Сколькими возможными способами можно рассадить 5 учащихся за 5 компьютеров
Обновлено: 30.06.2024
В данной методразработке мы коснёмся элементов комбинаторики , которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей . Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики
В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов.
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение : используем формулу количества перестановок:
Ответ : 120 способами
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение : прежде всего детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать) .
В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде .
способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ : 1365 способами
Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:
– единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение : здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:
способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали .
Найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.
Ответ : 42840
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Правило сложения и правило умножения комбинаций
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение : в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.
Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:
способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Ответ : 123
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение : для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо :
В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует : трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц »
Или ещё проще: « каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц ».
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества и не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества и – различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества и дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Читайте также: