Десятичное число 129 при представлении в памяти компьютера представлено в виде
Обновлено: 05.07.2024
Тебе известно, что компьютер работает только с двоичным кодом. \(0\) и \(1\) обозначают два устойчивых состояния: вкл/выкл, есть ток/нет тока и т. д. Оперативная память представляет собой контейнер, который состоит из ячеек. В каждой ячейке хранится одно из возможных состояний: \(0\) или \(1\). Одна ячейка — \(1\) бит информации или представляет собой разряд некоторого числа.
Целые числа в памяти компьютера хранятся в формате с фиксированной запятой . Такие числа могут храниться в \(8\), \(16\), \(32\), \(64\)-разрядном формате.
Для целых неотрицательных чисел в памяти компьютера выделяется \(8\) ячеек (бит) памяти.
Минимальное число для такого формата: \(00000000\). Максимальное: \(11111111\).
Переведём двоичный код в десятичную систему счисления и узнаем самое большое число, которое можно сохранить в восьмибитном формате.
1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 255 10 .
Если целое неотрицательное число больше \(255\), то оно будет храниться в \(16\)-разрядном формате и занимать \(2\) байта памяти, то есть \(16\) бит.
Подумай! Какое самое большое число можно записать в \(16\)-разрядном формате?
Чем больше ячеек памяти отводится под хранение числа, тем больше диапазон значений.
В таблице указаны диапазоны значений для \(8\), \(16\) и \(32\)-разрядных форматов.
Для \(n\)-разрядного представления диапазон чисел можно вычислить следующим образом: от \(0\) до 2 n − 1 .
Запишем целое беззнаковое число \(65\) в восьмиразрядном представлении. Достаточно перевести это число в двоичный код.
Это же число можно записать и в \(16\)-разрядном формате.
Для целых чисел со знаком в памяти отводится \(2\) байта информации (\(16\) бит). Старший разряд отводится под знак: \(0\) — положительное число; \(1\) — отрицательное число. Такое представление числа называется прямым кодом.
Для хранения отрицательных чисел используют дополнительный и обратный коды, которые упрощают работу процессора. Но об этом ты узнаешь в старших классах.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Представление чисел в компьютере"
На данном уроке мы с вами узнаем, как представляются целые и вещественные числа в компьютере.
А начнём мы с вами с целых чисел.
Как вы уже знаете, целые числа – это множество чисел, которое состоит из натуральных чисел, чисел, противоположных натуральным, и нуля.
Итак, оперативная память представляет собой таблицу, то есть состоит из ячеек.
Каждая ячейка оперативной памяти представляет собой физическую систему, которая состоит из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, которые соответствуют двум числам – нулю и единице. Каждый такой элемент предназначен для хранения одного из битов – разряда двоичного числа. Поэтому каждый элемент ячейки называется битом или разрядом.
То есть, можно сказать, что каждая ячейка оперативной памяти содержит число, представленное в двоичной системе счисления, так как вся информация представлена в памяти компьютера именно в этой системе счисления. Каждая ячейка также включает в себя некоторое количество клеточек (ячеек). В каждой клеточке содержится число ноль или один. Это зависит от того, какой код соответствует изначальному числу.
Давайте рассмотрим одну ячейку, которая состоит из n разрядов.
Она разбита на n клеточек. n обозначает количество разрядов или битов, отведённых под исходное число. Первая клеточка слева – это (n-1)-й разряд. Вторая – (n-2)-й разряд и так далее. Последняя клеточка – это 0-й разряд.
Можно сказать, что разряд – это степени для числа два в двоичной системе счисления.
Для представления целых чисел в компьютере существует несколько различных способов, которые отличаются друг от друга количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда. Обычно под целые числа отводится 8, 16, 32 или 64 разряда или бита.
Существует беззнаковое и знаковое представление чисел. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных чисел, отрицательные же числа представляются только в знаковом виде.
Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек; счётчиков, например, количество символов в тексте; чисел, которые обозначают дату и время; размеров графических изображений в пикселях и много другое.
Для этих данных используется беззнаковое представление, так как они никак не могут быть отрицательными числами.
Давайте рассмотрим таблицу максимальных значений для беззнаковых целых n -разрядных чисел:
В первом столбце указано количество битов, во втором минимальное значение, а в третьем – максимальное значение.
Минимальное значение во всех строка равно нулю. А вот максимальное вычисляется по формуле 2 n – 1. То есть максимальное восьмиразрядное число будет равно 255.
2 8 – 1 = 256 – 1 = 255.
Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в том случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы.
Давайте разберёмся на примере.
Возьмём восьмиразрядную ячейку и поместим в неё максимально допустимое число 255.
Исходя из этого можем сказать, что наша ячейка состоит из 8 разрядов или клеточек. При переводе числа 255 в двоичную систему счисления получим 8 единиц. То есть в каждой клеточке будет содержаться по единице.
Число разрядов n=8. Давайте над каждой клеточкой расставим соответствующий разряд начиная с крайней левой.
Давайте вспомним общий вид нашей ячейки.
То есть ячейка из n разрядов, в нашем случае 8, состоит из n клеточек (снова из 8), а каждый разряд вычисляется по формуле n – 1, n – 2 и так далее. В зависимости от того, на каком месте находится ячейка.
А если мы возьмём все наши единицы и проставим над ними наши разряды, то мы можем перевести наше число из двоичной системы счисления в десятичную уже известным нам образом.
Если же брать число 256, то мы не сможем поместить его в восьмиразрядную ячейку, так как оно будет состоять из единицы и восьми нулей, а клеточек у нас 8.
Если мы возьмём число 65 535, то в двоичной системе счисления оно будет состоять из 16 единиц. А если шестнадцатиразрядную ячейку снова представить, как строку, состоящую из 16 клеточек и расставить соответствующие разряды, то она будет выглядеть следующим образом:
Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести его в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.
Давайте рассмотрим, как будет выглядеть число 125 в восьмиразрядном и шестнадцатиразрядном представлениях. Для этого переведём наше число в двоичную систему и получим следующее:
Наше число состоит из 7 цифр. Поместим его в восьмиразрядную ячейку.
Но ячеек 8, а цифр 7. В таком случае помещаем наше число в крайние справа семь ячеек, а в первую левую запишем ноль.
Он не повлияет на наше число, но все разряды ячейки должны быть заполнены цифрами.
А если мы поместим это же число в шестнадцатиразрядную ячейку, то получим 9 ячеек слева, заполненных нулями, а в остальных 7 будет располагаться наше число.
То есть можно сказать, что мы записываем наше число в двоичной системе счисления, а затем дополняем эту двоичную запись незначащими нулями слева в зависимости от того, из скольких разрядов состоит наше представление числа.
Это то, что касается беззнакового представления чисел.
При представлении числа со знаком (плюсом, если это положительное число, и минусом, если это отрицательное число) самый старший разряд, то есть тот, который находится слева, отводится под знак числа, а остальные разряды – под само число. Если число положительное, то в самый старший разряд (самую левую клеточку) пишется цифра 0, а если отрицательное, то 1.
Такое представление чисел называется прямым кодом. Такие коды в компьютере используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.
Например, число 56 в двоичной системе будет равно: 1110002.
Оно в себя включает 6 цифр. Запишем его в восьмиразрядную ячейку.
Две оставшиеся слева клеточки заполним нулями, так как число положительное.
А если бы наше число было отрицательным, то оно выглядело бы следующим образом.
В старший разряд мы поставили единицу, так как число отрицательное.
Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, который позволяет заменить операцию вычитания сложением.
Дополнительный код целого отрицательного числа может быть получен по следующему алгоритму:
· записать прямой код модуля числа;
· инвертировать его (заменить единицы нулями, нули – единицами);
· прибавить к инверсному коду единицу.
Давайте рассмотрим применение этого алгоритма на примере.
Нам дано число –25. При переводе в двоичную систему модуля числа получим следующее число: 110012.
Теперь смотрим на первый пункт. Нам необходимо записать прямой код модуля числа. Возьмём восьмиразрядный код. То есть наше число будет записано в клеточки, а в трёх пустых клеточках слева от него – нули.
Далее во втором пункте нам необходимо инвертировать наше число, то есть заменить единицы нулями, а нули – единицами. Получим следующее:
Теперь нам осталось, исходя из третьего пункта, прибавить к числу единицу. Получим следующее число:
Всё, что говорилось ранее, относилось к представлению целых чисел. Для представления вещественных чисел используется немного другой способ. Давайте рассмотрим его.
Любое вещественное число A может быть записано в экспоненциальной форме:
m – мантисса числа.
q – основание системы счисления.
p – порядок числа.
Возьмём для примера число 1 345 572. Его можно представить различными способами:
С экспоненциальной формой записи вы наверняка уже встречались. Например, считая на калькуляторе, вы могли получить следующее число: 1,34Е + 6.
Оно обозначает следующее: 1,34 · 10 6 . То есть знак Е – это основание десятичной системы счисления.
Из примера, можно сделать вывод, что положение запятой может изменяться.
Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, которая имеет после запятой цифру, отличную от нуля. То есть наше число 1 345 572 будет выглядеть следующим образом: 1 345 572 = 0,1345572 • 10 7 .
Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда.
То есть наша ячейка в памяти может состоять из 32 или 64 клеточек. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Давайте разберёмся на примере. Возьмём число 125 в десятичной системе счисления и запишем её в тридцатидвухразрядную ячейку.
Для начала нам нужно перевести число 125 в двоичную систему счисления. Получим следующее: 12510 = 11111012.
Теперь запишем это число в экспоненциальной форме.
Ставим равно. Мантиссой числа будет следующее: 0,1111101.
Ставим знак умножения. q – это основание системы счисления. В нашем случает это двоичная система счисления. Число 2 в двоичной системе счисления будет состоять из цифр 1 и 0. Запишем его.
11111012 = 0,1111101 · 10.
p – это порядок числа или же степень. Мы с вами перенесли наше число на семь знаков вправо после запятой. Значит наше p будет равно 7. При переводе числа семь в двоичную систему счисления получим следующее:
11111012 = 0,1111101 · 10 111 .
Мы с вами записали двоичное число в экспоненциальной форме.
Теперь перенесём всё в клеточки ячейки памяти, размером 32 разряда.
Под знак и порядок выделяется восемь клеточек, под знак и мантиссу двадцать четыре.
Первую клеточку слева выделяем под знак. Так как наше число положительное, то ставим цифру 0.
В разделе «Знак и порядок» запишем число 7 в двоичной системе счисления. Оставшиеся клеточки заполним нулями.
Теперь переходим к разделу «Знак и мантисса». В первой слева снова ставим цифру ноль, которая обозначает, что знак нашего числа положительный.
Далее запишем наше число, а оставшиеся клеточки заполним нулями.
Мы записали наше число в тридцатидвухразрядную ячейку.
Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка чисел, а точность – количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.
Давайте рассмотрим следующий пример:
В нём максимальное значение порядка числа составляет: 11111112 = 12710.
Следовательно, максимальное значение числа будет равно: 0,11111111111111111111111 · 10 111 .
Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Но в тоже время алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.
А теперь пришла пора подвести итоги урока.
Сегодня мы узнали, как представляются целые и вещественные числа в компьютере, а также научились преобразовывать числа в ячейки памяти, учитывая разрядность ячейки.
Представление числовых данных в памяти ЭВМ
Для представления информации в памяти ЭВМ (как числовой, так и не числовой) используется двоичный способ кодирования.
Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом ). Наибольшую последовательность бит, которую ЭВМ может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом . Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т.д.
Кодирование символов
Двоично-десятичное кодирование
Представление целых чисел в дополнительном коде
Вообще, разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. Ниже показана нумерация бит в двухбайтовом машинном слове.
| 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом . Прямой код целого числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют таким количеством незначащих нулей, сколько требует тип данных, к которому принадлежит число.
Например, если число 37 (10) = 100101 (2) объявлено величиной типа Integer ( шестнадцатибитовое со знаком ), то его прямым кодом будет 0000000000100101, а если величиной типа LongInt ( тридцатидвухбитовое со знаком ), то его прямой код будет 00000000000000000000000000100101. Для более компактной записи чаще используют шестнадцатеричное представление кода. Полученные коды можно переписать соответственно как 0025 (16) и 00000025 (16) .
Дополнительный код целого отрицательного числа может быть получен по следующему алгоритму:
Например, запишем дополнительный код числа -37, интерпретируя его как величину типа LongInt (тридцатидвухбитовое со знаком):
- прямой код числа 37 есть 00000000000000000000000000100101;
- инверсный код 11111111111111111111111111011010;
- дополнительный код 11111111111111111111111111011011 или FFFFFFDB(16).
При получении числа по его дополнительному коду прежде всего необходимо определить его знак. Если число окажется положительным, то просто перевести его код в десятичную систему счисления. В случае отрицательного числа необходимо выполнить следующий алгоритм:
- вычесть из кода числа 1;
- инвертировать код;
- перевести в десятичную систему счисления. Полученное число записать со знаком минус.
Примеры. Запишем числа, соответствующие дополнительным кодам:
- 0000000000010111. Поскольку в старшем разряде записан нуль, то результат будет положительным. Это код числа 23.
- 1111111111000000. Здесь записан код отрицательного числа. Исполняем алгоритм: 1) 1111111111000000(2) - 1(2) = 1111111110111111(2); 2) 0000000001000000; 3) 1000000(2) = 64(10).
Ответ: -64.
Кодирование вещественных чисел
Несколько иной способ применяется для представления в памяти персонального компьютера действительных чисел. Рассмотрим представление величин с плавающей точкой.
Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double.
Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти 8 байт. На рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):
| S | Смещенный порядок | Мантисса |
| 63 | 62..52 | 51..0 |
Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 51, т.е. мантисса занимает младшие 52 бита. Черта указывает здесь на положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части мантиссы, но поскольку она всегда равна 1, здесь данный бит не требуется и соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается). Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде смещенного числа, т.е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает 11 бит и имеет диапазон от 2 -1023 до 2 1023 , поэтому смещение равно 1023(10) = 1111111111(2). Наконец, бит с номером 63 указывает на знак числа.
Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:
Пример. Запишем код числа -312,3125.
- Двоичная запись модуля этого числа имеет вид 100111000,0101.
- Имеем 100111000,0101 = 1,001110000101 × 2 8 .
- Получаем смещенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 1031(10) = 10000000111(2).
- Окончательно
1 10000000111 0011100001010000000000000000000000000000000000000000 63 62..52 51..0
Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим образом: C073850000000000(16).
Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного числа к самому числу.
Принцип представления беззнаковых целых чисел в компьютере достаточно прост:
- число должно быть переведено в двоичную систему счисления;
- должен быть определен объем памяти для этого числа.
- .byte - размещает каждое выражение как 1 байт
- .short - 2 байта
- .long - 4 байта
- .quad - 8 байт
Если речь идет о переменной, а чаще так и бывает, необходимо определить диапазон, в котором будет меняться значение переменной и, исходя из этого, резервировать для нее память. Поскольку современные процессоры Intel ориентированы на операции с 64-битными числами то, оптимальнее, все же ориентироваться на переменные такой же размерности.
Рассмотрим программу на языке C ( 700.c ).
В данном программе задано четыре переменных: однобайтовая e , двухбайтовая c , четырехбайтовая t , восьмибайтовая a . С помощью этой программы, к выведем область памяти, где хранятся эти переменные. Вот дамп памяти, который выдает программа ( рисунок 1 ).
Внимательно посмотрев на данную цепочку байтов, вы без труда обнаружите все наши переменные. Что важного можно почерпнуть из данной последовательности?
- Мы видим, что младшие байты чисел (переменных) в слове занимают в памяти младшие адреса. В свою очередь младшие слова в удвоенном слове — младший адрес. И, наконец, если рассматривать 64-битную переменную, то в ней младшее удвоенное слово должно занимать младший адрес. Это очень важный момент именно для анализа двоичного кода. В дальнейшем по одному виду области памяти вы сможете во многих случаях сразу идентифицировать переменные.
- Как видно на все переменные затрачивается объем памяти, кратный четырехбайтовой величине. После каждой инициализированной переменной компилятор вставляет директиву выравнивания по 32-битной границе (Align 4). Впрочем, все совсем не так просто, и при другом порядке следования переменных выравнивание может быть иным.
И так. 16-битное число 0xА890 в памяти будет храниться как последовательность байтов 90 A8, 32-битное число 0x67896512 как последовательность 12 65 89 67. И, наконец, 64-битное число 0xF5C68990D1327650 — как 50 76 32 D1 90 89 C6 F5.
Числа со знаком в компьютере
Поскольку в памяти нет ничего, кроме двоичных разрядов, то вполне логично было бы выделить для знака числа отдельный бит. Например, имея одну ячейку, мы могли бы получить диапазон чисел от –127 до 127 ( 11111111 - 01111111 ). Подход был бы не так уж и плох. Вот только пришлось бы вводить отдельно сложение для знаковых и беззнаковых чисел. Существует и другой, альтернативный способ введения знаковых чисел. Алгоритм построения заключается в том, что мы объявляем некоторое число заведомо положительным и далее ищем для него противоположное по знаку исходя из очевидно тождества: a + (– a) = 0 .
На множестве однобайтовых чисел за единицу естественно взять двоичное число 00000001 . Решая уравнение 00000001 + x = 00000000 , мы приходим к неожиданному, на первый взгляд, результату x = 11111111, другими словами за -1 мы должны принять число 11111111 ( 255 в десятичном эквиваленте и FF в шестнадцатеричном). Попробуем развить нашу теорию. Очевидно, что -1 - (1) = -2 , т. е. по логике вещей, за -2 мы должны принять число 11111110 . Но с другой стороны число 00000010 вроде бы должно представлять +2 . Посмотрите 11111110 + 00000010 = 00000000 , т. е. выполняется очевидное тождество +2 + (-2) = 0 . Итак, мы на верном пути и процесс можно продолжить (см. Рисунок 2 ).
Внимательно посмотрите на таблицу (рисунок 2). Что же у нас получилось? Знаковые числа оказываются в промежутке -128 до 127 .
Таким образом, однобайтовое число можно интерпретировать и как число со знаком, и как беззнаковое число. Тогда, например, 11111111 в первом случае будет считаться -1 , а во втором случае 255 . Все зависит от нашей интерпретации. Еще интереснее операции сложения и вычитания. Эти операции будут выполняться по одной и той же схеме и для знаковых и для беззнаковых чисел. По этой причине и для операции сложения и для операции вычитания у процессора имеется всего по одной команде: add и sub . Разумеется, при выполнении действия может возникнуть переполнение или перенос в несуществующий разряд, но это отдельный разговор, и решить проблему можно, зарезервировав еще одну ячейку памяти. Все наши рассуждения легко переносятся на двух- четырех- и восьмибайтовые числа. Так максимальное двухбайтовое беззнаковое число будет 65 535 , а знаковые числа окажутся в промежутке от - 32 768 до 32 767 . Еще один интересный момент касается старшего бита. Как мы видим, по нему можно определить знак. Но в данной схеме бит совсем не изолирован и участвует в формировании значения числа вместе с остальными битами.
Уметь хорошо ориентироваться в знаковых и беззнаковых числах очень важно для программиста на языке ассемблера. Встретив, скажем, команду
cmp rax, 0xFFFFFFFFFFFFFFFE
следует иметь в виду, что в действительности это, возможно, команда
Рассмотрим последовательность переменных:
signed char e=-2;
short int c=-3;
int b=-4;
__int64_t a=-5;
Как видим, это все знаковые переменные с отрицательным значением. При выводе фрагмента памяти, содержащего данные переменные, получим следующую последовательность байтов:
fe00 00 00 fd ff 00 00 fc ff ff ff 00 00 00 00 fb ff ff ff ff ff ff ff
Итак, значение однобайтовой переменной -2 в памяти компьютера представлено байтом 0xFE , значение двухбайтовой переменной -3, представлено последовательностью 0xFFFD , значение четырехбайтовой переменной -4 — последовательностью 0xFFFFFFFC , и, наконец, отрицательное восьмибайтовая переменная со значением -5 представлена байтами 0xFFFFFFFFFFFFFFFB . Напоминаю, что при представлении восьмибайтового числа младшие четыре байта должны находиться по адресу, меньшему, чем старшие.
Вещественные числа
Для того чтобы использовать вещественные числа в командах процессора Intel(командах арифметического сопроцессора), они должны быть представлены в памяти компьютера в нормализованном виде . В общем случае нормализованный вид числа выглядит так:
Здесь ZN - знак числа, M - мантисса числа, обычно удовлетворяет условию M < 1 , N - основание системы счисления, q показатель, в общем случае может быть и положительным и отрицательным числом. Числа, представленные таким образом, называют еще числами с плавающей точкой (или числами с плавающей запятой ).
Рассмотрим конкретный пример. Попытаемся представить в нормализованном виде число 5,75 . Переведем вначале это число в двоичную систему счисления. В данном случае это делается достаточно легко. Действительно, 5 — это 101 , а 0,75 - это (1/2) + (1/4) . Другими словами 5,75 = 0b101,11 . Пишем далее 0b101.11 = 1.00111 * (2^3) . Таким образом, мы имеем следующие компоненты нормализованного числа:
Заметим, что первая цифра мантиссы в таком представлении всегда равна 1, а, следовательно, ее можно и вообще не хранить, и в формате Intel так и поступают. Кроме этого нужно иметь в виду, что показатель q в действительности (для процессора Intel) хранится в памяти в виде суммы с некоторым числом, так чтобы всегда быть положительным. Процессор Intelможет работать с тремя типами вещественных чисел:
- короткое вещественное число . Всего для хранения отводиться 32 бита. Биты 0-22 резервируются для мантиссы. Биты 23-30 предназначены для хранения показателя q, сложенного с числом 127 . Последний 31 -й бит, предназначен для хранения знака числа ( 1 - знак отрицательный, 0 - положительный);
- длинное вещественное число . Для хранения такого числа отводится 64 бита. Биты 0-51 нужны для хранения мантиссы. Биты 52-62 предназначены для хранения числа q , сложенного с числом 1024 . Последний 63-й бит определяет знак числа ( 1 - знак отрицательный, 0 - положительный);
- расширенное вещественное число . Для хранения числа отводится 80 битов. Биты 0-63 - мантисса числа. Биты 64-78 — показатель q , сложенный с числом 16383 . 79 -й, последний бит отводится для знака числа ( 1 - знак отрицательный, 0 - положительный).
Очевидно, пришла пора разобрать конкретный пример представления в памяти вещественного числа. Итак, пусть в программе на языке Си имеем объявление переменной:
Тип float - это короткое вещественное число, т. е. в памяти оно, согласно выше записанному, будет занимать 32 бита. Попытаемся теперь нашим обычным способом заглянуть в память. Вот они, четыре байта, которые и призваны представлять наше число:
00 00 a1 c2
Чтобы легче было разбираться, представим последовательность из четырех байтов в двоичном виде:
00000000 00000000 10100001 11000010
Или более понятным способом, начиная со старшего байта для выделения мантиссы, показателя и знака:
11000010 10100001 00000000 00000000
Выделим мантиссу. На нее отводиться 23 бита. Имеем, таким образом, двоичное число 0100001 . Учтите, что биты мантиссы, отсчитываются, начиная со старшего (в данном случае 22 -го) бита, а оставшиеся нули естественно отбрасываются, поскольку вся мантисса располагается справа от запятой. Правда, это еще не совсем мантисса. Как ранее было сказано, единица перед запятой в представлении отбрасывается. Так что мы должны восстановить ее. Поэтому мантиссой будет число 0b1,0100001 . Знак всего числа, как мы видим, определяется единицей, следовательно, задает отрицательное число. А вот показатель нам следует получить из двоичного числа 0b10000101 . В десятичном представлении это число 133 . Вычитая число 127 (для короткого вещественного числа), получим 6 . Следовательно, для того чтобы получить из мантиссы истинное дробное число, нужно сместить в ней точку на шесть разрядов вправо. Окончательно получаем 0b1010000,1 . В шестнадцатеричной системе счисления это просто 0x50,8 , а в десятичной получаем как раз 80,5 .
В качестве тренировки я бы вам предложил следующую цепочку байтов:
00 80 fb 42
Попытайтесь доказать, что это есть ничто иное, как представление числа 125,75 .
Из сказанного в данном разделе можно сделать вывод, что при использовании в программе вещественных чисел они могут стать приближенными еще до того, как с ними были произведены какие-либо действия. Это вызвано тем, что для записи чисел в память их нормализуют.
Ассемблер вам в радость! Пока! Подписываемся на мой канал Old Programmer .
Читайте также: