Приведите примеры других устройств помимо компьютеров в которых используют логические элементы

Обновлено: 07.07.2024

§ 3. Логические формулы. Таблица истинности логической формулы……………………………………………..…..…. ….….8

§ 4. Основные законы алгебры логики. Упрощение логических формул……………………. ……………. ………11

§ 5. Решение логических задач…………………………. …….13

§ 6. Логическая функция…………………………. ………..….18

§ 7. Логические основы ЭВМ. Базовые логические элементы………………………………..………………………….21

§ 8. Логические элементы компьютера. Триггер и сумматор. 25

Вопросы для самоконтроля…………..……. …………….29

§ 1. Основы логики.

В процессе обработки двоичной информации компьютер выполняет арифметические и логические операции. Поэтому для получения представлений об устройстве компьютера необходимо познакомится с основными логическими элементами, лежащими в основе построения компьютера. Начнем это знакомство с основных начальных понятий логики.

Сам термин «логика» происходит от древнегреческого logos , означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука о законах и формах мышления.

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Аристотель впервые отделил логические формы речи от ее содержания, исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

К основным понятиям логики относятся следующие.

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении кoтopoгo можно однoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.

Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

Утверждение — это суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

Например, любая теорема – это утверждение, требующее доказательства.

Рассуждение — это последовательность высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Например, ход доказательства какой-либо теоремы можно назвать рассуждением.

Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение. Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.

В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна».

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные металлы – железо, медь, цинк, алюминий и др. - обладают свойством электропроводности, мы делаем вывод, что все металлы электропроводны.

Умозаключение по аналогии переносит знание об одних объектах на другие. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям. Поэтому, когда на солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили, что такой элемент есть и на Земле.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются логическими выражениями.

Логическое выражение — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний, называется математической логикой.

Подобно тому, как для описания действий над переменными величинами был разработан раздел математики – алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний или алгебра логики.

Алгебра логики — это раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

§ 2. Логические операции.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если. то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками  или &).

Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.

Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).

Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.

Операция, выражаемая словом "не", называется логическим отрицанием или инверсией и обозначается чертой над высказыванием (или знаком  ).

Высказывание  А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Например, "Луна — спутник Земли" (А) - истинно; "Луна — не спутник Земли" (  А) - ложно.

Операция, выражаемая связками "если . то", "из . следует", ". влечет . ", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком  .

Высказывание А  В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания?

Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность"(В). Рассмотрим составное высказывание А  В, понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность".

Есть три варианта, когда высказывание А  В истинно:

А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка "если . то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", ". равносильно. ", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком  или

Высказывание А  В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А  В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" (А), "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух" (  А), "пингвины не живут в Антарктиде" (  В). Образованные из высказываний А и В составные высказывания A  B и  A   B истинны, а высказывания A   B и  A  B — ложны.

§ 3. Логические формулы. Таблица истинности логической

формулы.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.

Если А и В — формулы, то  A, А . В , А v В , А  B , А  В — формулы.

3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B)  C. Такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".

Как показывает анализ формулы (A v B)  C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь". Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Например, формула А v  А, соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или непрямоугольный" истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А .  А, которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо  А обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом " justify"> Нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А  В =  Аv В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А  В = (  А v В) . (  Вv А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.

Таблица истинности логической формулы – таблица, выражающая соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то таких наборов восемь: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д. Т.е., если N – количество переменных, то 2 N – количество наборов значений переменных.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс — логический смысл сигнала — 1, нет импульса — 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.

Логический элемент «И». На входы А и В логического элемента (рис. 3.1) подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения.

Pис. 3.1 Логический элемент • «И»

Логический элемент «ИЛИ». На входы А и В логического элемента (рис. 3.2) подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического сложения.
Рис. 3.2 Логический элемент • "ИЛИ"

Логический элемент «НЕ». На вход А логического элемента (рис. 3.3) подается сигнал 0 или 1. На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности инверсии

Рис. 3.3 Логический элемент • "НЕ"

Сумматор двоичных чисел

Из этой таблицы сразу видно, что перенос можно реализовать с помощью операции логического умножения:

Получим теперь формулу для вычисления суммы. Значения суммы близки к результату операции логического сложения (кроме случая, когда на входы подаются две единицы, а на выходе должен получиться нуль).

Нужный результат достигается, если результат логического сложения умножить на инвертированный перенос. Таким образом, для определения суммы можно применить следующее логическое выражение:

Теперь на основе полученных логических выражений можно построить из базовых логических элементов схему сложения одноразрядных двоичных чисел.

По логической формуле переноса легко определить, что для получения переноса необходимо использовать логический элемент «И».

Анализ логической формулы для суммы показывает, что на выходе должен стоять элемент логического умножения «И», который имеет два входа. На один из входов надо подать результат логического сложения исходных величин А и В, то есть на него должен подаваться сигнал с элемента логического сложения «ИЛИ».

На второй вход требуется подать результат инвертированного логического умножения исходных сигналов (А & В), то есть на второй вход должен подаваться сигнал с элемента «НЕ», на вход которого должен поступать сигнал с элемента логического умножения «И» (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Полусумматор двоичных чисел

Данная схема называется полусумматором, так как реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.

Перенос из младшего разряда

Идея построения полного сумматора точно такая же, как и полусумматора. Из таблицы сложения видно, что перенос (логическая переменная Р) принимает значение 1 тогда, когда хотя бы две входные логические переменные одновременно принимают значение 1. Таким образом, перенос реализуется путем логического сложения результатов попарного логического умножения входных переменных (А, В, ро). Формула переноса получает следующий вид:

Р = (А & В) v (А & Р0) v (В & Р0).

Для получения значения суммы (логическая переменная 5) необходимо результат логического сложения входных переменных (А, В,P0) умножить на инвертированный перенос Р:

S = (А v В v Р0) & !Р.

Данное логическое выражение дает правильные значения суммы во всех случаях, кроме одного, когда на все входные логические переменные принимают значение 1. Действительно:

S = (1v1v1)&!Р = 1 & 0 = 0.

Для получения правильного значения суммы (для данного случая переменная S должна принимать значение 1) необходимо сложить полученное выше выражение для суммы с результатом логического умножения входных переменных (А, В, P0). В результате логическое выражение для вычисления суммы в полном сумматоре принимает следующий вид:

S = (А v В v Р0) & !Р0 v (А & В & Р0). Многоразрядный сумматор. Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных одноразрядных сумматоров. На каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причем выход (перенос) сумматора младшего разряда подключается ко входу сумматора старшего разряда.

Триггер

Важнейшей структурной единицей оперативной памяти компьютера, а также внутренних регистров процессора является триггер. Это устройство позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер может хранить 1 бит информации).

Триггер можно построить из двух логических элементов «ИЛИ» и двух элементов «НЕ» (рис. 3.5).
Триггер

В обычном состоянии на входы триггера подан сигнал О, и триггер хранит 0. Для записи 1 на вход 5 (установочный) подается сигнал 1. Последовательно рассмотрев прохождение сигнала по схеме, видим, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе 5 исчезнет. Триггер запомнил 1, то есть с выхода триггера Q можно считать 1.Для того чтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, подается сигнал 1 на вход К (сброс), после чего триггер возвратится к исходному «нулевому» состоянию.

Основные логические элементы реализуют 3 основные логические операции:

логическое умножение;
логическое сложение;
инверсию (отрицание).

Устройства компьютера, которые выполняют обработку и хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, у которых $2$ входа и $1$ выход. К логическим устройствам компьютера относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Связь между алгеброй логики и компьютерной техникой также лежит в двоичной системе счисления, которая используется в ЭВМ. Поэтому в устройствах ПК можно хранить и обрабатывать как числа, так и значения логических переменных.

Логический элемент компьютера – это часть электронной схемы, которая выполняет элементарную логическую функцию.

Переключательные схемы

В ЭВМ используются электрические схемы, которые состоят из большого количества переключателей. Переключатель, находясь в замкнутом состоянии ток пропускает, в разомкнутом – не пропускает. Работа таких схем удобно описывается при помощи алгебры логики. В зависимости от состояния переключателя можно регулировать получение или неполучение сигналов на выходах.

Вентили

Среди логических элементов компьютеров выделяют электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие (их называют вентили).

Эти схемы позволяют реализовать любую логическую функцию, которая описывает работу устройств ПК. Обычно вентили имеют $2–8$ входов и $1$ или $2$ выхода.

Для представления двух логических состояний ($1$ и $0$) в вентилях, входные и выходные сигналы имеют разные уровни напряжения. Например, $+3 \ B$ (вольт) для состояния $«1»$ и $0 \ B$ для состояния $«0»$.

У каждого логического элемента есть условное обозначение, выражающее его логическую функцию, но не указывающее на электронную схему, которая в нем реализована. Такой подход реализован для упрощения записи и понимания сложных логических схем.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Работа логических элементов описывается таблицами истинности.

Триггер

Триггеры и сумматоры состоят из вентилей.

Триггер – важнейшая структурная единица оперативной памяти ПК и внутренних регистров процессора.

Триггер – логическая схема, которая способна хранить $1$ бит информации ($1$ или $0$). Строится на $2$-х элементах ИЛИ–НЕ или на $2$-х элементах И–НЕ.

Самый распространённый тип триггера – $RS$-триггер (Reset/Set), который имеет $2$ входа $S$ и $R$ и два выхода $Q$ и $\bar$. На каждый из входов $S$ и $R$ могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов (рис.3): есть импульс – $1$, нет импульса – $0$.

Рисунок 3. Кратковременный импульс

Сумматор

Сумматоры широко применяются в арифметико-логических устройствах процессора и отвечают за суммирование двоичных разрядов.

Сумматор – логическая схема, которая способна суммировать 2 одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

Сумматор может находить применение и в других устройствах машины.

Для суммирования двоичных слов длиной от двух бит можно использовать последовательное соединение многоразрядных сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Пример реализации логической схемы

Алгоритм реализации:

Определим количество переменных данного выражения, значит столько входов будет иметь схема. В данном случае это входы $A, B, C$.

С помощью базовых логических элементов реализуются основные операции в порядке их следования:

I – инверсия переменных $A, B, C$ реализуется логическим элементом «НЕ»;

II – логическое умножение реализуется логическим элементом «И»;

III – логическое сложение реализуется логическим элементом «ИЛИ».

На выходе каждого элемента прописывается логическое выражение, которое реализуется данным элементом, что позволяет осуществить обратную задачу, т.е. по готовой схеме составить логическое выражение, которое реализует данная схема.

Цифровые устройства работают с цифровыми сигналами, которые могут принимать только два значения: от 0 до 0,5 В — уровень нуля или от 2,5 до 5 В — уровень единицы.
В отличие от аналоговых, цифровые сигналы, имеющие только два разращенных значения, защищены от действия шумов, наводок и помех. Небольшие отклонения от разращенных значений не искажают цифровой сигнал, так как существуют зоны допустимых отклонений. Кроме того, цифровые устройства проще проектировать и отлаживать.
Цифровым сигналом представляются двоичные числа, поэтому он состоит из элементов только двух различных значений. Одним из них представляется 1, а другим — 0. По установившейся терминологии эти элементы сигнала называют соответственно единицей и нулём.
Цифровой сигнал может быть потенциальным или импульсным.
Элементами потенциального цифрового сигнала являются потенциалы двух уровней. Каждый уровень остаётся неизменным в течении так называемого тактового интервала; на его границе уровень потенциала изменяется, если следующая цифра двоичного числа отличается от предыдущей. На рисунке изображён потенциальный цифровой сигнал, представляющий написанное сверху число; высоким потенциалом отображается 1, а низким — 0.

Элементами импульсного цифрового сигнала являются импульсы неизменной амплитуды и их отсутствие. На рисунке положительный импульс представляет 1, а отсутствие импульса представляет 0 написанного сверху двоичного числа.

Логические сигналы

Наряду с цифровыми сигналами в цифровых устройствах действуют сигналы, появление которых связано с наступлением или не наступлением какого — либо события. Наличие или отсутствие таких сигналов и порождающие их условия связаны выражениями типа «если. то . » и другими логическими связями.
Поэтому такие сигналы называются логическими. Это название связано с тем, что аналогичные условия между причиной и следствием являются предметом обсуждения и изучения в логике.
Формальная логика — наука о законах и формах человеческого мышления — оперирует с высказываниями вне зависимости от их содержания, учитывая только их истинность или ложность. Истинные высказывания: «Электрический ток существует только в замкнутой цепи», «Архангельск расположен в северном полушарии», ложные: «Кит — теплолюбивое растение» «Ангара — приток волги».
Высказывания могут быть простыми и сложными. Простое содержит только один факт, не зависящий от других фактов, т. е. сам о себе может быть истинным или ложным. В приведенных выше примерах высказывания — простые. Сложные высказывание содержит несколько простых высказываний, например: «Я пойду в кино, если не будет дождя и со мной пойдёт приятель».
Введения в формальную логику ограниченного числа логических связок (они будут далее), допускающих строго определённое толкование, позволило однозначно представлять сложное высказывание совокупностью простых, а введением символов, обозначающих простые высказывания, — решать логические задачи математическими средствами. Их совокупность составляет содержание алгебры и логики, или булевой алгебры, названной так в честь её создателя — английского математика Джорджа Буля. В соответствии с ней истинному высказыванию (наступления события) приписывается, ставится в соответствии символ 1 (логическая 1), а ложному (ненаступлению событий) — символ 0 (логический 0).
Необходимо отметить, что символы 0 и 1никакого отношения к числовому сигналу не имеют. Они лишь описывают качественное состояние события, и поэтому к ним неприменимы арифметические операции. В электрических цепях эти символы обычно представляются также, как аналогичные в цифровом сигнале: логическая 1 — высоким, а логический 0 низким уровнем потенциала.
Рассмотрим высказывание: Автомат сработает когда будут нажаты кнопки К1 и К2 или нажата кнопка К3 и не нажата кнопка К4«. Здесь простые высказывания (состояния кнопок) внедрены в сложные высказывания (срабатывания автомата) с помощью союзов — связок И, ИЛИ, НЕ; состояние кнопок играют роль аргументов (переменных), над ними эти союзы осуществляют такие функциональные преобразования, которые формируют функцию — условие срабатывания автомата.
Далее простое высказывание (событие) будем обозначать символом х, а сложное событие, являются функцией простых, — символом у.
Из изложенного ранее следует, что булева алгебра оперирует с переменными, принимающие только два значения: 0 и 1, т.е. с двоичными переменными. Функция двоичных переменных, принимающая те же два значения, называется логической функцией (переключательной функцией, функцией алгебры логики).
Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и таблицей, называемой переключательной таблицей или таблицей истинности.

Логические функции

Любое самое сложное логическое высказывание, в частности, функциональное устройства, электрической цепи и т. д., можно описать, используя три логические операции: сложение (дизъюнкцию), умножение (конъюнкцию) и отрицание (инверсию), — которыми могут быть связаны простые высказывания. В указанном смысле этот набор логических функций называют функционально полным набором или базисом.
Логическое сложение (дизъюнкция) переменных X 1 ,X 2 . X n записывается в виде y=X 1 +X 2 +. +X n
Значение у = 0 имеет место только при X 1 +X 2 +. +X n =0. Е
Если хотя бы одно слагаемое равно единице (X i = 1 событие наступило), то у = 1. Сумма наступивших событий (X 1 + X 2 + . где X 1 = 1, X 2 = 1, . ) означает наступления события, т. e. При любом числе слагаемых, равных единице, сумма равна единице: у = 1, если X 1 = 1, или X 2 = 1 или X i = 1, или все переменные X равны единице. Этим объясняется ещё одно название рассматриваемой операции — операция ИЛИ.
Таблица истинности операции ИЛИ двух переменных приведёна ниже:

В каждой строке таблице записаны значения переменных X 1 и X 2 и соответствующие им функции у. В общем случае n двоичных переменных дают 2 n сочетаний. Кроме знака «+» дизъюнкция обозначается знаком «V»: у = X 1 VX 2 . V X n .
Элемент, выполняющий дизъюнкцию, называется дизъюнктором или элементом ИЛИ.
Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов ИЛИ показаны на рисунке

Логическое умножение (конъюнкция) переменных записывается в виде
у = X 1 X 2 . X n .
Из приведённого выражения следует, что если хотя бы одна из переменных равна нулю, то функция ровна нулю. Только в том случае, когда х 1 = 1, И х 2 = 1, И . И x n = 1, y = 1. Поэтому данная операция называется также операцией И.
Таблица истинности операции И двух переменных показана на рисунке:

Кроме приведённой встречается следующая форма записи конъюнкции: X 1 ΛX 2 Λ. X n

Элемент, выполняющий конъюнкцию, называется конъюнктором или элементом И.
Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов И показаны на рисунке:

Логическое отрицание (инверсия) записывается в виде у = X и называется также операцией НЕ. Читается «у НЕ х». Таблице истинности операции НЕ показана на рисунке:

Элемент, выполняющий инверсию, называется инвертором или элементом НЕ.
Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов НЕ показаны на рисунке:

Логические элементы И-НЕ, ИЛИ — НЕ, исключающие ИЛИ

Функционально элемент И-НЕ представляет собой совокупность конъюнктора и инвертора:

Элемент ИЛИ — НЕ представляет собой совокупность дизъюнктора и инвертора:

Под функцией исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Таблица истинности и обозначения (зарубежные и отечественные) приведены ниже:

Надпись «=1» обозначает, что выделяется ситуация когда на входах одна и только одна единица. С точки зрения математики элемент исключающее ИЛИ выполняет операцию суммирования по модулю 2. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два.

Сложные логические элементы

Помимо ранее рассмотренных простейших логических элементов в состав стандартных серий входят более сложные, представляющие собой комбинацию из простейших, объединённых в одном корпусе:

Основные законы и тождества алгебры логики

Для анализа и синтеза электронных схем широко используются математический аппарат алгебры логики (булевой алгебры).
Наиболее важные законы и тождества, отражающие основные соотношения алгебры логики, приведены ниже:

х + 0 = х;	х • 1 = х;
х + 1 = 1;	х • 0 = 0;
х + х = х;	х • х = х;
х + x = 1;	х • x = 0;
= х;	х • у = у • х;
х + у = у +х;	х • (х + у) = х;
х + х • у = х;
х + (у + z) = (x + y) + z;	х •(у • z) = (х • у) • z;
x + y • z = (x + y) • (x + z);	х • (y • z) = x • y + x • z
x • y = x • y ;	x g y = x + y ; (теорема де Моргана)
(х + у) • ( x + у ) = у	x g y + x g y = y

Правильность тождеств легко доказать перебором всех возможностей. Переменные x, y, z принимают только два значения 0 и 1. Число возможных комбинаций не велико.

Минимальный базис И — НЕ (ИЛИ — НЕ)

Набором элементов И — НЕ (ИЛИ — НЕ) можно реализовать функции И, ИЛИ, НЕ. Этим будет доказано, что каждый такой набор является базисом, так как базисом является совокупность элементов И, ИЛИ, НЕ. Для этого запишем функцию, которую нужно реализовать, и преобразуем её так, чтобы в окончательный результат входили конъюнкция и инверсия (при использовании элементов И — НЕ) или дизъюнкция и инверсия (при пользовании элементов ИЛИ — НЕ)

При записи правых частей приведённых функций учтено: для у1 — тождество хх. х = х, для у4 — тождество х +х +. х = х, для у2 и у6 — тождество х =, для у3 и у5 — теорема Моргана. Таким образом, в соответствии с правой частью приведённых равенств операции И, ИЛИ, НЕ могут быть выполнены элементами И — НЕ, а также элементами ИЛИ — НЕ, что показано на рисунке:

Всякая цифровая микросхема, по существу представляет собой совокупность элементов И — НЕ (ИЛИ — НЕ), т. е. номенклатура элементов уменьшена до одного. Наличие инвертора (усилителя) компенсирует затухание сигнала, увеличивает нагрузочные способности.

Характеристики и параметры входов и выходов цифровых микросхем определяются прежде всего технологией и схемотехникой внутреннего строения микросхем. Но для разработчика цифровых устройств любая микросхема представляет собой всего лишь «чёрный ящик», внутренности которой знать не обязательно. Ему важно только чётко представлять себе, как поведёт себя та или иная микросхема в данном конкретном включении, будет ли она правильно выполнять требуемую от неё функцию. Обозначения входов и выходов показано на рисунке:

Такой выход можно считать состоящим из двух выключателей, которые замыкаются по очереди. Замкнутому верхнему выключателю соответствует «1», а замкнутому нижнему — «0».
Выход с открытым коллектором ОК тоже имеет два возможных состояния, но только одно из них (состояние логического нуля) активно, то есть обеспечивает большой втекающий ток. Второе состояние сводится, по сути, к тому, что выход полностью отключается от присоединённых к нему входов. Это состояние может использоваться в качестве логической единицы, но для этого между выходом ОК и напряжением питания необходимо подключить нагрузочный резистор R величиной порядка сотен Ом.

Выход ОК можно считать состоящим из одного выключателя, замкнутому состоянию которого соответствует «0», а разомкнутому — отключённое (пассивное) состояние.
Наконец выход с тремя состояниями 3С очень похож на стандартный вход, но к двум состояниям добавляется ещё и третье — пассивное, в котором выход можно считать отключённым от последующей схемы.

Выход 3С можно считать состоящим из двух переключателей, которые могут замыкаться по очереди, давая логический нуль и логическую единицу, но могут и размыкаться одновременно. Это третье состояние называется также высокоимпедансным или Z — состоянием. Для перевода выхода в третье Z — состояние используется специальный управляющий вход, обозначаемый ОЕ (Output Enable — разрешение выхода) или EZ (Enable Z — state — разрешение Z — состояния, или третьего состояния).
Наличие трёх разновидностей выходов обеспечивает объединение выходов между собой при организации связей между цифровыми устройствами.

Читайте также: