Как найти соотношение большей стороны к меньшей
Обновлено: 07.07.2024
Приветствую тебя читатель на своем канале. В этом выпуске разберем задание на "Лист бумаги" из ОГЭ по математике.
Текст задачи выглядит следующим образом:
Для этого текста разберу для вас все возможные задания, которые встретил в типовых экзаменационных заданиях.
Задание №1
Это задание можно выполнить очень быстро, если расположить листы бумаги по возрастанию или убыванию длины из таблицы в тексте задачи.
Самая большая длина листа соответствует формату с меньшим числом и наоборот, т.е. А1-841; А2-594; А5-210; А6-148. Ответ в этом задании будет 4132
Задание №2
Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А3?
Для выполнения этого задания, предлагаю вам воспользоваться простой формулой, а не считать мысленным перегибанием листов на экзамене, поскольку так есть опасность ошибиться.
Задание №3
Найдите длину листа бумаги формата А4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10
Выписываем из таблица в тексте задачи, размеры ближайшего листа к листу А4. Ближайший к формату А4 это лист формата А5 с размером 210х148. Что бы найти длину формата А4, нужно ширину формата А5 умножить на 2, т.е. 148*2=296, после округления до ближайшего целого числа кратного 10 получаем 300.
Задание №4
Найдите площадь листа формата А1. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В условии задачи, написано, что лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м
Нам остается перевести 1кв.м в квадратные сантиметры, и поделить на 2.
Задание №5
Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого
В этом задании, первые два предложения нам не нужны. Начинаем читать задание с третьего предложения.
В первую очередь, при прочтении задания, определите, уменьшится у вас шрифт или нет. Это зависит от того, на каком формате был напечатан текст изначально, и на какой формат мы его перепечатываем. У нас в задании текст был напечатан на формате А4 шрифтом 16, и его нужно перепечатать на формат А5 (А5 меньше чем А4), значит наш шрифт должен уменьшится. Остается вопрос, на сколько уменьшится?
Вначале, текст был напечатан на формате А4 на всю длину 296 мм, затем перепечатан на формат А5 на длину 210 мм. Значит нам нужно понять, во сколько раз уменьшится шрифт? Шрифт уменьшится во столько раз, во сколько длина формата А4 меньше длины формата А5. Это значение равно 1,4 (расчеты ниже)
Дополнительное заданий, которое еще может встретится в этой теме
Бумагу формата А2 упаковали в пачки по 100 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 96 г. Ответ дайте в граммах.
В тексте задания, обращайте внимание на такую фразу: Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м., если такой фразы нет , то задача решается следующим образом:
Если же, фраза: Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м., присутствует в тексте задания, то решение упрощается в несколько раз. Вот решение с этой фразой:
Как видите, ответы почти одинаковые, но нужно внимательно читать условие в тексте перед основными заданиями.
Научились ли вы решать этот тип задачи? Пиши в комментариях, если что то было не понятно.
Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Возьмём обычный лист белой бумаги — того формата, который подходит для большинства принтеров и называется А4. На пачке бумаги (или в Википедии, или в настройках принтера) написано, что этот лист имеет длину 297 миллиметров, а ширину — 210. Откуда взялись такие странные числа? И откуда в названии формата четвёрка?
Давайте разберёмся во всём этом по порядку. Оказывается, бывают и другие форматы бумаги, в названии которых есть буква А, — от А0 до А6. Лист каждого следующего формата получается как половина листа предыдущего формата. Например, лист А5 получается, если сложить лист А4 пополам. И наоборот, если склеить два листа А4 вдоль длинной стороны, получится лист А3 (некоторые большие принтеры умеют печатать на таких листах). Если приложить друг к другу два листа А3, мы получим лист А2 — на бумаге такого формата обычно печатаются газеты. Из двух листов А2 получается лист А1, а из двух листов А1 — лист А0. Может быть, вам доводилось видеть плотную чертёжную бумагу — так называемые ватманские листы; они как раз имеют формат А0, и тем самым каждый такой лист можно разрезать на 16 листов формата А4, разделив его по вертикали и горизонтали на 4 равные части.
У всех этих листов есть одно замечательное свойство: они представляют собой подобные прямоугольники. Иными словами, отношение длины к ширине у каждого из этих листов одно и то же. За счёт этого две страницы формата А4 можно уместить на одну, уменьшив длину и ширину в одно и то же число раз и переведя исходные страницы в формат А5 (в настройках большинства принтеров можно указать опцию «печатать две страницы на одной». Это бывает очень удобно, если вам нужно распечатать большой текст и хочется сэкономить бумагу или чернила). Отсюда можно найти отношение сторон, если написать простую пропорцию:
длина А4 ширина А4 = длина А5 ширина А5
и при этом помнить, что длина листа А5 такая же, как ширина у А4, а ширина А5 равна половине длины А4.
Отсюда получается, что
длина А4 2 ширина А4 2 = 2 ,
то есть отношение сторон листа А4 (а значит, и листов всех остальных форматов от А0 до А6) должно равняться корню из двух — примерно 1,414213562.
Корень из двух — число иррациональное, то есть не равное отношению никаких двух целых чисел. А для технологических целей длины сторон у листов бумаги хочется всё-таки выражать целым числом миллиметров. Поэтому в качестве формата принято отношение 297/210, что равно 99/70 = 1,4142857. Как мы видим, эта дробь очень близка к 2 — эти числа расходятся только в пятом знаке после запятой и различаются лишь на пять тысячных процента!
Итак, с отношением сторон мы разобрались. Но почему же ширина листа равна именно 210 миллиметрам, а, скажем, не 200 и не 220? Оказывается, что длины сторон были выбраны именно такими для того, чтобы лист формата А0 (самый большой в этой серии форматов) имел площадь, равную одному квадратному метру. Согласно международному стандарту ISO 216, длина и ширина листа А0 равна 1189 мм и 841 мм соответственно. В квадратном метре миллион квадратных миллиметров, а произведение 841 и 1189 даёт 999 949, что очень близко к миллиону.
Соотношение длины и ширины бумажного листа, равное корню из двух, было предложено ещё в 1786 году немецким учёным Георгом Кристофом Лихтенбергом и стало впервые применяться во Франции в конце XVIII века. Сейчас оно распространено по всему миру, кроме США и Канады, где принято использовать бумагу так называемого формата Letter, с соотношением сторон 8,5×11 дюймов — примерно 216×279 мм. Такой лист немножко шире и короче привычного нам листа А4. Но откуда взялось именно такое соотношение, автору неизвестно.
Задача
Придумайте прямоугольный параллелепипед, который можно разделить пополам на два подобных ему параллелепипеда (с таким же соотношением трёх сторон). (Кстати, если делать такие посылочные коробки, то их легко будет плотно размещать в почтовом вагоне, заменяя, при необходимости, большую коробку двумя поменьше.)
Александр Борун
Будем искать прямоугольный параллелепипед со сторонами a > b > c . После деления пополам мы получим параллелепипед, подобный исходному, а значит, у нас и максимальная сторона уменьшится, и средняя, и меньшая. Поэтому мы делили пополам большую сторону и получили параллелепипед со сторонами b > c > a 2 .
Составим пропорцию a : b = b : c = c : a 2 = k . Перемножив три отношения, получаем k 3 = 2 , откуда k = 2 3 ≈ 1,26 . Приняв меньшую сторону за 1, получим параллелепипед со сторонами 2 3 2 , 2 3 , 1 .
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2. И так далее. Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вариантов)
Задание 1
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А0, А1, А3 и А4.
Решение
Чем больше число стоит у буквы А, тем формат бумаги меньше по размеру, т.к. его больше раз разрезали.
Формат А4 – самый маленький, А3 – соседний к А4, больше А4 по одной из сторон в два раза.
А0 – самый большой, А1 – соседний к А0, меньше А0 по одной из сторон в два раза. Соотносим размеры из таблицы:
Ответ: 3421.
Задание 2
Сколько листов формата А3 получится из одного листа формата А2?
Решение
Из листа А2 получится 2 листа А3.
Ответ: 2.
Задание 3
Найдите площадь листа формата А1. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Из первого задания знаем, что лист А1 имеет размеры 841 мм на 594 мм.
Переведём стороны в см (1см = 10 мм):
841 мм = 84,1 см
594 мм = 59,4 см
Найдём площадь листа А1:
SA1 = 84,1·59,4 = 4995,54 см 2
Ответ: 4995,54.
Задание 4
Найдите отношение большей стороны листа формата А2 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Лист А2 в два раза меньше листа А1 по большей стороне листа А1.
Лист А1 имеет размеры 841 мм на 594 мм. Найдём размеры сторон листа А2:
841/2 = 420,5 мм
594 мм
Найдём отношение большей стороны к меньшей стороне, округлив до десятых:
Ответ: 1,4.
Задание 5
Бумагу формата А5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение:
Способ 1
Лист А5 в два раза меньше листа А4 по большей стороне листа А4.
Лист А4 имеет размеры 297 мм на 210 мм (знаем из 1-го задания). Найдём размеры сторон листа А5:
297/2 = 148,5 мм
210 мм
Переведём стороны в метры (1 м = 100·10 = 1000 мм):
148,5 мм = 0,1485 м
210 мм = 0,210 = 0,21 м
Найдём площадь листа А5 в кв. м:
0,1485·0,21 = 0,031185 м 2
Найдём площадь 500 таких листов:
0,031185·500 = 15,5925 м 2
1 м 2 = 80 г, найдём массу пачки бумаги в граммах:
15,5925·80 = 1247,4 г
Но в ответах сборника подразумевают, что нужно решать Способом 2 :
По условию площадь листа А0 = 1 м 2 . Лист А0 состоит из 32 листов А5:
Тогда площадь 500 листов А5 равна:
500/32 = 15,625 м 2
1 м 2 = 80 г, масса пачки листов равна:
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Если лист формата A0 разрезать пополам, получаются два листа формата A1. Если лист A1 разрезать пополам, получаются два листа формата A2 и так далее. При этом отношение длины листа к его ширине у всех форматов, обозначенных буквой A, одно и то же (то есть листы всех форматов подобны друг другу). Это сделано специально — чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменяется). В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от AЗ до A6.
| Порядковые номера | Ширина (мм) | Длина (мм) |
| 1 | 105 | 148 |
| 2 | 210 | 297 |
| 3 | 297 | 420 |
| 4 | 148 | 210 |
Задание 1.
Задание 2.
Сколько листов бумаги формата А5 получится при разрезании одного листа бумаги формата А0?
Задание 3.
Найдите длину большей стороны листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах.
Задание 4.
Найдите площадь листа бумаги формата АЗ. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание 5.
Найдите отношение длины большей стороны листа к меньшей у бумаги формата А1. Ответ дайте с точностью до десятых.
Задание 1.
Формат А3 – самый большой по размеру, а формат А6 – самый маленький. Выбираем в таблице по порядку номера, начиная с самого большого и заканчивая самым маленьким, получаем: 3 - А3; 2 – А4; 4 – А5; 1 – А6
Задание 2.
Пусть n – это число уменьшений формата от A0 до Ax. В нашем случае x=5 и, соответственно, n=5-0=5. Тогда число листов бумаги формата А5, получаемое из А0 можно вычислить по формуле: $$N=2^=2^=32$$ листа
Задание 3.
На рисунке видно, что большая сторона А2 равна двум меньшим сторонам А3: 297*2=594 мм
Задание 4.
По таблице лист формата А3 имеет размеры 420х297 мм и представляет собой прямоугольник 42*29,7 см. Значит, его площадь, равна: 42*29,7 см 2 , что составляет 1247,4 см 2 .
Задание 5.
Пропорции листа сохраняются независимо от формата, потому можно рассмотреть А6: $$\frac\approx 1,4$$
Читайте также: