Матрица которая получена из исходной путем замены строк на столбцы
Обновлено: 06.07.2024
Выведем формулы для вычисления детерминанта произвольной матрицы второго и третьего порядков по ее исходным элементам, а затем с помощью полученных формул обсудим общие свойства определителей.
Таким образом при
и формула (1) сохраняется и в этом случае.
3) Если , , то (матрица содержит нулевой столбец). С другой стороны, , .
По формуле ( I 0) получили бы тот же результат: = .
Итак, формула ( I 0) верна для определителя любой матрицы второго порядка.
Без ограничения общности можем считать (в противном случае поступим как в пункте 2) или 3) для определителя матрицы второго порядка).
1) Сначала рассмотрим случай .
Таким образом, при ,
2) Пусть теперь , но .
Получена та же формула (2), что и в случае 1).
3) Пусть теперь и . В этом случае
Легко проверяется справедливость формулы (2) и в этом случае.
Итак, для определителя матрицы третьего порядка (или короче, для определителя третьего порядка) справедлива формула
Из формул (1) и (2) легко следует равенство
правая часть которого представляет собой алгебраическую сумму произведений элементов первой строки на некоторые определители матриц второго порядка, состоящих из элементов остальных строк (второй и третьей) матрицы с сохранением их расположения.
Каждая такая матрица может быть получена из матрицы вычеркиванием первой строки и одного из столбцов (первого, второго, третьего), а их определители называются минорами элементов первой строки матрицы или минорами элементов первой строки ее определителя.
Если, как обычно, элементы матрицы обозначить , а соответствующие им миноры - , то полученное равенство примет вид:
где число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы .
Принято говорить, что формула (12) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Точно так же читатель может получить аналогичные формулы разложения определителя третьего порядка по элементам второй и третьей строки и по элементам любого столбца. Например, в случае второго столбца формула разложения имеет вид:
Для произвольной ( - й ) строки и произвольного ( -ого) столбца соответствующие разложения имеют вид:
Пусть теперь - произвольная квадратная матрица порядка : , здесь - номер строки, - номер столбца.
Матрица , у которой произвольный ( - й ) столбец совпадает с соответствующей ( - й ) строкой матрицы , называется транспонированной к матрице . Следовательно, если , , то .
Заметим, что понятие транспонированной матрицы может быть введено для произвольной матрицы (не обязательно квадратной).
Так, например, для матрицы
транспонированная матрица имеет вид
Как и выше, определитель квадратной матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием - ой строки и -го столбца, назовем минором элемента , а величину алгебраическим дополнением элемента матрицы .
Для краткости вместо выражения "определитель матрицы" часто говорят просто "определитель" , используя при этом следующие обозначения:
Определитель обладает следующими свойствами:
1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. при замене его строк соответствующими столбцами и наоборот: .
2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак.
3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
4. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на некоторое число , то сам определитель умножается на .
5'. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
7. Если все элементы - й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых
то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме - й , такие же, как и в исходном определителе, а -я строка в одном из слагаемых определителей состоит из элементов , в другом – из элементов .
Аналогичное свойство имеет место и для столбцов определителя.
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.
9. Определитель равен сумме произведений элементов произвольной его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
10. Сумма попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой ("чужой") строки (столбца) равна нулю:
Перечисленные свойства легко могут быть проверены читателем для определителей второго и третьего порядков с использованием формул (1) и (2), что мы частично уже сделали.
Обратим внимание на свойство 8. Это единственное из элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы было положено нами в основу понятия определителя, и только оно сохраняет его величину: согласно свойству 2 при перестановке любых двух строк (столбцов) определитель, вообще говоря, меняет свое значение; то же самое происходит (согласно свойству 5) при умножении строки (столбца) определителя на некоторое число; выбрасывание же нулевой строки (столбца) нарушает размер матрицы – она перестает быть квадратной.
Отметим также, что матрицы и имеют одинаковые ранги, так как они эквивалентны ( получается из с помощью элементарных преобразований, хотя и одного вида), и если матрица вырожденная, т.е. , то матрица содержит нулевую строку и поэтому .
Верно и противоположное утверждение: если матрица невырожденная, т.е. , то на главной диагонали матрицы нет нулевых элементов ( ), и поэтому . Таким образом, матрица является вырожденной тогда и только тогда , если ее определитель равен нулю ( ).
Интересно отметить, что и при всех остальных элементарных преобразованиях строк (столбцов) невырожденной матрицы (очевидно, кроме выбрасывания нулевой строки (столбца)) ее определитель, хотя и изменяет свои значения, но не обращается в ноль (что следует из свойств 2 и 5 определителя).
Заметим, что формулы (5), обобщающие выведенные нами формулы (4), могут быть приняты за индуктивные определения детерминанта произвольного порядка через детерминанты порядка (на единицу ниже). Так, для вычисления определителя четвертого порядка по одной из формул (5) потребуется вычислить четыре определителя третьего порядка. Если при этом воспользоваться формулой (2), то это приведет к довольно утомительным вычислениям. А что будет, если потребуется вычислить определитель более высокого порядка, например, седьмого?
Конечно, если некоторые элементы строки (столбца), к которой мы применяем свойство 9, окажутся нулями, то нет необходимости вычислять соответствующие им миноры.
Поэтому практичнее, не отказываясь от применения свойства 9 (формулы (5)), использовать свойство 8 для создания в какой-либо строке (столбце) возможно большего числа нулей.
Пример 2. Вычислите разложением по элементам третьей строки определитель четвертого порядка
Вычисление определителей третьего порядка производилось по формуле (2).
Пример 3. Вычислите, используя свойство 8, определитель предыдущего примера.
Решение матриц – это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица – таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n.
Общий вид матрицы:
Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:
- Главная диагональ, состоящая из элементов а11,а22…..аmn.
- Побочная диагональ, состоящая из элементов а1n,а2n-1…..аm1.
Основные виды матриц:
- Квадратная – такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n).
- Нулевая – где все элементы матрицы = 0.
- Транспонированная матрица — матрица В, которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
- Единичная – все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0. — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а12=а21, а13=а31,….а23=а32…. аm-1n=аmn-1, то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.
Далее приведем основные методы решения матриц.
Методы решения матриц.
Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n-го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.
Правило треугольника при решении матриц.
Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц, можно изобразить таким образом:
Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:
Правило Саррюса при решении матриц.
При решении матриц правилом Саррюса, справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":
Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.
Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.
Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ – это определитель n-го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n – 1. В таком случае сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы:
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Решение систем матриц.
Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.
Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.
Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.
Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.
3. Определитель, который получается после вычеркиваний i строки и j столбца.
5. Если производная меняет знак с «+» на «-» в точке , то называется точкой …
8. Матрица, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
10. Операция отыскания первообразной функции.
12. . событий - это событие, состоящее в совместном появлении событий.
13. Раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки данных.
16. Событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.
17. Результат испытания.
18. Событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
21. Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых есть частичные интервалы длиной h (одинаковой для всех интервалов), а высоты равны частотам.
23. Вероятность невозможного события.
25. Диагональ матрицы, идущая из левого нижнего угла в правый верхний.
26. Прямоугольная таблица размерности m×n, состоящая из m строк и n столбцов.
27. Если в точке графика функции выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка называется точкой …
По вертикали:
1. Отношение количества повторений i-той варианты к объёму всей совокупности.
2. Вероятность достоверного события.
3. Функция называется бесконечно … при , если .
4. . событие - это событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий.
6. Матрица, у которой число строк и столбцов совпадают.
7. Операция нахождения производной функции.
9. Совокупность возможных значений случайной величины.
11. Различные значения случайной величины.
14. Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов системы линейных уравнений.
15. Диагональная матрица, элементы которой, расположенные на главной диагонали, равны 1.
19. Функция называется бесконечно … при , если .
20. Диагональ матрицы, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
22. Если производная меняет знак с «-» на «+» в точке , то называется точкой …
24. Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами , , …, .
8. Матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы;12. Что означает это действие c=a-b;15. В вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Организовав подходящую структуру данных, вычисления с разреженными матрицами можно проводить очень быстро. Антоним: заполненная;17. Как называется данное действие Сложения (a+b)+c=a+(b+c);21. Математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов;23. Что означает это действие c=a+b
По вертикали
1. Матрица, при умножении на которую любая матрица остаётся неизменной ;2. Есть операция вычисления матрицы c, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго ;3. Если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица ;4. Назовите тип данных в программировании, соответствующий многомерной матрице ;5. Что означает это действие сложения a+b=b+a ;6. Операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали ;7. Матрица второго порядка ;8. Матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы ;9. Назовите вид матрицы по данному действию ab=-ab ;10. Назовите вид матрицы для решения задач синтеза законов управления. : ;11. Многочлен от элементов квадратной матрицы ;12. Матрицы также называют… ;13. Кому принадлежит фундаментальные результаты в теории матриц ;14. В вычислительной математике матрица, которая практически не содержит нулей. Такую матрицу приходится хранить в памяти целиком. Антоним: разреженная ;16. Квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных-нулевые ;18. Одно из основных понятий линейной алгебры ;19. Метод решения линейных уровнений ;20. Часть матрицы,находящаяся в вертикальном положении ;22. Матрица, в который все элементы нулевы
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Читайте также: