Как решать соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Обновлено: 06.07.2024

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Будем рассматривать прямоугольный треугольник $ABC$ c прямым углом $C$ (рис. 1).

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник

Будем рассматривать угол $A$. Тогда катет $BC$ будет называться противолежащим катетом, а катет $AC$ прилежащим к углу $A$.

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Введем определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе данного треугольника.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету данного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету данного треугольника.

Из формул (1) и (2) очевидно, что

Проверим теперь следующее тождество:

Подставим формулы (1) и (2), получим

Тождество (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Вычислим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для $^^\circ >,\ ^^\circ >$ и $^^\circ >$. Для этого вспомним следующую теорему.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $^^\circ >$, равняется половине гипотенузы этого треугольника.

Пусть для начала у нас $\angle A=^^\circ >$. Так как треугольник прямоугольный, то $\angle B=^^\circ >$.

По теореме 1, имеем $AB=2BC$.

Используя основное тригонометрическое тождество (5), получим:

Теперь нетрудно найти тангенсы и котангенсы этих углов.

Пусть теперь $\angle A=^^\circ >$. Тогда $\angle B=^^\circ >$, то есть прямоугольный треугольник -- равнобедренный. По теореме Пифагора $^2+^2=^2$, следовательно, $^2=^2=2^2$, то есть

Сведем все полученные данные в таблицу (таблица 1).

Рисунок 2. Основные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Пример задачи на нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Найти значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла $A$, если $AB=5,\ BC=4,\ AC=3.$

2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:

6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:

7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:

8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:

11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:

12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):

13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:

15. Медиана, проведенная к гипотенузе:

16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° .

Сумма углов треугольника равна 180 ° , а прямой угол равен 90 ° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∡ $1$ $+$ ∡ $2 =$ 90 ° .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в  30 ° ).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором ∡ $A$ — прямой, ∡ $B =$ 30 ° , и значит, что ∡ $C =$ 60 ° .

Докажем, что $BC = 2 AC$.
Приложим к треугольнику $ABC$ равный ему треугольник $ABD$, как показано на рисунке.

Получим треугольник $BCD$, в котором ∡ $B =$ ∡ $D =$ 60 ° , поэтому $DC = BC$. Но $DC = 2 AC$. Следовательно, $BC = 2 AC$.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30 ° .

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором ∡ $A$ — прямой, ∡ $B =$ 30 ° , и значит, что ∡ $C =$ 60 ° .

Докажем, что $BC = 2 AC$.
Приложим к треугольнику $ABC$ равный ему треугольник $ABD$, как показано на рисунке.

Получим треугольник $BCD$, в котором ∡ $B =$ ∡ $D =$ 60 ° , поэтому $DC = BC$. Но $DC = 2 AC$. Следовательно, $BC = 2 AC$.

Читайте также: