

A29 = 2,8, B29 = 2,9, С29 = 0,0001

 Выполнить проверку условия сходимости: F(xo)·F’’(x0) > 0, т.е. нужно взять левый конец интервала х0 = 2,8и посмотреть знак произведения функции в этой точке F(2,8) на значение ее второй производной в этой же точке F’’(2,8), знак должен быть положительный. В этом случае х0 = 2,8 берем за начальное приближение к корню, в противном случае проверяем второй конец интервала (х0=2,9).

 - Заполняем Таблицу 4, как показано на Рис.6:

- Копируем формулы из ячеек B34:D34 в ячейки B35:D35.

За начальное приближение берем правый конец интервала х0 = 2,9(Рис.6)  Заполним Таблицу 5 – расчет по методу Ньютона (Рис.7):

-A42 ввести формулу

= A35; (начальное приближение)

= LN(A42)-A42+1,8; (формула функции f(x) в точке х0)

= 1/A42 - 1; ( формула первой производной функции f(x0) )

= A42 - B42/C42; (итерационная формула метода, находим х1)

= IF(ABS(B42)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность)

Копируем формулы из диапазона B42:D42 и A43 вниз по столбцам до получения решения.

электронный бланк решения:

Ответ : Корень х = 2,845868 найден на третьей итерации с точностью 0,0001.

Метод простой итерации

Постановка задачи: найти корень нелинейного уравнения ln(x) - x + 1,8 = 0 методом простой итерации на интервале изоляции корня [2.8; 2.9] с точностью eps=0.001.

Документ MS Excel:

1 способ метода простой итерации

Заданное уравнение ln(x) - x + 1,8 = 0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, в котором в левой части оставим х , а в правую перенесем все остальное: x = ln(x) + 1,8 (x = φ(x) ).

На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,8 ; 2,9] выполним проверку условия сходимости метода для приведенной функции φ(x) = ln(x) + 1,8 в концах интервала.

Условие сходимости |φ’(x0)| 1, где х0 = 2,8 или х0 = 2,9. Первая производная φ’(x) = 1/x. Заполним Таблицу 7 . Затем Таблицу результатов. См Рис.10:

 Заполним Таблицу 7 – расчет по методу простой итерации (Рис.10): -A70 ввести начало интервала 2,8;

-A71 ввести конец интервала 2,9;

- B70 ввести формулу = 1/A70; (формула первой производной функции φ(x) в точке 2,8); -Копируем формулу из B70 в B71 и смотри на каком конце интервала φ’(x) будет <1, эту

точку берем за начальное приближение –х0 ;

 Заполним Таблицу результатов – расчет по методу Итераций (Рис.10):

- A75 ввести начальное приближение х0=2.9;

- C75 ввести формулу = LN(A75)+1,8; (итерационная формула метода, находим первое приближение - х1)

- D75 ввести формулу IF(ABS(B75)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность)

-Копируем формулы из диапазона B75: D75 по столбцам(вниз), до тех пор пока не появится слово КОРЕНЬ. На этом процесс расчета закончен. ;

-Копируем формулы из А76 по столбцам(вниз) до соответствующей ячейки.

В результате расчета получаем следующий электронный бланк

2 способ метода простой итерации

Заданное уравнение ln(x) - x + 1,8 = 0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, x=x+koef*f(x)

На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,8 ; 2,9] найдем значение koef . koef=1/max< |f’(2,8|;|f’(2,9)|>.

|f’(2,9)|> |f’(2,8| т.к. |-0,655172414|>|-0,642857143| koef = 1/(-0,655172414) . Следовательно х0 = 2,9 .

Заполним Таблицу результатов. См Рис.11:

 Заполним Таблицу результатов – расчет по методу простой Итераций (Рис.11):

- A75 ввести начальное приближение х0=2.9;

- A76 ввести формулу =A75-1/(-0,655172414)*B75; (итерационная формула метода, находим первое приближение - х1)

- C75 ввести формулу IF(ABS(B75)<$C$29;”Корень”;””); (Проверка на точность)

-Копируем формулы из диапазона B75: C75 по столбцам(вниз), до тех пор пока не появится слово КОРЕНЬ. На этом процесс расчета закончен. ;

Читайте также: