Компьютерное моделирование разверток правильных многогранников

Обновлено: 01.07.2024

Моделирование многогранников Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на плоскость так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура на плоскости называется разверткой многогранника. Например, на рисунке изображены развертки куба и треугольной пирамиды.

Для изготовления модели многогранника из плотной бумаги, картона или другого материала достаточно изготовить его развертку и затем склеить соответствующие ребра. Для удобства склейки развертку многогранника изготавливают с клапанами, по которым и производится склейка. Развертка

Другим способом моделирования многогранников является изготовление моделей многогранников с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек - основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных многогранников. Конструктор

Упражнение 1 Какие из фигур, изображенных на рисунке не являются развёртками правильного тетраэдра? Ответ: Фигура 3, так как у неё имеется точка, в которой сходится четыре треугольника, а у тетраэдра имеются только вершины, в которых сходится по три ребра.

Упражнение 2 У кажите развёртки куба. Ответ: 9, 10, 11.

Упражнение 3 У кажите развёртки куба. Ответ: 12, 13, 14, 19.

Упражнение 4 У кажите развёртки куба. Ответ: 28, 29, 30 , 32 .

Упражнение 5 У кажите фигуры, которые являются развёртками призм. Ответ: а), б), в), г), д).

Упражнение 6 Ук ажите фигуры, которые являются развёртками пирамид. Ответ: а), в), г), д).

Упражнение 7 Развёрткой какого многогранника может служить пентаграмма ? Ответ: Правильной пятиугольной пирамиды.

Упражнение 8 Является ли фигура, изображенная на рисунке, развёрткой некоторого параллелепипеда? Ответ: Нет.

Упражнение 9 На рисунке укажите развёртки октаэдра . Ответ: Фигуры 6, 9 и 10.

Упражнение 10 Развертка какого многогранника изображена на рисунке? Ответ: Икосаэдра .

Упражнение 1 1 Развертка какого многогранника изображена на рисунке? Ответ: Додекаэдра .

Упражнение 12 Может ли развёрткой многогранника быть квадрат? Ответ: Да.

Упражнение 13 Ребро правильного тетраэдра равняется 1 см. Найдите площадь его развёртки. Ответ: см 2 .

Упражнение 14 Ребро правильного гексаэдра равняется 2 дм. Найдите площадь его развёртки. Ответ: 24 дм 2 .

Упражнение 15 Ребро правильного: а) октаэдра; б) икосаэдра равно 4 мм. Найдите площадь его развёртки. Ответ: а) мм 2 ; б) мм 2 .

NetCreater v1.07 - программа для создания разверток многогранников из правильных многоугольников

Эта программа предназначена для создания разверток правильных, полуправильных многогранников и фигур Джонсона, то есть для создания всех фигур, состоящих из правильных многоугольников.

Развертка - изображение, которое можно распечатать на бумаге, вырезать, склеить и получить трехмерный многогранник. Развертки создаются в программе путем накладывания одного правильного многоугольника на сторону другого. А так же путем создания особых маленьких фигур, предназначенных для склейки.

Программа позволяет рендерить развертки фигур в настолько большом качестве, насколько вам будет нужно.

Программа находится в папке bin .

Стрелки - передвижение по интерфейсу.
BackSpace - удалить текущую фигуру, и всех её потомков.
a - добавить ещё одну фигуру на сторону текущей фигуры.
r - отрендерить текущую фигуру в более хорошем качестве в формате .bit .
s - сохранить внесенные изменения.
+ / - - увеличить/уменьшить значение, на котором вы находитесь на 1.
p / i - увеличить/уменьшить значение текущего размера стороны на 5.
e / t - увеличить/умньшить значение текущего размера стороны при рендеринге на 5.
d / g - увеличить/уменьшить значение текущего размера шрифта на 1.

Как создать место склейки?
- Нужно, чтобы в первом столбце текущей фигуры было "-1".(когда будет 3 нажмите "-" ещё раз, чтобы получить "-1")
- Красный - цвет текущей фигуры.
- Желтый - цвет родителя текущей фигуры (цвет фигуры на стороне которой построили).
- Зеленый - цвет потомков в первом поколении от текущей фигуры (цвет фигур, которые построили на текущей фигуре).
- Первый - количество сторон у текущей фигуры.
- Второй, на какой стороне, считая от основания, против часовой стрелки, расположена текущая фигура на родителе(основание - это та сторона, на которой построена фигура).
- Третий - номер фигуры по счету в массиве.
- Они обозначают номер этой фигуры по счету в массиве.
- Это наипростейший графический формат, придуманный моим другом Ильёй Шегаем, который можно конвертировать в формат .bmp при помощи программы bin/BMPCreater.exe , дополнительная информация написана в ней.
- Используется именно он, так как мне неизвестна кодировка ни одного графического формата, и я самостоятельно не могу создавать обычные изображения, а друг уже написал программу.
- Программа не работает с файлами, у которых название или директория состоят из русских букв, так что если у вас вылетает ошибка при конвертации, то попробуйте тоже самое сделать в корне жесткого диска.
- Это размер стороны развертки в режиме реального времени, размер стороны развертки во время рендеринга и размер шрифта соответственно.
Программа была создана в первую очередь, потому что в интернете не нашлось альтернатив, а так же для создания изобретенных мною фигур.

Увидев существование snub antiprisms и ту таблицу, мне сразу стало интересно, возможно ли продолжить эту последовательность, поставив туда 5-угольник, 6-угольник итд. На самом деле можно, большое спасибо магнитному конструктору, который подарил хороший человек по имени Никита Чубко.

Потом по этой фигуре я составил следующую развертку:

Которая выглядит вот так:

Эту картинку я даже законтрибьютил в википедию :D, но Tomruen её украл, написав "Own work" 😡 .

Примеры других фигур:

В папке my_figures/Snub antiprism находятся развертки всех антипризм от 2 до 7-гранника.

Я не уверен насчет того, не являются ли эти фигуры near-missed. Думаю всё-же нет, но они являются невыпуклыми, поэтому не попали в список фигур Джонсона.

Snub snub dogg antiprism

Оказалось, что всё это дело можно строить вверх! Вот пример двухслойной snub антипризмы на основе шестиугольника:

И вообще это может достигать внушительных масштабов!

Пример развертки для двухслойной фигуры на основе пятиугольника:

В папке my_figures/Two-storied snub antiprism находятся развертки всех двухслойных антипризм от 2 до 7-гранника.

Вдохновленный курносым кубом, я захотел заменить вверху квадраты на пятиугольники, и вот что получилось:

С следующей разверткой:

На самом деле эта фигура является near-miss, что означает, что она может собраться из бумаги, ввиду того, что бумага гнется, но в математическом смысле она не может быть фигурой, потому что чуть-чуть не хватает углов и прочего.

В папке my_figures/Two-storied snub antiprism находятся развертки всехэтих фигур от 2 до 7-гранника.

Я не стал компилировать картинку к каждой фигуре, потому что это можете сделать вы, скачав программу и нажав кнопку r .

Вообще с помощью моей программы можно составить развертки всех многогранников, основанных на правильных многоугольниках, но мне это уже не так интересно. Может быть это захотите сделать вы?

Данная программа выложена чисто по приколу, дальнейшая разработка не планируется, никому ничем не обязана.

Окончательная версия программы: 22 июня 2015. (мне тогда было 16 лет, лол)

Лицензия: WTFPL.

Автор: Шепрут Илья.

About

Программа для создания развёрток многогранников, основаных на правильных многоугольниках

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Чертеж развертки переносится на бумагу, дополняется небольшими выступами для склеивания. Вырезаем фигуру по контуру, сгибаем основным линиям. На выступы наносим клей и аккуратно склеиваем модель.

Рис. 49. Развертка тетраэдра

Рис. 50. Развертка октаэдра

Рис. 51. Развертка гексаэдра

Рис.52. Развертка икосаэдра

Рис. 53. Развертка додекаэдра

2. Каркасные модели многогранников

- Конструктор из гороха нут , размоченного в воде в течение 5-6 часов, и зубочисток – это отличный способ построить правильные многогранники.

Начнем наше конструирование с самого маленького многогранника – тетраэдра , всего он имеет 4 треугольные грани, которые являются равносторонними треугольниками и напоминает нам пирамиду (рис. 54). Что нам необходимо для сборки: 4 горошины – вершины и 6 ребер – зубочисток. В каждую вершину-горошину должно прийти 3 ребра, соединяем горошины зубочистками [41].

Рис. 54. Модель тетраэдра

Еще одна не очень сложная для сборки из конструктора фигура — это октаэдр (рис. 55) Если рассмотреть его половинку, то это пирамида с 4 гранями, которая похожа на Египетские пирамиды. Считаем сколько у октаэдра должно быть вершин и ребер: всего 6 вершин и 12 ребер. В каждую горошину-вершину должно подойти 4 ребра – зубочистки.

Рис. 55 Модель тетраэдра

Теперь приступим к сборке всеми любимого гексаэдра (рис. 56). Этот многогранник имеет 6 квадратных граней. Подсоединяем к вершинам нужное количество ребер, и наш куб готов.

Рис. 56. Модель куба

Сложный многогранник – додекаэдр (рис. 57) , у которого 12 правильных пятиугольных граней. В каждую из 20 вершин-горошин нужно подсоединить по 3 ребра – зубочистки.

Рис. 57. Модель додекаэдра

А самый большой многогранник из нашей компании – икосаэдр (рис. 58) , он состоит из 20 равносторонних треугольников. В идеале эта фигура похожа на футбольный мяч. В каждую из 12 вершин икосаэдра должно войти по 5 ребер. Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.

Рис. 58. Модель додекаэдра

- Каркасные модели многогранников можно изготовить из трубочек .

Трубочки соединяются между собой леской[43;45].

В качестве примера рассмотрим инструкцию по сборке тетраэдра.

Таблица 7.Сборка тетраэдра из трубочек

3. Многогранник с помощью конструктора

Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек – основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники (рис. 59-61) в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунках.

4. Многогранники из ленты

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 62 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 63). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата .

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков – иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Построение октаэдра (рис. 64) и икосаэдра (рис.65) осуществляется на основе узора из правильных треугольников. Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра – из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные – совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр..

Лента имеет лицо и оборот, которые попеременно или одновременно участвуют в построении граней тела; каждый перегиб позволяет вести формообразование в двух направлениях. Отсюда нетрудно представить целое семейство игр-головоломок на основе ленты. Например, сложить рисунок, узор, орнамент, фрагменты которого разбросаны по ленте в заданном порядке.

5. Создание моделей правильных многогранников методами оригами.

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - "оригамика". Остановимся более подробно на создании моделей правильных многогранников методами оригами. Существует несколько методов оригами для создания одного и того же многогранника:

- Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Шеремет Г.Г. [10].

Этот модуль представляет собой правильный шестиугольник, который в результате перекладываний превращается либо в три равносторонних треугольника с двумя «вставками» и одним «карманом», либо в два равносторонних треугольника с двумя «карманами» и одной «вставкой».

Рис.67.

Схема сборки модуля Шеремета :

Построение начинаем с правильного шестиугольника

Наметить три линии сгиба, совмещающие стороны шестиугольника через одну с соответствующей диагональю

Наметить средние линии получившегося правильного треугольника

Одновременно согнуть по всем указанным линиям

Получилась фигура, составленная из трех равносторонних треугольников. Средний треугольник – основная часть. Одна сторона этого треугольника имеет удобный карман в форме равного ему треугольника. Два оставшихся треугольника играют роль вставок .

Так как у треугольника нечетное число сторон, а при построениях желательно, чтобы число карманов и вставок совпадало, то второй вариант модуля получается из этого выворачиванием вовнутрь одного из треугольников-вставок

При желании, преобразуя этот модуль дальше, можно получить треугольный модуль с тремя карманами и без вставок.

- Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги

Данные модели наименее трудоемкие и одни из самых простых в сборк.

Схема их сборки:

Итак,можно изготовить многогранник любого размера без всякой выкройки. Нужно только выбрать размер листа бумаги. /В этом мастер-классе показано, как строится модуль "Сонобе" и на его основе построен гексаэдр/

Для того, чтобы построить такой гексаэдр, необходимо сделать 6 одинаковых модулей. Модель интереснее будет, если просчитать цвета модулей.

Построение модуля "Сонобе". Согнуть квадратный лист бумаги пополам и четко выделить его осевую линию.

Развернуть согнутый лист и завернуть два противоположных конца к выделенной линии. Никаких отклонений не должно быть.

Один конец полученного прямоугольника согнуть к противоположной стороне. Выделить линию сгиба.

Аналогично поступить с противоположным концом. Получим параллелограмм. В этом параллелограмме необходимо получить еще две линии сгиба.

Вот такой модуль должен получиться. Параллелограмм, имеющий два кармана для соединения с другими параллелограммами. По сути здесь 4 кармана, но используются только два, те которые имеют продолжения.

Острый конец вставляем в карман.

Аналогично проделываем со всех сторон. Боковые стенки сделали. Остается тоже самое проделать снизу и сверху.

Получили гексаэдр без клея

Многосранники являются пространственными фигурами. Для построения их на плоскости требуется хорошо развитое пространственное мышление.Занятия по трехмерному моделированию очень хорошо развивают пространственное мышление и дают возможность получить отличные графические документы.

Вложение Размер

4.rabota_uchastnika.doc 620 КБ

Предварительный просмотр:

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ТВОРЧЕСКОГО И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ И МОЛОДЕЖИ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

Всероссийский конкурс научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

Направление: Математика, информационные технологии

Тема: Построение правильных многогранников в программе КОМПАС 3 D

Учреждение: МОУ Стародрожжановская средняя общеобразовательная школа № 1 Дрожжановского муниципального района Республики Татарстан

Автор работы: Тазетдинова Гузель Шамилевна, ученица 10 класса

Научный руководитель: Тазетдинов Шамиль Хасиятуллович, учитель технологии, почетный работник общего образования РФ

Данная проектная работа направлена на улучшение способов построения правильных многогранников, используя современные информационные технологии. Традиционные способы не могут обеспечить качество построения правильных многогранников, т. к. они требуют множества расчетов и точности выполнения графических работ. К тому же любое построение многогранника дает только один его вид. А применяя программу трехмерного твердотельного моделирования КОМПАС 3D, мы получим трехмерную модель многогранника. Во-первых, для восприятия трехмерная модель лучше любого чертежа, во-вторых, с помощью трехмерной модели можно создать множество чертежей за кратчайшее время.

Идея применения программы КОМПАС 3D для изучения стереометрических объектов сегодня является очень актуальной. Низкая успеваемость российских выпускников по математике объясняется в частности слабым развитием их пространственного мышления. Чтобы правильно воспринять форму многогранника, необходимо видеть его под разными углами зрения. Эту возможность может дать либо реальная, либо виртуальная модель объекта. Высокая точность, возможность увеличить, создать графический документ и т.д. – все это преимущества виртуальной модели над реальной. Поэтому я решила создать в программе КОМПАС 3D трехмерные модели правильных многогранников.

Многосранники являются пространственными фигурами. Для построения их на плоскости требуется хорошо развитое пространственное мышление. Занятия по трехмерному моделированию очень хорошо развивают пространственное мышление и дают возможность получить отличные графические документы.

Цели и задачи данного проекта:
1. Дать понятие правильных многогранников (на основе определения многогранников).
2. Познакомить с историческими фактами, связанными с теорией правильных многогранников.
3. Показать, как можно с помощью программы КОМПАС 3D построить правильные многогранники.
ПОНЯТИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Существуют следующие виды правильных многогранников:

1. Если грани правильного многогранника – правильные треугольники:
1. правильный тетраэдр – четыре грани;
2. правильный октаэдр – восемь граней;
3. правильный икосаэдр – двадцать граней;
1. Если грани правильного многогранника правильные четырехугольники:
1. правильный гексаэдр (куб) – шесть граней;
1. Если грани правильного многогранника правильные пятиугольники:
1. правильный додекаэдр – двенадцать граней;
Правильных многогранников, грани которых многоугольники с числом сторон больших пяти, не существует.

ИСТОРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита в Шотландии как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философа Платона, в честь которого и получили название «Платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате «Тимей» (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца. Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики – законов Кеплера, – изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Читайте также: