Компьютерная система счисления состоит из символов каких

Обновлено: 07.07.2024

Со школы люди хорошо знакомы с римскими и арабскими цифрами и привыкли к обозначению чисел с их помощью. Однако такие системы счета образовались не сразу, и мало кто знает, что они были не единственными в истории человечества. С появлением электроники, системы счисления и вовсе преобразовались; подстроились под нужны людей, раскрыв многогранность подходов к применению чисел.

Немного истории

Сравнительно позже люди поняли, что такой способ счета неудобен, когда речь касается большого количества предметов . Так люди пришли к необходимости обозначать одним знаком или их сочетанием сразу много вещей, то есть к четкому определению цифр, чисел и системе счисления.

Что такое система счисления?

Любая система счисления основана на обозначении узловых чисел . А остальные числа, которые можно составить из узловых, называют алгоритмическими . Их получают в ходе операций сложения либо вычитания.

Например, в римской системе узловыми считаются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. И, чтобы составить алгоритмическое число 121, необходимо вспомнить правила записи римских чисел. Так, чтобы получить 121, требуется составить следующее выражение:

100 + 10 + 10 + 1 = M + X + X +I = MXXI

Виды систем счисления

В Древние времена именно ее использовали люди при отображении количества предметов палочками, камушками и зарубками. Длина записи числа при этом была напрямую связана с его величиной.

Непозиционные. Непозиционные системы счисления основаны на том, что условный вес цифры не связан с ее положением в записи числа.

Примерами таких систем являются древнегреческая, древнеримская и древнеегипетская. В них значение разряда может состоять из нескольких цифр, которые, стоящие в разных местах, имеют разный вес для числа в целом.

Чем позиционная система отличается от непозиционной?

Если рассмотреть одно и то же число в двух этих системах, то можно увидеть, как меняется его вес в зависимости от места цифры в его записи.

Например, цифры 1 и 5 в десятичной системе счисления для римской будут иметь следующий вид: I и V. Но записав их в одном и том же порядке мы получим различные числа для разных видов счисления:

Соответственно, для непозиционной системы счисления положение цифры в записи не имеет значения, а учитываются только правила построения чисел.

Системы счисления в информатике

В информатике принято выделять четыре основных системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Связано это, в первую очередь, с их использованием в различных отраслях программирования.

Так, восьмеричная система требуется для перевода в двоичные числа на цифровых устройствах и в компьютерной документации. Позднее ей на смену пришла шестнадцатеричная, которую используют для записи символов Юникода. Однако восьмеричный код до сих пор применяется в системе Linux. Наиболее же распространенной системой является двоичная, которая используется в программировании практически всех ЭВМ.

Алфавит системы счисления — это перечень символов, используемый в конкретной системе счисления.

Основание системы счисления — это количество символов в её алфавите.

В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.

Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.

Представим десятичное число \(652,17\) в развёрнутом виде.

Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с \(0\). Цифра \(2\) находится в разряде единиц, ставим над ней \(0\), далее разряд десятков — над цифрой \(5\) ставим \(1\) и т. д.

Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:

652,17 10 = 6 × 10 2 + 5 × 10 1 + 2 × 10 0 + 1 × 10 − 1 + 7 × 10 − 2 .

Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток (\(1\)), нет тока (\(0\)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.

Запишем двоичное число \(111001,101\) в развёрнутом виде.

111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.

Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа \(452,214\).

452,214 8 = 4 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 2 × 8 − 1 + 1 × 8 − 2 + 4 × 8 − 3 .

Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.

Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

  • даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
  • даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
  • отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не

зависит от позиции (разряда).

Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)

одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,

то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450

(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может

отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

секунд и минут существует 60 разнообразных символов ( «00» - «59»), в разряде часов – 24 символа

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в

числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции

Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда

меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.

Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в

последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые

используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное

множество позиционных систем.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

Для начала рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.

Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Как и в десятичной системе, восьмеричное или шестнадцатеричное число можно записать в развёрнутом виде, т. е. представить как сумму произведений составляющих его цифр и соответствующих степеней основания системы счисления: восемь или шестнадцать.

Например, развёрнутая форма записи восьмеричного числа 167 будет такой: 1678 = 1 × 8 2 + 6 × 8 1 + 7 × 8 0

И ещё один пример с шестнадцатеричным числом: 5 FC 16 = 5 × 16 2 + F × 16 1 + C × 16 0

Вернёмся к развёрнутой записи восьмеричного числа. Если вычислить значение этого выражения, то будет найден десятичный эквивалент этого числа.

Вернёмся к развёрнутой записи шестнадцатеричного числа. Каждая буква в алфавите шестнадцатеричной системы счисления имеет числовой эквивалент.

Если в развёрнутой записи заменить буквы их числовыми эквивалентами и вычислить значение выражения, то получится значение числа в десятичной системе счисления.

5 FC 16 = 5 × 16 2 + F × 16 1 + C × 16 0 = 5 × 16 2 + 15 × 16 1 + 12 = 1280 + 240 + 12 = 153210.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Например, нужно десятичное число 571 перевести в восьмеричную систему счисления. Разделим 571 на 8.Неполное частное 71 и остаток 3. Продолжим деление. 71 делим на 8. Неполное частное 8, остаток 7. При делении 8 на 8 получается частное 1, а остаток равен 0. Разделим 1 на 8. Неполное частное 0, а остаток 1.


Мы получили неполное частное 0, следовательно можем записать результат. Для этого записываем остатки от последнего к первому.


Аналогично осуществляется перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Выполняется последовательное деление на 16.

Переведём десятичное число 467 в шестнадцатеричную систему счисления.

Разделим 461 на 16. Неполное частное 28 и остаток 13. Продолжим деление. 28 делим на 16. Неполное частное 1, остаток 12. Разделим 1 на 8. Неполное частное 0, а остаток 1. Мы получили неполное частное 0, следовательно, можем записать результат, выписывая остатки от последнего к первому.


Если остаток –двузначное число, то его надо заменить соответствующей буквой.

Читайте также: