Определите представление в памяти компьютера числа 102 в 8 разрядной ячейке памяти
Обновлено: 07.07.2024
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление
§13. Представление чисел в компьютере
Самым первым видом данных, с которыми начали работать компьютеры, были числа. ЭВМ первого поколения могли производить только математические расчёты (вычисления).
Из курса информатики основной школы вы помните, что компьютеры работают с целыми и вещественными числами. Их представление в памяти осуществляется разными способами.
13.1. Представление целых чисел
Во многих задачах, решаемых на компьютере, обрабатываются целочисленные данные. Прежде всего, это задачи экономического характера, при решении которых данными служат количества акций, сотрудников, деталей, транспортных средств и др. Целые числа используются для обозначения даты и времени, для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов и т. д. По своей природе множество целых чисел дискретно, т. к. состоит из отдельных элементов.
И хотя любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью, предусмотрены специальные способы представления целых чисел. Это обеспечивает: эффективное расходование памяти, повышение быстродействия, повышение точности вычислений за счёт введения операции деления нацело с остатком.
Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда.
Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел.
Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа в n-разрядной ячейке памяти достаточно перевести его в двоичную систему счисления и, при необходимости, дополнить полученный результат слева нулями до n-разрядов.
Например, десятичные числа 130 и 39 в восьмиразрядном представлении будут иметь вид:
Понятно, что существуют ограничения на числа, которые могут быть записаны в n-разрядную ячейку памяти. Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует n нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю. Далее приведены диапазоны значений для беззнаковых целых n-разрядных чисел:
При знаковом представлении целых чисел старший разряд ячейки отводится под знак (0 — для положительных, 1 — для отрицательных чисел), а остальные разряды — под цифры числа.
Представление числа в привычной для человека форме «знак-величина», при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные разряды — под цифры числа, называется прямым кодом.
Например, прямые коды чисел 48 и -52 для восьмиразрядной ячейки равны:
В математике множество целых чисел бесконечно.
Компьютер работает с ограниченным множеством целых чисел.
Прямой код положительного числа отличается от прямого кода равного по абсолютной величине отрицательного числа только содержимым знакового разряда.
В прямом коде числа можно хранить, но выполнение арифметических операций над числами в прямом коде затруднено — оно требует более сложной архитектуры центрального процессора, «умеющего» выполнять не только сложение, но и вычитание, а также «знающего» особый алгоритм обработки не имеющего «веса» знакового разряда. Этих трудностей позволяет избежать использование дополнительного кода.
Чтобы понять сущность дополнительного кода, рассмотрим работу реверсивного счётчика, последовательность показаний которого можно представить в виде замкнутого кольца из чисел (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Реверсивный счётчик
При возрастании показаний счётчика до максимального, например до 999, следующими его состояниями должны быть 1000, 1001, 1002 и т. д. Но для изображения старшей единицы в счётчике не хватает разряда, происходит переполнение разрядной сетки. Поэтому мы увидим 000, 001, 002 и т. д.
При убывании показаний счётчика после состояния 000 будут идти 999, 998, 997 и т. д. Но после достижения нуля последовательное вычитание единицы должно давать -1, -2, -3 и т. д.
Будем рассматривать числа 999, 998, 997 как коды чисел -1, -2, -3 и проверим на их примере соотношение: у + (-у) = 0:
1 + 999 = 1000;
2 + 998 = 1000;
3 + 997 = 1000.
С учётом того что единица переполнения теряется, мы, сложив число и код противоположного ему числа, получаем ноль!
Вот ещё несколько примеров:
5-2 = 5 + [-2] = 5 + 998 = 1003;
7-5 = 7 + [-5] = 7 + 995 = 1002.
Для устранения неоднозначности в кольце будем считать половину состояний (0-499) кодами нуля и положительных чисел, а оставшуюся половину (500-999) — кодами отрицательных чисел.
Таким образом, дополнительный код положительного числа совпадает с этим числом, а для отрицательного числа он равен дополнению его величины до числа q n , возникающего при переполнении разрядной сетки. Здесь q — основание системы счисления, n — число разрядов в разрядной сетке.
Рассмотрим алгоритм получения дополнительного n-разрядного кода отрицательного числа:
1) модуль числа представить прямым кодом в n двоичных разрядах;
2) значения всех разрядов инвертировать (все нули заменить единицами, а единицы — нулями);
3) к полученному представлению, рассматриваемому как n-разрядное неотрицательное двоичное число, прибавить единицу.
Пример 1. Найдём 16-разрядный дополнительный код отрицательного числа -201710.
Использование дополнительного кода позволяет свести операцию вычитания чисел к операции поразрядного сложения кодов этих чисел.
Выполним эту операцию в 16-разрядных машинных кодах.
Нам потребуются прямой код числа 48 и дополнительный код числа -2017.
Рассмотрим полученный результат. Это отрицательное число (об этом говорит 1 в знаковом разряде), представленное в дополнительном коде. Перейдём к прямому коду модуля соответствующего числа, по которому сможем восстановить десятичное представление результата.
Прямой код можно получить из дополнительного кода, если применить к нему операцию инвертирования и прибавить единицу.
Получаем: -111101100012 = -1969.
13.2. Представление вещественных чисел
В математике множество вещественных чисел непрерывно, бесконечно и не ограничено.
Попробуйте обосновать это утверждение.
Вещественные числа записываются в естественной или в экспоненциальной форме.
В жизни мы чаще пользуемся естественной формой записи чисел, при которой: число представляется последовательностью десятичных цифр со знаком плюс или минус, знак плюс может опускаться, для разделения целой и дробной частей числа используется запятая.
Например: 12,34; 0,0056; -708,9.
В экспоненциальной форме вещественное число а представляется как а = ± m • q p , где m — мантисса числа, q — основание системы счисления, р — порядок числа.
Например, длину некоторого отрезка, равного 47,8 см, можно записать так:
1) 478 • 10 -1 см;
2) 47,8 • 10 0 см;
3) 4,78 • 10 1 см;
4) 0,478 • 10 2 см;
5) 0,000478 • 10 5 см.
Такое многообразие вариантов записи в экспоненциальной форме одного и того же числа не всегда удобно. Для однозначного представления вещественных чисел в компьютере используется нормализованная форма.
Нормализованная запись отличного от нуля вещественного числа 1) — это запись вида а = ± m • q p , где р — целое число (положительное, отрицательное или ноль), m — дробь, целая часть которой содержит одну значащую (ненулевую) цифру, т. е. 1 ≤ m < q.
1) Стандарт IEEE 754.
Примеры нормализации чисел:
1) 31,415926 = 3,1415926 • 10 1 ;
2) 1000 = 1,0 • 10 3 ;
3) 0,123456789 = 1,23456789 • 10 -1 ;
4) 0,00001078 = 1,078 • 108 -5 ;
5) 1000,00012 = 1,00000012 • 102 11 ;
6) AB,CDEF16 = A,BCDEF16 • 1016 1 .
Диапазон вещественных чисел в памяти компьютера очень широк, но, тем не менее, ограничен. Множество вещественных чисел, которые могут быть представлены в компьютере, конечно.
Поясним это на примере калькулятора, который производит вычисления в десятичной системе счисления. Пусть это будет калькулятор с десятью знакоместами на дисплее:
• 6 знакомест отводится под мантиссу (одно знакоместо отводится под знак мантиссы, четыре — под цифры мантиссы, одно — под точку, разделяющую целую и дробную части мантиссы);
• одно знакоместо отводится под символ «Е»;
• три знакоместа отводятся под порядок (одно — под знак порядка, два — под цифры порядка).
У калькуляторов первая значащая цифра, с которой и начинается мантисса, изображается перед точкой.
Число 12,34 в таком калькуляторе будет представлено как +1.234Е+01.
Число 12,35 будет представлено как + 1.235Е+01.
Как известно, между числами 12,34 и 12,35 находится бесконечное множество вещественных чисел, например: 12,341; 12,3412; 12,34123 и т. д.
Каждое из этих чисел в нашем калькуляторе будет представлено как + 1.234Е+01. Для последних разрядов у нас просто не хватает знакомест! Аналогичная ситуация имеет место и в компьютерном представлении вещественных чисел, независимо от того, ячейки какой разрядности там использованы.
Получается, что точно мы можем представить в компьютере лишь некоторую конечную часть множества вещественных чисел, а остальные числа — лишь приближённо.
Таким образом, множество вещественных чисел, представляемых в компьютере, дискретно, конечно и ограничено.
САМОЕ ГЛАВНОЕ
В математике множество целых чисел дискретно, бесконечно и не ограничено.
Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. В любом случае компьютерное представление целых чисел дискретно, конечно и ограничено.
В математике множество вещественных чисел непрерывно, бесконечно и не ограничено.
Для компьютерного представления вещественных чисел используется нормализованная запись вещественного числа а = ± m • q p , где q — основание системы счисления, р — целое число (положительное, отрицательное или ноль), m — дробь, целая часть которой содержит одну значащую (ненулевую) цифру, т. е. 1 ≤ m < q.
Компьютерное представление вещественных чисел дискретно, конечно и ограничено.
Вопросы и задания
*7. Найдите десятичные эквиваленты чисел, представленных в дополнительном коде: 1) 00000100; 2) 11111001.
8. Для хранения целого числа со знаком в компьютере используется два байта. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа -101, записанного:
1) в прямом коде;
2) в дополнительном коде?
9. Вычислите с помощью калькулятора (приложение Windows) в режиме «Программист» следующие примеры:
Как вы можете объяснить полученные результаты?
10. Запишите десятичные числа в нормализованной форме:
1) 217,934; 2) 75321; 3) 10,0101; 4) 200450.
11. Сравните следующие числа:
1) 318,4785 • 10 9 и 3,184785 • 10 11 ;
2) 218,4785 • 10 -3 и 1847,85 • 10 -4 .
12. Выполните операцию сложения:
1) 0,397621 • 10 3 + 0,2379 • 10 1 ;
2) 0,251452 • 10 -3 + 0,125111 • 10 -2 .
13. Чем ограничивается диапазон представимых в памяти компьютера вещественных чисел?
14. Почему множество вещественных чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?
*15. Попытайтесь самостоятельно сформулировать основные принципы представления данных в компьютере.
Тебе известно, что компьютер работает только с двоичным кодом. \(0\) и \(1\) обозначают два устойчивых состояния: вкл/выкл, есть ток/нет тока и т. д. Оперативная память представляет собой контейнер, который состоит из ячеек. В каждой ячейке хранится одно из возможных состояний: \(0\) или \(1\). Одна ячейка — \(1\) бит информации или представляет собой разряд некоторого числа.
Целые числа в памяти компьютера хранятся в формате с фиксированной запятой . Такие числа могут храниться в \(8\), \(16\), \(32\), \(64\)-разрядном формате.
Для целых неотрицательных чисел в памяти компьютера выделяется \(8\) ячеек (бит) памяти.
Минимальное число для такого формата: \(00000000\). Максимальное: \(11111111\).
Переведём двоичный код в десятичную систему счисления и узнаем самое большое число, которое можно сохранить в восьмибитном формате.
1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 255 10 .
Если целое неотрицательное число больше \(255\), то оно будет храниться в \(16\)-разрядном формате и занимать \(2\) байта памяти, то есть \(16\) бит.
Подумай! Какое самое большое число можно записать в \(16\)-разрядном формате?
Чем больше ячеек памяти отводится под хранение числа, тем больше диапазон значений.
В таблице указаны диапазоны значений для \(8\), \(16\) и \(32\)-разрядных форматов.
Для \(n\)-разрядного представления диапазон чисел можно вычислить следующим образом: от \(0\) до 2 n − 1 .
Запишем целое беззнаковое число \(65\) в восьмиразрядном представлении. Достаточно перевести это число в двоичный код.
Это же число можно записать и в \(16\)-разрядном формате.
Для целых чисел со знаком в памяти отводится \(2\) байта информации (\(16\) бит). Старший разряд отводится под знак: \(0\) — положительное число; \(1\) — отрицательное число. Такое представление числа называется прямым кодом.
Для хранения отрицательных чисел используют дополнительный и обратный коды, которые упрощают работу процессора. Но об этом ты узнаешь в старших классах.
Записать внутренне представление десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку.
32;-32; 102;-102; 126;-126.
Определить, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел.
00010101 ; 11111110 ; 00111111 ; 10101010 .
Информатика и ИКТ 9 кл. Табличные вычисления на компьютере
Домашнее задание
Записать внутренне представление десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку.
32;-32; 102;-102; 126;-126.
Определить, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел.
00010101 ; 11111110 ; 00111111 ; 10101010 .
Информатика и ИКТ 9 кл. Табличные вычисления на компьютере
Домашнее задание
Записать внутренне представление десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку.
32;-32; 102;-102; 126;-126.
Определить, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел.
00010101 ; 11111110 ; 00111111 ; 10101010 .
Выбранный для просмотра документ урок 2. Представление чисел в памяти компьютера.pptx
для работы онлайн
в проекте «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Урок на тему «Представление чисел в памяти компьютера»
Цель урока: познакомить с представлением целых и вещественных чисел в памяти компьютера.
Требования к знаниям и умениям Учащиеся должны знать: представление целых чисел со знаком; представление целых чисел без знака; прямой код; обратный код; дополнительный код; мантиссу числа; представление вещественных чисел. Учащиеся должны уметь: записывать целые числа с порядком; записывать прямой, обратный, дополнительный коды числа.
Программно-дидактическое оснащение: Сем., § 17, с. 100; демонстрация «Представление чисел в памяти компьютера»; проектор.
Представление целых чисел в компьютере Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака. Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двубайтовом формате – от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.
Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» — единицей.
Диапазоны значений целых чисел со знаком Формат числа в байтах Запись с порядком Обычная запись 1 - 27… 27- 1 - 128…127 2 - 215… 215- 1 - 32 768…32 767 4 - 231… 231- 1 - 2 147 483 648… 2 147 483 647
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Пример Число 110= 12, число 12710= 11111112. Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
Прямой код получается, если в знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Пример Прямой код числа -1: 10000001. Прямой код числа -127: 11111111.
Обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Пример Число: —1. Число: -127. Код модуля числа: 0 0000001. Код модуля числа: 0 1111111. Обратный код числа: 1 1111110. Обратный код числа: 1 0000000.
Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Пример Дополнительный код числа -1: 11111111. Дополнительный код числа -12: 11110100.
Задание 1. Представьте число 45]0 для записи числа в памяти компьютера. Задание 2. Представьте число — 8710 для записи числа в памяти компьютера.
Как представляются в компьютере вещественные числа Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной. При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления.
Пример Десятичное число 1,25 в этой форме можно представить так: 1,25 х 10° = 0,125 х 101 =0,0125 х 102 = . или так: 12,5 х 10-1 = 125,0 х 102 = 1250,0 х 10-3 = . . Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = М х qp, где М — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а р — целое число, которое называется порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12< М < 1. 753,15 = 0,75315 х 10-3; -101,01 = -0,10101 х 211 (порядок 112=310); -0,000034=-0,34 х 10-4; 0,000011 = 0,11 х 2-100(порядок — 1002 = -410).
Домашнее задание Записать внутренне представление десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку. 32;-32; 102;-102; 126;-126. Ответы: 00100000; 11100000; 01100110; 10011010; 01111110; 10000010 Определить, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел. 00010101; 11111110; 00111111; 10101010. Ответы: 21; -2; 63; -86
Выбранный для просмотра документ урок 2. сам раб.docx
Информатика и ИКТ 9 кл. Табличные вычисления на компьютере
Самостоятельная работа «Системы счисления»
Вариант 1
Переведите число в двоичную систему счисления: 102 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную : 10111 2 .
Информатика и ИКТ 9 кл. Табличные вычисления на компьютере
Самостоятельная работа «Системы счисления»
Вариант 2
Переведите число в двоичную систему счисления: 99 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную : 10101 2 .
Информатика и ИКТ 9 кл. Табличные вычисления на компьютере
Самостоятельная работа «Системы счисления»
Вариант 3
Переведите число в двоичную систему счисления: 87 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную : 11011 2 .
Выбранный для просмотра документ урок 2.конспект.docx
План-конспект урока по информатике в 9 классе на тему « Представление чисел в памяти компьютера» (Слайд 1)
Цель: познакомить с представлением целых и вещественных чисел в памяти компьютера. (Слайд 2)
Требования к знаниям и умениям (Слайд 3)
Учащиеся должны знать:
представление целых чисел со знаком;
представление целых чисел без знака;
представление вещественных чисел.
Учащиеся должны уметь:
записывать целые числа с порядком;
записывать прямой, обратный, дополнительный коды числа.
Программно-дидактическое оснащение: Сем., § 17, с. 100; демонстрация «Представление чисел в памяти компьютера»; проектор. (Слайд 4)
Организационный момент
Постановка целей урока
Чем отличается представление целых чисел в компьютере от представления вещественных чисел?
Сегодня на уроке мы найдем ответ на этот вопрос.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
Что такое системы счисления?
Что такое основание?
Назовите распространенные системы счисления.
Какой алфавит и основание имеет двоичная система счисления?
Какой алфавит и основание имеет десятичная система счисления?
Назовите правила перевода из десятичной в двоичную системы счисления.
Назовите правила перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
Назовите правила сложения.
Назовите правила умножения.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Переведите число в двоичную систему счисления: 102 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную: 10111 2 .
Вариант 2
Переведите число в двоичную систему счисления: 99 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную: 10101 2 .
Вариант 3
Переведите число в двоичную систему счисления: 87 10 .
Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную: 11011 2 .
10111 2 + 1110 2 ; 110 2 х 11 2 .
Ответы:
Вариант 1 1. 1100110 2 ; 2. 23; 3. 100110 2 ; 1111 2 .
Вариант 2. 1. 1100011 2 ; 2.21;3. 111010 2 ; 1110 2 .
Вариант 3. 1. 1010111 2 ; 2. 27; 3. 10101 2 ; 10010 2 .
Работа по теме урока
Любая информация в памяти компьютера представляется с помощью нулей и единиц, т. е. с помощью двоичной системы счисления. Первоначально компьютеры могли работать только с числами. Теперь это числа, тексты, графические объекты, видеоинформация, звук.
Работа с данными сводится любого типа к обработке двоичных чисел — чисел, записываемых с помощью двух цифр — 0 и 1.
В компьютере различаются два типа числовых величин: целые числа и вещественные числа. Различаются способы их представления в памяти компьютера.
Представление целых чисел в компьютере (Слайд 5)
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.
Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000 2 до 11111111 2 , а в двубайтовом формате - от 00000000 00000000 2 до 11111111 11111111 2 .
Диапазоны значений целых чисел без знака (Слайд 6)
(Объяснение сопровождается демонстрацией «Представление чисел в памяти компьютера»).
Формат числа в байтах
Запись с порядком
Обычная запись
0…2 8 -1
0…2 16 -1
Пример.
Число72 10 = 1001000 в однобайтовом формате.
Число72 10 = 00000000001001000 в двубайтовом формате.
Целые числа со знаком (Слайд 7) обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» — единицей.
Диапазоны значений целых чисел со знаком (Слайд 8)
Запись с порядком
Обычная запись
- 2 7 … 2 7 - 1
- 2 15 … 2 15 - 1
- 32 768…32 767
- 2 31 … 2 31 - 1
- 2 147 483 648…
2 147 483 647
Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата , при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины — семь разрядов.
(Слайд 9) В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код. Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.
(Слайд 10) Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
Пример.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
Прямой код (Слайд 11) получается, если в знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины.
Пример.
Прямой код числа -1: 10000001. Прямой код числа -127: 11111111 .
Обратный код (Слайд 12) получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями.
Пример .
Число: —1. Число: -127.
Код модуля числа: 0 0000001. Код модуля числа: 0 1111111.
Обратный код числа: 1 1111110. Обратный код числа: 1 0000000.
Дополнительный код (Слайд 13) получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.
Пример.
Дополнительный код числа -1: 11111111.
Дополнительный код числа -12: 11110100.
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
(Слайд 14) Задание 1. Представьте число 45 ]0 для записи числа в памяти компьютера.
Задание 2. Представьте число — 87 10 для записи числа в памяти компьютера.
Как представляются в компьютере вещественные числа (Слайд 15)
Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т. е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной и конечной.
При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку.
Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления.
(Объяснение сопровождается демонстрацией «Представление чисел в памяти компьютера».)
Пример. (Слайд 16)
Десятичное число 1,25 в этой форме можно представить так:
1,25 х 10° = 0,125 х 10 1 =0,0125 х 10 2 = . или так:
12,5 х 10 -1 = 125,0 х 10 2 = 1250,0 х 10 -3 = . .
Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = М х q p , где М — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а р — целое число, которое называется порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
Если плавающая точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведенных под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, т. е. максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует, что (Слайд 17) мантисса должна быть правильной дробью , у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля : 0.1 2 < М < 1.
753,15 = 0,75315 х 10 -3 ; -101,01 = -0,10101 х 2 11 (порядок 11 2 =3 10 ); -0,000034=-0,34 х 10 -4 ; 0,000011 = 0,11 х 2 -100 (порядок — 100 2 = -4 10 ).
(Слайд 18) Стандартные форматы представления вещественных чисел:
двойной - 64-разрядное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда);
расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой.
V. Подведение итогов урока
Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?
Назовите диапазон значений целых чисел, если бы для их хранения использовалась четырехразрядная ячейка.
Домашнее задание (Слайд 19)
Записать внутренне представление десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку.
32;-32; 102;-102; 126;-126.
Ответы: 00100000; 11100000; 01100110; 10011010; 01111110; 10000010 .
Определить, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел.
Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Ячейка памяти
Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.
Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.
Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.
Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:
Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.
Пример 1. Число 5310 = 1101012 в восьмиразрядном представлении имеет вид:
Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:
При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.
В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.
Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)
Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР
Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:
Представление вещественных чисел
Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:
где:
m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.
Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 • 10 8 , 47,2 • 10 7 , 472,0 • 10 6 и т. д.
С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.
Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».
Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.
Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 • 10 9 .
Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Пример:
Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.
Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа:
0,11111111111111111111111 • 10 1111111
Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.
Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.
САМОЕ ГЛАВНОЕ
Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.
Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.
При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.
При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:
где:
m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.
Вопросы и задания
2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?
3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.
а) 01001100;
б) 00010101.
7. Запишите следующие числа в естественной форме:
а) 0,3800456 • 10 2 ;
б) 0,245 • 10 -3 ;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.
8. Запишите число 2010,010210 пятью различными способами в экспоненциальной форме.
9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:
10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.
Электронное приложение к уроку
Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)
Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР
Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:
| Презентации, плакаты, текстовые файлы | Вернуться к материалам урока | Ресурсы ЭОР |
Cкачать материалы урока
Читайте также: