Курант что такое математика djvu

Обновлено: 03.07.2024

Когда я несколько лет назад пришла работать в издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний», должна была предложить к изданию какие-нибудь переводные книги. Я тогда выбрала две — «Сюрреальные числа» Дональда Кнута и «Изменчивая природа математического доказательства» Стивена Кранца, и обе перевела.

Вторую книгу на сайте Всенаука выложили в свободный доступ — и не зря.

Во-первых, автор — Стивен Кранц

Он не великий математик, просто выдающийся, и мало известен в нашей стране. У него более 200 статей и 100 монографий. А еще он редактор нескольких математических журналов, в том числе Bulletin of the American Mathematical Society и The American Mathematical Monthly . Это дает не только глубокий, но ещё и широкий взгляд на математику. В наши времена первостатейные математики могут углубляться только в небольшом числе направлений, быть универсалом уже нереально. А Кранц универсален и глубок одновременно, насколько это возможно.

Во-вторых, тема книги — доказательство

Когда мы думаем о том, что такое математика, мы пытаемся определить ее объект — числа, геометрические формы, изменения и процессы, закономерности, …. И видим, что этот объект постоянно ускользает. Не получается даже разграничить то, чем математика занимается, и то, чем она не занимается.

Есть книги, которые специально призваны ответить на вопрос «Что такое математика», написанные математиками высокого класса.

Но они сосредоточиваются на отдельных компонентах. Р.Курант и Г.Роббинс дают обзор известных на то время областей математики. Это хорошо, но со времени написания книги этих областей сильно прибавилось. В.И.Арнольд обсуждает в основном единственный вопрос:

Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики.

А Стивен Кранц постарался показать, что математику нельзя определить через предмет её изучения или через источник её новых идей и понятий. Если вынуть из математики алгебру, она все ещё останется математикой (изуродованной, неполноценной). Если вынуть из математики идеи, которые пришли в неё из физики, она всё еще останется математикой (бедной и бледной). Но если вынуть из математики доказательство, нам останется только описательный язык. Мы сможем рассматривать картинки и последовательности, распечатывать из компьютера данные и пытаться делать выводы из них, но все это — не математика.

Математика — это (i ) придумывание новых идей и (ii ) проверка этих идей с помощью доказательства.

Кранц показывает математику многоликой,

и мы видим, как лики её менялись со временем.

В нынешнем мире математика — это доказательства и алгоритмы (доказанные и эвристические), теории, методики, подходы, гипотезы, модели и много других обличий, которые возникают ежедневно.

Из книги мы узнаем о том, как менялось со временем понятие доказательства, что мы подразумеваем под ним сейчас, и что может произойти с доказательством в будущем. А еще мы узнаем о том, как повлияло на математику появление компьютера, в чем роль математических журналов, коммуникаций и прочих социальных институтов, о современной математической жизни, и о том, что сами математики думают о своей работе.

Книга, которую вы держите в руках, - одна из лучших научно-популярных книг по математике. Ее замысел выражен в предисловии: «Нет ничего невозможного в том, чтобы, начиная с первооснов, добраться до таких возвышенных точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы современной математики». Эта книга написана одним из ведущих математиков XX века Рихардом Курантом (учеником Д.Гильберта, Иностранным членом АН СССР) в соавторстве с американским математиком Гербертом Роббинсом.

Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. Предыдущее издание вышло в 2007 г.

Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Натуральные числа
Введение
Операции над целыми числами
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
Дополнение к главе I. Теория чисел
Математическая числовая система
Введение
Рациональные числа
Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
Замечания из области аналитической геометрии
Математический анализ бесконечного
Комплексные числа
Алгебраические и трансцендентные числа
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Введение
Доказательства невозможности и алгебра
Основные геометрические построения
Числа, допускающие построение, и числовые поля
Неразрешимость трех классических проблем
Различные методы выполнения построений
Геометрические преобразования. Инверсия
Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
Еще об инверсии и ее применениях
Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
Введение
Основные понятия
Двойное отношение
Параллельность и бесконечность
Применения
Аналитическое представление
Задачи на построение с помощью одной линейки
Конические сечения и квадрики
Аксиоматика и нееклидова геометрия
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
Топология
Введение
Формула Эйлера для многогранников
Топологические свойства фигур
Другие примеры топологических теорем
Топологическая классификация поверхностей
Приложение
Функции и пределы
Введение
Независимое переменное и функция
Пределы
Пределы при непрерывном приближении
Точное определение непрерывности
Две основные теоремы о непрерывных функциях
Некоторые применения теоремы Больцано
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
Максимумы и минимумы
Введение
Задачи из области элементарной геометрии
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
Стационарные точки и дифференциальное исчисление
Треугольник Шварца
Проблема Штейнера
Экстремумы и неравенства
Существование экстремума. Принцип Дирихле
Изопериметрическая проблема
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
Вариационное исчисление
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
Математический анализ
Введение
Интеграл
Производная
Техника дифференцирования
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
Основная теорема анализа
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
Дифференциальные уравнения
Дополнение к главе VIII
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
Добавление 1. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель

Книга, написанная крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом, переиздавалась в нашей стране и обрела в России популярность. Её загадочный подзаголовок гласит: «Элементарный очерк идей и методов».

Издание переведено с английского и вышло в свет под редакцией А. Н. Колмогорова в издательстве МЦНМО (Москва, 2015 г.)

Издатели от лица авторов сообщают, что «книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки».

Если на этот счет волнуются известные ученые, значит, разрыв действительно есть. Получается, школьники недополучают самые актуальные знания и на несколько шагов отстают от новых математических реалий.

Продолжаем читать аннотацию к креативному учебнику: «Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки.

Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

Предыдущее издание вышло в 2013 г.»

Вы можете скачать книгу на нашем сайте. Чтобы составить себе впечатление о ее содержании, ознакомьтесь с оглавлением.

Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Оглавление

Предисловие к изданию на русском языке 10

К русскому читателю 14

Как пользоваться книгой 19

Ч т о т а к о е м а т е м а т и к а? 20

Гл а в а I. Натуральные числа 25

1. Операции над целыми числами 26

Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.

2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 34

Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов.

*5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.

Д о п о л н е н и е к г л а в е I. Теория чисел 45

1. Простые числа 45

Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.

2. Сравнения 57

Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.

3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 65
4. Алгоритм Евклида 67

Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики.
Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.

Гл а в а II. Математическая числовая система 77

1. Рациональные числа 77

Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.

2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 83

Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Преде лы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа

и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррацио нальных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные мето ды определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.

3. Замечания из области аналитической геометрии 99

Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.

4. Математический анализ бесконечного 104

Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Кос венный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.

5. Комплексные числа 116

Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы.

*4. Основная теорема алгебры.

6. Алгебраические и трансцендентные числа 130

Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.

Д о п о л н е н и е к г л а в е II. Алгебра множеств 134

Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.

Гл а в а III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей 143

Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 146

1. Основные геометрические построения 146

Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.

2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 153

Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.

3. Неразрешимость трех классических проблем 161

Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Три секция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.

Часть 2. Различные методы выполнения построений 167

4. Геометрические преобразования. Инверсия 167

Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое по строение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.

5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони

с помощью одного циркуля 173

*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. По строения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.

*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.

6. Еще об инверсии и ее применениях 185

Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.

Гл а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 191

1. Введение 191

Классификация геометрических свойств. Инвариантность при пре образованиях. 2. Проективные преобразования.

2. Основные понятия 194

Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.

3. Двойное отношение 198

Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.

4. Параллельность и бесконечность 206

«Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.

5. Применения 212

Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля . 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.

6. Аналитическое представление 217

Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.

7. Задачи на построение с помощью одной линейки 223
8. Конические сечения и квадрики 224

Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Про ективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как

«линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.

9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 240

Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.

П р и л о ж е н и е. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 253

Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или ком бинаторный, подход.

Гл а в а V. Топология 261

1. Формула Эйлера для многогранников 262
2. Топологические свойства фигур 267

Топологические свойства. 2. Свойства связности.

3. Другие примеры топологических теорем 270

Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.

4. Топологическая классификация поверхностей 282

Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.

П р и л о ж е н и е. 290

*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая много угольников. *3. Основная теорема алгебры.

Гл а в а VI. Функции и пределы 299

1. Независимое переменное и функция 300

Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность.

*6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.

2. Пределы 317

Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби.

3. Пределы при непрерывном приближении 330

Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin x . 4. Пределы при x → ∞.

4. Точное определение непрерывности 337
5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 339

Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Тео рема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о по следовательностях. Компактные множества.

6. Некоторые применения теоремы Больцано 344

Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 349

1. Примеры пределов 349

Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел √n p. 4. Разрывные

функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.

Гл а в а VII. Максимумы и минимумы 357

1. Задачи из области элементарной геометрии 358

Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах.
Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.

*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.

2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 366

Принцип. 2. Примеры.

3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 369

Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.

4. Треугольник Шварца 375

Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.

5. Проблема Штейнера 382

Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей.
Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обоб щение: проблема уличной сети.

6. Экстремумы и неравенства 389

Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положи тельных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.

7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 394

Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.

8. Изопериметрическая проблема 401

*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между про блемой Штейнера и изопериметрической проблемой 404

10. Вариационное исчисление 407

Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
Геодезические линии на сфере. Минимаксы.

11. Экспериментальные решения задач на минимум.

Опыты с мыльными пленками 413

Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, от носящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.

Гл а в а VIII. Математический анализ 425

1. Интеграл 426

Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».

2. Производная 442

Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры.
Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной.
Максимумы и минимумы.

3. Техника дифференцирования 455
4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» 461
5. Основная теорема анализа 463

Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для p.

6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 471

Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.

7. Дифференциальные уравнения 482

Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VIII. 491

1. Вопросы принципиального порядка 491

Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.

2. Порядки возрастания 498

Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).

3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 501

Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.

*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода 511

Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения 517

Арифметика и алгебра 517

Аналитическая геометрия 519

Геометрические построения 525

Проективная и неевклидова геометрия 525

Функции, пределы, непрерывность 530

Максимумы и минимумы 531

Дифференциальное и интегральное исчисления 533

Техника интегрирования 535

Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке 541

М.: МЦНМО, 2005. — 565 с. (Элементарный очерк идей и методов). — 4-e изд., испр. и доп.

Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?

Натуральные числа .
Операции над целыми числами.
Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция.
Дополнение к главе Теория чисел.

Математическая числовая система .
Рациональные числа.
Несоизмеримые отрезки Иррациональные числа, пределы.
Замечания из области аналитической геометрии.
Комплексные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Дополнение к главе Алгебра множеств.

Геометрические построения. Алгебра числовых полей .
Доказательства невозможности и алгебра .
Основные геометрические построения.
Числа, допускающие построение, и числовые поля.
Неразрешимость трех классических проблем.
Различные методы выполнения построений .
Геометрические преобразования Инверсия.
Построения с помощью других инструментов Построения Маскерони с помощью одного циркуля.
Еще об инверсии и ее применениях.

Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии .
Основные понятия.
Двойное отношение.
Параллельность и бесконечность.
Применения.
Аналитическое представление.
Задачи на построение с помощью одной линейки.
Конические сечения и квадрики.
Аксиоматика и нееклидова геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений.

Топология .
Формула Эйлера для многогранников.
Топологические свойства фигур.
Другие примеры топологических теорем.
Топологическая классификация поверхностей.

Функции и пределы .
Независимое переменное и функция.
Пределы.
Пределы при непрерывном приближении.
Точное определение непрерывности.
Две основные теоремы о непрерывных функциях.
Некоторые применения теоремы Больцано.
Дополнение к главе Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность.

Максимумы и минимумы.
Задачи из области элементарной геометрии.
Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи.
Стационарные точки и дифференциальное исчисление.
Треугольник Шварца.
Проблема Штейнера.
Экстремумы и неравенства.
Существование экстремума. Принцип Дирихле.
Изопериметрическая проблема.
Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой.
Вариационное исчисление.
Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками.

Математический анализ .
Интеграл.
Производная.
Техника дифференцирования.
Обозначения Лейбница и «бесконечно малые».
Основная теорема анализа.
Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм.
Дифференциальные уравнения.

Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения.
Добавление. Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление. О создании книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель.

Читайте также: