Формула замены базиса для матриц
Обновлено: 03.07.2024
Как упоминалось выше, базис в данном векторном пространстве можно ввести разными способами. В связи с этим возникает естественная задача: описать связь между базисами.
Докажите, что размерность векторного пространства не зависит от выбора базиса (т.е. что любой базис содержит одинаковое число векторов).
Пусть в векторном пространстве \(\mathit\) заданы базисы \(e_1,e_2. e_n\) и \(f_1,f_2. f_n\). Любой вектор второго базиса можно выразить через вектора первого базиса, так что \[ f_1=c_e_1+c_e_2+. +c_e_n, \quad \quad(41) \] \[ f_2=c_e_1+c_e_2+. +c_e_n, \quad \quad(42) \] \[ . \] \[ f_n=c_e_1+c_e_2+. +c_e_n,\quad \quad (43) \]
или \[ f_k=\sum_^nc_e_m, k=1,2. n. \quad \quad(44) \]
Матрица \[ C=\left( \begin c_ & c_ & c_ &\ldots & c_ \\ c_ & c_ & c_ &\ldots & c_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_ &c_ & c_ & \ldots & c_ \end \right) , \] элементы которой введены согласно соотношениям (41)-(43), называется матрицей замены базиса \(\\) на базис \(\\).
Аналогичным образом можно выразить вектора базиса \(e\) через вектора базиса \(f\): \[ e_1=b_f_1+b_f_2+. +b_f_n,\quad \quad (45) \] \[ e_2=b_f_1+b_f_2+. +b_f_n, \quad \quad(46) \] \[ . \] \[ e_n=b_f_1+b_f_2+. +b_f_n, \quad \quad(47) \] или \[ e_s=\sum_^nb_f_k,s=1,2. n. \] Соответственно, возникает матрица \(B\): \[ B=\left( \begin b_ & b_ &b_ &\ldots & b_ \\ b_ & b_ & b_ &\ldots & b_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_ &b_ & b_ & \ldots & b_ \end \right) , \]
Матрица перехода от базиса к базису невырождена.
Подставляя (41)-(43) в (45)-(47), получаем: \[ e_s=\sum_^nb_\left ( \sum _^nc_e_m \right ). \]
В последнем выражении стоят 2 конечные суммы. Для конечных сумм, согласно правилам обычной арифметики, возможна перестановка порядка суммирования. Реализуя ее, получаем: \[ e_s=\sum_^nb_\left ( \sum _^nc_e_m \right )=\sum_^ne_m\left ( \sum _^nc_ b_ \right ). \]
Сравнивая выражения слева и справа, и используя единственность координат вектора (т.е.коэффициентов при \(e_m\) в левой и правой частях), получаем: \[ \sum _^nc_ b_=\delta _,\quad \quad (48) \] где \(\delta \)-символ Кронекера определен согласно соотношению: \(\delta _=0\), если \(m \neq s\), \(\delta _=1\), если \(m =s\). В левой части соотношения (48) нетрудно опознать матричное умножение матриц \(C^T\) и \(B^T\). В правой части стоят элементы единичной матрицы \(E\), которая на диагонали имеет единицы, а остальные элементы ее равны нулю. Таким образом, мы получили равенство: \[ C^TB^T=E.\quad \quad (49) \] Транспонируя это равенство, находим: \(BC=E\). Согласно свойствам определителей, имеем: \[ det(B)det(C)=det(E)=1. \] таким образом, матрицы \(B\), \(C\) невырождены и обратны друг другу.
1. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от одной системы к другой. \[ a_1=(1,2,1), \quad a_2=(2,3,3), \quad a_3=(3,8,2), \] \[ b_1=(3,5,8), \quad b_2=(5,14,13), \quad b_3=(1,9,2). \]
2. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами два вектора второго базиса?
Рассуждение проведём для случая n = 3. Один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты. Можем написать:
Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.
В силу единственности разложения по данному базису мы должны приравнять коэффициенты при векторах e 1 ,e 2 ,e 3 и полученные. Тогда
Введём в рассмотрение матрицы
Тогда полученные соотношения можно записать в матричном виде X = Z X .
Матрица Z называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e 1 ,e 2 . e n к базису E 1 ,E 2 . E n . Причём, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E 1 ,E 2 . E n относительно старого базиса e 1 ,e 2 . e n .
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть в пространстве E n определён линейный оператор A , т.е. y = A x
Или Y = A X , где X (x 1 ,x 2 . x n ) T и Y (y 1 ,y 2 . y n ) T матрицы-столбцы, со ставленные из координат векторов x и y относительно данного базиса n 1 ,e 2 . e n , A - матрица линейного оператора A .
Выберем в том же пространстве E n другой базис E 1 ,E 2 . E n . Относительно нового базиса матрица линейного оператора A будет иной. Обозначим через T матрицу преобразова ния координат, а через X и Y - одностолбцовые матрицы, составленные из координат векторов x и y относительно нового базиса, т.е.
Подставим полученное в общий вид, тогда получим: T Y = A T X
Умножая левую и правую части равенства слева на T -1 , получим: Y = T -1 A T X .
Итак, если в E n перейти к новому базису, то матрица линейного оператора также изменится и в самом общем случае будет равна T -1 A T .
Пример: Оператор A в базисе пространства E 3
Найти его матрицу в базисе
Решение: Матрица оператора в новом базисе находим по формуле B = T -1 AT , где T - матрица перехода от старого базиса к новому. Матрицу перехода находим по формуле T = X -1 Y .
Сопряженный и самосопряженный оператор
Пусть в вещественном евклидовом пространстве E n определён линейный оператор A
Определение 1. Оператор A * в вещественном евклидовом пространстве E n называ ется сопряженным по отношению к линейному оператору A в том же пространстве, если его матрица в любом ортонормированном базисе этого пространства является транспо нированной по отношению к матрице оператора A .
Свойства сопряженного оператора
1. E * = E, где E - тождественный оператор, т.е. оператор, матрица которого E единичная в E n
2. (A + B) * = A * + B *
3. (A B) * = B * A *
4. если A -1 существует, то (A -1 ) * = (A * ) -1 .
Определение 2. Линейный оператор A, определённый в вещественном евклидовом пространстве E n , называется самосопряженным, или симметрическим, если он cовпа дает со своим сопряженным оператором A * , т.е. если A * = A .
Матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.
Свойства самосопряженного оператора
1. если A * = A , B * = B , то (A + B) * = A * + B * = A + B ;
2. если A - невырожденный самосопряженный оператор, то (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 .
Доказательство. Действительно, если существует A -1 и кроме того A * = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим (A -1 ) * = (A * ) -1 = A -1 ;
3. Если A - самосопряженный оператор в вещественном пространстве E n , то имеет место равенство:
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Пусть A - линейный оператор. Пусть x 1 , где 1 некоторое подпространство прост ранства E n . Вектор y = A x может принадлежать подпространству 1 , а может и не принад лежать.
Определение. Подпространство 1 называется инвариантным по отношению к оператору A, если A x 1 , x 1 .
Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если найдётся такое число , что будет выполняться равенство A x = x . При этом число называют собственным значением (собственным числом) оператора A , соответствующим вектору x. Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.
Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векто ров линейного оператора A. Рассмотрение проведём для случая n = 3. Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу
и пусть одностолбцовая матрица соответствует вектору x. Тогда в силу определения
Дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A E) = 0. Уравнение det(A E) = 0 называется характеристическим уравнением оператора A; многочлен det(A E) называется соответственно характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:
Решив его, найдём - собственные значения линейного оператора. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A, которую называют следом этой матрицы trA или следом оператор A (trA), справедлива формула . Кроме того, detA = 1 2 3 .
После того как найдены собственные значения линейного оператора A, остаётся подставить их по очереди в уравнение и найти соответствующие собственные векторы x (1) , x (2) , x (3)
Пример: Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого
Решение. По определения собственного вектора можем написать - матрица – столбец, соответ ствующая искомому вектору x линейного оператора A;
В матричной форме получим:
Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:
Решая его, получим такие собственные значения 1 = 1; 2 = 3.
Найдём соответствующие собственные векторы.
1) 1 = 1 подставим в уравнение, получим
где t (1) - некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу 1 = 1:
Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответствующий первому собственному числу 1 = 1 т.е.
2) 2 = 3 подставим в уравнение, получим
В заключение заметим, что множество всех векторов y = A x , где x E n , называется областью значений линейного оператора A в E n , а множество всех векторов x 1 E n , таких, что A x = 0, называется ядром линейного оператора.
Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженного оператора
Рассмотрим самосопряженный оператор A, определённый в вещественном евклидо вом пространстве E n . В силу определения матрица его A -симметрическая.
Теорема 1. Собственные числа самосопряженного оператора A есть вещественные числа.
Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие двум различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны.
>Доказательство. Пусть - различные собственные значения самосопряженного оператора A, а x 1 , x 2 - соответствующие им собственные значения. Тогда
Но т.е. левые части равенств равны, следовательно, вычитая их почленно, получим: а это и означает, что собственные векторы x 1 , x 2 ортогональны.
Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонор мированный базис.
Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.
Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3. Пусть e 1 , e 2 , e 3 - единичные векторы самосопряженного оператора A относительно некоторого базиса линейного пространства 3 , отвечающие собственным значениям этого линейного оператора, т.е. . Примем векторы e 1 , e 2 , e 3 за базис линей ного пространства. Очевидно, что в этом базисе векторы имеют координаты:
. Следовательно, матрица A оператора A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет вид:
Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.
Рассмотрим линейное преобразование координат некоторого вектора при смене базиса. Предположим, что мы имеем два базиса произвольного n – мерного пространства и . Очевидно, координаты векторов одного базиса можно выразить через другой базис:
(*)
В матричном виде:
Где матрица А – это матрица, связывающая новый базис ЕI’ со старым Ei.
Рассмотрим некоторый вектор
Подставим здесь вместо их выражения из (*):
Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых векторах , приходим к системе уравнений:
Или в матричном виде
Матрица АТ, транспонированная к А, называется матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцами этой матрицы являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Очевидно, обратный переход есть: X’=(A –1)TX
Вывод: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью транспонированной обратной матрицы.
Пример: в пространстве V3 имеем два базиса:
1)
2)
Найти координаты в базисе . Т. е. . Матрица перехода от базиса к базису есть:
Матрица S невырожденная, т. е. система векторов образует базис.
Имеем . Отсюда . Запишем без вычислений, что . Тогда .
Т. е.
В заключении рассмотрим пространства решений линейной однородной системы. Если решений множество, то известно, что сумма каких-либо решений тоже является решением и произведение каких-либо решений на число тоже является решением. Аксиомы 10 – 80 тоже выполняются. Т. е. множество решений линейной однородной системы являются линейным пространством. Существует Теорема: размерность пространства решений линейной однородной системы уравнений с N неизвестными равна N-R, где R – ранг матрицы системы.
X = Cr+1X1+ Cr+2X2 + … + CnXn-r
Это означает, что решения X1 … Xn-r – линейно независимы и их можно принять за базис пространства решений. Любой базис решений называется фундаментальной системой решений.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть $L_n -$ произвольное мерное пространство, $B=(e_1, . e_n) -$ фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору $x\in L_n$ взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
$$x=x_1e_1+. +x_ne_n\Leftrightarrow X=\beginx_1\\ \vdots\\x_n\end$$
При этом линейные комбинации над векторами в координатной форме выглядят следующим образом:
$y=\lambda x\Leftrightarrow Y=\lambda X.$
Пусть $B=(e_1, e_2, . e_n)$ и $B'=(e_1', e_2', . e_n') -$ два различных базиса в $L_n.$ Каждый из векторов базиса $B'$ разложим по базису $B:$
Матрицей перехода $T_$ от базиса $B$ к базису $B'$ называется матрица
$T_=\begint_&. &t_\\. &. &. \\t_&. &t_\end$ $k$-й столбец которой есть столбец $E'_k$ координат вектора $e'_k$ в базисе $B.$ Если $x -$ произвольный вектор из $L_n,$ $X$ и $X' -$ столбцы его координат в базисах $B$ и $B'$ соответственно то имеет место равенство $$X'=(T_)^X$$ (формула преобразования координат при преобразовании базиса).
Примеры.
4.15. В постранстве $V_3$ заданы векторы $e_1'=i+j, $ $e_2'=i-j, $ $e_3'=-i+2j-k.$ Доказать, что система $B'=(e_1', e_2', e_3')$ базис в $R_3 $ и написать матрицу перехода $T_$ где $B=(e_1=i, e_2=j, e_3=k).$ Найти координаты вектора $x=i-2j+2k$ в базисе $B'.$
Решение.
Для того, чтобы показать, что система векторов $B'=(e_1', e_2', e_3')$ базис в $R_3, $ достаточно показать, что эти вектора не компланарны.
Из условия мы имеем $e_1'=i+j=(1, 1, 0),$ $e_2'=i-j=(1, -1, 0),$ $e_3'=-i+2j-k=(-1, 2, -1).$ Вектора $e_1', e_2', e_3'$ не компланарны, если $\begin1&1&0\\1&-1&0\\-1&2&-1\end\neq 0.$ Проверим это:
Далее запишем матрицу перехода $T_$
Подставляя этот результат в формулу $X'=(T_)^X,$ получаем:
4.17. Пусть $B=(i, j, k)$ и $B'=(i', j', k') -$ прямоугольные базисы в $R_3.$ Написать матрицу перехода $T_,$ и выписать столбец координат вектора $x=i-2j+k$ в базисе $B'.$
Базис $B'$ получен перестановкой $i'=j,$ $j'=k,$ $k'=i.$
Решение.
Из условия мы имеем $e_1=i, e_2-j, e_3=k;$ $e_1'=j=(0, 1, 0),$ $e_2'=k=(0, 0, 1),$ $e_3'=i=(1, 0, 0).$
Подставляя этот результат в формулу $X'=(T_)^X,$ получаем:
Домашнее задание.
Пусть $B=(i, j, k)$ и $B'=(i', j', k') -$ прямоугольные базисы в $R_3.$ Написать матрицу перехода $T_,$ и выписать столбец координат вектора $x=i-2j+k$ в базисе $B'.$
4.16. Базис $B'$ получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов $B.$
4.18. Базис $B'$ получен поворотом базиса $B$ на угол $\varphi$ вокруг орта $i.$
Читайте также: