Как в экселе найти сумму числовой последовательности

Обновлено: 07.07.2024

Сформируем последовательность 1, 2, 3, . Пусть в ячейке A2 введен первый элемент последовательности - значение 1 . В ячейку А3 , вводим формулу =А2+1 и копируем ее в ячейки ниже (см. файл примера ).

Так как в формуле мы сослались на ячейку выше с помощью относительной ссылки , то EXCEL при копировании вниз модифицирует вышеуказанную формулу в =А3+1 , затем в =А4+1 и т.д., тем самым формируя числовую последовательность 2, 3, 4, .

Если последовательность нужно сформировать в строке, то формулу нужно вводить в ячейку B2 и копировать ее нужно не вниз, а вправо.

Чтобы сформировать последовательность нечетных чисел вида 1, 3, 7, . необходимо изменить формулу в ячейке А3 на =А2+2 . Чтобы сформировать последовательность 100, 200, 300, . необходимо изменить формулу на =А2+100 , а в ячейку А2 ввести 100.

Другим вариантом создания последовательности 1, 2, 3, . является использование формулы =СТРОКА()-СТРОКА($A$1) (если первый элемент последовательности располагается в строке 2 ). Формула =СТРОКА(A2)-СТРОКА($A$1) позволяет создать вертикальную последовательность, в случае если ее первый элемент последовательности располагается в любой строке. Тот же результат дают формулы =ЧСТРОК($A$1:A1) , =СТРОКА(A1) и =СТРОКА(H1) . Формула =СТОЛБЕЦ(B1)-СТОЛБЕЦ($A$1) создает последовательность, размещенную горизонтально. Тот же результат дают формулы =ЧИСЛСТОЛБ($A$1:A1) , =СТОЛБЕЦ(A1) .

Чтобы сформировать последовательность I, II, III, IV , . начиная с ячейки А2 , введем в А2 формулу =РИМСКОЕ(СТРОКА()-СТРОКА($A$1))

Сформированная последовательность, строго говоря, не является числовой, т.к. функция РИМСКОЕ() возвращает текст. Таким образом, сложить, например, числа I+IV в прямую не получится.

Другим видом числовой последовательности в текстовом формате является, например, последовательность вида 00-01 , 00-02, . Чтобы начать нумерованный список с кода 00-01 , введите формулу =ТЕКСТ(СТРОКА(A1);"00-00") в первую ячейку диапазона и перетащите маркер заполнения в конец диапазона.

Выше были приведены примеры арифметических последовательностей. Некоторые другие виды последовательностей можно также сформировать формулами. Например, последовательность n2+1 ((n в степени 2) +1) создадим формулой =(СТРОКА()-СТРОКА($A$1))^2+1 начиная с ячейки А2 .

Создадим последовательность с повторами вида 1, 1, 1, 2, 2, 2. Это можно сделать формулой =ЦЕЛОЕ((ЧСТРОК(A$2:A2)-1)/3+1) . С помощью формулы =ЦЕЛОЕ((ЧСТРОК(A$2:A2)-1)/4+1)*2 получим последовательность 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4. , т.е. последовательность из четных чисел. Формула =ЦЕЛОЕ((ЧСТРОК(A$2:A2)-1)/4+1)*2-1 даст последовательность 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, .

Примечание . Для выделения повторов использовано Условное форматирование .

Формула =ОСТАТ(ЧСТРОК(A$2:A2)-1;4)+1 даст последовательность 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . Это пример последовательности с периодически повторяющимися элементами.

Используем клавишу CTRL

Пусть, как и в предыдущем примере, в ячейку A2 введено значение 1 . Выделим ячейку A2 . Удерживая клавишу CTRL , скопируем Маркером заполнения (при этом над курсором появится маленький плюсик), значение из A 2 в ячейки ниже. Получим последовательность чисел 1, 2, 3, 4 …

ВНИМАНИЕ! Если на листе часть строк скрыта с помощью фильтра , то этот подход и остальные, приведенные ниже, работать не будут. Чтобы разрешить нумерацию строк с использованием клавиши CTRL , выделите любую ячейку с заголовком фильтра и дважды нажмите CTRL + SHIFT + L (сбросьте фильтр).

Используем правую клавишу мыши

Пусть в ячейку A2 введено значение 1 . Выделим ячейку A2 . Удерживая правую клавишу мыши, скопируем Маркером заполнения , значение из A2 в ячейки ниже. После того, как отпустим правую клавишу мыши появится контекстное меню, в котором нужно выбрать пункт Заполнить . Получим последовательность чисел 1, 2, 3, 4 …

Используем начало последовательности

Если начало последовательности уже задано (т.е. задан первый элемент и шаг последовательности), то создать последовательность 1, 2, 3, . можно следующим образом:

Получаем результат как в предыдущем случае. Если в ячейке А3 введено значение 3 , т.е. задан шаг последовательности равный 2, то мы получим последовательность нечетных чисел.

Создадим последовательность вида 1, 2, 3, 1, 2, 3. для этого введем в первые три ячейки значения 1, 2, 3, затем маркером заполнения , удерживая клавишу CTRL , скопируем значения вниз.

Использование инструмента Прогрессия

Воспользуемся стандартным средством EXCEL для создания прогрессий, в то числе и арифметических.

вводим в ячейку А2 значение 1 ;
выделяем диапазон A2:А6 , в котором будут содержаться элементы последовательности;
вызываем инструмент Прогрессия ( Главная/ Редактирование/ Заполнить/ Прогрессия. ), в появившемся окне нажимаем ОК.

Использование в работе : Подходы для создания числовых последовательностей можно использовать для нумерации строк , сортировки списка с числами , разнесения значений по столбцам и строкам .

СОВЕТ: О текстовых последовательностях вида первый, второй, . 1), 2), 3), . можно прочитать в статье Текстовые последовательности . О последовательностях значений в формате дат (и времени) вида 01.01.09, 01.02.09, 01.03.09, . янв, апр, июл, . пн, вт, ср, . можно прочитать в статье Последовательности дат и времен . О массивах значений, содержащих последовательности конечной длины, используемых в формулах массива , читайте в статье Массив значений (или константа массива или массив констант) .

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

∑ - математический знак суммы;
a_i - общий аргумент;
_i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как _i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной _i ряд можно записать развернуто:

= а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S_n. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения _i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

х – значение переменной;
n – степень для первого аргумента;
m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S₂ = a (1 + x) 2 ; S₃ = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

S_n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

«Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
«Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
«Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
«Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов - БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S_n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

Не очень частый, но и не экзотический случай. На моих тренингах такой вопрос задавали не один и не два раза :) Суть в том, что мы имеем конечный набор каких-то чисел, из которых надо выбрать те, что дадут в сумме заданное значение.

В реальной жизни эта задача может выглядеть по-разному.

Например, мы выгрузили из интернет-банка все платежи, которые поступили на наш счет за последний месяц. Один из клиентов разбивает сумму своего платежа на несколько отдельных счетов и платит частями. Мы знаем общую сумму оплаты и количество счетов, но не знаем их сумм. Надо подобрать те суммы в истории платежей, которые дадут в общем заданное значение.
У нас есть несколько рулонов стали (линолеума, бумаги. ), из которых надо подобрать под заказ те, что дадут заданную длину.
Блэкджек или в народе "очко". Надо набрать карты суммарной стоимостью максимально близкой к 21 баллу, но не превысить этот порог.

В некоторых случаях может быть известна разрешенная погрешность допуска. Она может быть как нулевой (в случае подбора счетов), так и ненулевой (в случае подбора рулонов), или ограниченной снизу или сверху (в случае блэкджека).

Давайте рассмотрим несколько способов решения такой задачи в Excel.

Способ 1. Надстройка Поиск решения (Solver)

Эта надстройка входит в стандартный набор пакета Microsoft Office вместе с Excel и предназначена, в общем случае, для решения линейных и нелинейных задач оптимизации при наличии списка ограничений. Чтобы ее подключить, необходимо:

в Excel 2007 и новее зайти Файл - Параметры Excel - Надстройки - Перейти (File - Excel Options - Add-ins - Go)
в Excel 2003 и старше - открыть меню Сервис - Надстройки (Tools - Add-ins)

и установить соответствующий флажок. Тогда на вкладке или в меню Данные (Data) появится нужная нам команда.

Чтобы использовать надстройку Поиск решения для нашей задачи необходимо будет слегка модернизировать наш пример, добавив к списку подбираемых сумм несколько вспомогательных ячеек и формул:

Диапазон A1:A20 содержит наши числа, из которых мы будем выбирать нужные, чтобы "вписаться" в заданную сумму.
Диапазон В1:B20 будет своего рода набором переключателей, т.е. будет содержать нули или единички, показывая, отбираем мы данное число в выборку или нет.
В ячейке E2 стоит обычная автосумма всех единичек по столбцу B, подсчитывающая кол-во выбранных чисел.
В ячейке E3 с помощью функции СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT) считается сумма попарных произведений ячеек из столбцов А и B (то есть A1*B1+A2*B2+A3*B3+. ). Фактически, здесь подсчитывается сумма чисел из столбца А, отобранных единичками из столбца В.
В розовую ячейку E4 пользователь вводит желаемую сумму для подбора.
В ячейке E5 вычисляется абсолютное по модулю значение погрешности подбора с целью ее будущей минимизации.
Все желтых ячейках Е8:E17 хотелось бы получить список отобранных чисел, т.е. тех чисел из столбца А, напротив которых в столбце В есть единички. Для этого необходимо выделить сразу все (!) желтые ячейки и в них ввести вот такую формулу массива:

=ЕСЛИОШИБКА(ИНДЕКС($A$1:$A$20;НАИМЕНЬШИЙ(ЕСЛИ(B1:B20=1;СТРОКА(B1:B20);"");СТРОКА()-СТРОКА($E$8)+1));"")

=IFERROR(INDEX($A$1:$A$20;SMALL(IF(B1:B20=1;ROW(B1:B20);"");ROW()-ROW($E$8)+1));"")

После ввода формулы ее необходимо ввести не как обычную формулу, а как формулу массива, т.е. нажать не Enter, а Ctrl+Shift+Enter. Похожая формула используется в примере о ВПР, выдающей сразу все найденные значения (а не только первое).

Теперь перейдем на вкладку (или в меню) Данные и запустим инструмент Поиск решения (Data - Solver):

В открывшемся окне необходимо:

Задать как целевую функцию (Target Cell) - ячейку вычисления погрешности подбора E5. Чуть ниже выбрать опцию - Минимум, т.к. мы хотим подобрать числа под заданную сумму с минимальной (а лучше даже нулевой) погрешностью.
В качестве изменяемых ячеек переменных (Changing cells) задать диапазон столбца переключателей B1:B20.
С помощью кнопки Добавить (Add) создать дополнительное условие на то, что ячейки диапазона B1:B20 должны быть бинарными (т.е. содержать только 0 или 1):

После ввода всех параметров и ограничений запускаем процесс подбора кнопкой Найти решение (Solve). Процесс подбора занимает от нескольких секунд до нескольких минут (в тяжелых случаях) и заканчивается появлением следующего окна:

Теперь можно либо оставить найденное решение подбора (Сохранить найденное решение), либо откатиться к прежним значениям (Восстановить исходные значения).

Необходимо отметить, что для такого класса задач существует не одно, а целое множество решений, особенно, если не приравнивать жестко погрешность к нулю. Поэтому запуск Поиска решения с разными начальными данными (т.е. разными комбинациями 0 и 1 в столбце В) может приводить к разным наборам чисел в выборках в пределах заданных ограничений. Так что имеет смысл прогнать эту процедуру несколько раз, произвольно изменяя переключатели в столбце В.

Найденные комбинации можно сохранять виде сценариев (кнопка Сохранить сценарий), чтобы вернуться к нем позднее с помощью команды Данные - Анализ "что-если" - Диспетчер сценариев (Data - What-If Analysis - Scenario Manager):

И весьма удобно будет вывести все найденные решения, сохраненные в виде сценариев, в одной сравнительной таблице с помощью кнопки Отчет (Summary):

Способ 2. Макрос подбора

В этом способе всю работу делает макрос, который тупо перебирает случайные комбинации чисел, пока не наткнется на нужную сумму в пределах разрешенной погрешности. Добавлять столбец с нулями и единичками и формулы в этом случае не нужно.

Для использования макроса нажмите сочетание Alt+F11, в открывшемся окне редактора Visual Basic вставьте новый модуль через меню Insert - Module и скопируйте туда этот код:

Аналогично первому способу, запуская макрос несколько раз, можно получать разные наборы подходящих чисел.

Подсчитайте или суммируйте первые n значений в столбце с формулами

Суммируйте только первые n значений, вы можете сделать следующее:

Выберите пустую ячейку, в которую вы поместите результат, и введите эту формулу = СУММ (СМЕЩЕНИЕ (2,0,0 австралийских доллара; C2) ), Нажмите Enter ключ для расчета результата. Смотрите скриншот:

Подсчитайте первые n значений, исключая только текст, вы можете сделать следующее:

Выберите пустую ячейку и введите эту формулу = СЧЁТ (СМЕЩЕНИЕ (2,0,0 австралийских доллара; C2)) , Нажмите Enter ключ для получения результата. Смотрите скриншот:

Чаевые: в формулах выше. A2 - это первое значение в списке столбцов, которое вы хотите суммировать или подсчитать, C2 указывает на суммирование или подсчет первых n значений. Вы можете изменить их по своему усмотрению.

Подсчитайте или суммируйте первые n значений в строке с формулами

Если вы хотите подсчитать или суммировать первые n значений в строке, вы можете сделать, как показано ниже

Выберите пустую ячейку, в которую вы хотите поместить вычисленный результат, и введите эту формулу = СУММ (СМЕЩЕНИЕ (A20,0,0,1; A23)) , Нажмите Enter ключ, чтобы получить расчет. Смотрите скриншот:

Наконечник:

1. Чтобы подсчитать первые n числовых строк в строке, используйте эту формулу = СЧЁТ (СМЕЩЕНИЕ (A20,0,0,1; A23) ).

2. В формулах выше. A20 - это первое значение в строке, которое вы хотите вычислить, A23 указывает, что нужно подсчитать или суммировать первые n значений, вы можете изменить их по своему усмотрению.

Читайте также: