Сторона pq на 7 м короче чем сторона qr чему равен периметр треугольника
Обновлено: 07.07.2024
Чтобы вычислить чему равен периметр разностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры:
Введите их в соответствующие поля и узнаете чему равен периметр треугольника (Р).
Сторона a =Сторона b =
Сторона c =
Периметр P =
Теория
Чему равен периметр разностороннего треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр разностороннего треугольника, у которого сторона a = 2 см, сторона b = 3 см, а сторона c = 4 см:
Периметр равнобедренного треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры:
- длину двух равных сторон (a)
- длину основания (b)
Теория
Чему равен периметр равнобедренного треугольника (P)?
Формула
Пример
К примеру, определим периметр равнобедренного треугольника, у которого стороны a = 2 см, а сторона b = 3 см:
Периметр равностороннего треугольника
Чтобы вычислить чему равен периметр равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину трёх равных сторон (a)
- радиус описанной окружности (R)
- радиус вписанной окружности (r)
Периметр P = Радиус вписанной окружности r =
Периметр P =
Теория
Чему равен периметр равностороннего треугольника (P)?
Формула
P = 3⋅a = 3⋅ √ 3 ⋅R = 6⋅ √ 3 ⋅r
Пример
К примеру, определим периметр равностороннего треугольника со сторонами a = 2 см:
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.
Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
В чем измеряется периметр:
Как узнать периметр треугольника
Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.
Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:
P = √ b 2 + с 2 - 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:
P = 3 * a, где a — длина стороны.
Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.
Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.
Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:
P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.
Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:
P = √ c 2 - a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.
Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Запишись на дополнительные уроки по математике онлайн для учеников с 1 по 11 классы!
Учебник. № 376, 377, 379, 397, 409, 410, 412, 1462, 1463, 1471.
Сдать 18.11
1. Через точку А(5;2) провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.
2. Найти те касательные к окружности х^2+у^2=29, которые проходят через точку (7;-3).
3. Около квадрата описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки на окружности.
4. На оси абсцисс найти центр окружности, проходящей через точки А(2;3) и В(5;2). Написать ее уравнение.
5. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (3;0) и (-1;2), зная, что ее центр лежит на прямой х –у+2=0.
6. Окружность касается обеих осей координат и проходит через точку А(2;9). Найти ее уравнение.
7. Дана окружность (х –1^)2+(у –2)^2=25. Составить уравнение ее касательной в точке (5;5).
8. Составить уравнение касательных из начала координат к окружности (х –2)^2+(у –4)^2=2.
9. Найти уравнение общей хорды двух окружностей х^2+у^2=10 и х^2+у^2 –10х –10у+30=0.
10. Составить уравнения общих касательных двух окружностей (х –2)^2+(у –1)^2=1 и (х +2)^2+(у +1)^2=9.
Сдать 25.11
Учебник.
254, 259, 262, 276, 279, 280, 319, 402, 1466, 1468.
Сдать 2.12.
1. Дана окружность х^2+у^2 – 4х – 2у – 11=0 и точка М(3;1). Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касающейся данной окружности внутренним образом.
2. Дана окружность х^2+у^2 – 4х – 5=0 и точка С(5;4). Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касающейся данной окружности внешним образом.
3. Составить уравнение прямой, симметричной прямой 3х –2у+1=0 относительно точки М(5;1).
4. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС, А(-1;2), В(2;3), М(1;2). Напишите уравнение прямой АС и найдите координаты вершины С.
5. Составьте уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(5;4) и окружность отсекает от прямой х+2у – 3=0 хорду, длина которой равна 8.
6. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямой 3х – у+6=0 и осями координат.
7. Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, образованный прямой 3х – у+6=0 и осями координат.
8. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: 2х –у+3=0; х+5у –7=0; 3х –2у+6=0.
9. Зная уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника у=3 и х –у+4=0 составить уравнение третьей стороны при условии, что она проходит через начало координат.
10. Даны вершины треугольника А(4;6), В(-4;0), С((-1;-4). Составьте уравнения: 1) трех его сторон; 2) Медианы, проведенной из вершины С; 3) биссектрисы угла В; 4) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Сдать 9.12
Прямоугольные треугольники.
1) Даны S и r. Найти a и b. 2) Даны S и lc. Найти a и b. 3) Даны mc и r. Найти a и b. 4) Даны hc и ma. Найти a и b.
Общие треугольники.
1. Дано a,A,ma. Найти b,c. 2. Дано a,A,,la. Найти b,c. 3. Дано a,B,R. Найти b,c. 4. Дано a,B,r. Найти b,c. 5. Дано a,B,ma. Найти b,c. 6. Дано a,R,r. Найти b,c.
Сдать к 19.01.
Домашнее задание. Учебник.
1047, 1053, 1091, 1131, 1132, 1152, 1160, 1162, 1166, 1167. Сдать 30.1
1. Дан параллелограмм ABCD со сторонами АВ=2 и ВС=3. Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ АС перпендикулярна к отрезку ВЕ, соединяющему вершину В с серединой Е стороны AD.
2. Известно, что ABCD – параллелограмм, в котором АВ=1, ВС=2 и угол АВС тупой. Через каждую из точек В и D проведено по две прямые, одна из которых перпендикулярна АВ, а вторая перпендикулярна СВ. В пересечении этих четырех прямых получился параллелограмм, подобный ABCD. Найдите площадь ABCD.
3. В ромб вписана окружность радиуса R. Найдите площадь ромба, ели его большая диагональ равна 4R.
4. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон AD и ВС за точки D и С пересекаются в точке Е. Периметр треугольника DCE равен 60, АВ=20 и ADC=бета. Найти радиус окружности.
5. В параллелограмме PQRS биссектриса угла RPQ, равного 80о, пересекает сторону RS в точке L. Найти радиус окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если PQ=7.
6. В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М, причем DM/MC=2. Известно, что угол САМ равен альфа. Найти угол BAD.
7. Известно, что ABCD – параллелограмм, BD=2, ACB=45o. Прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найти площадь ABCD.
8. В параллелограмме лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен sqrt3. Найти площадь параллелограмма.
9. Периметр прямоугольного треугольника 60. Найти его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12.
10. Стороны треугольника относятся как 5:4:3. Найти отношение отрезков сторон, на которые они делятся точкой касания вписанной окружности.
Сдать 7.2
Учебник.
1175, 1176, 1182, 1242, 1258, 1259, 1263, 1287, 1292, 1300
Сдать 14.2
1. На сторонах треугольника АВС взяты точки А1, В1, С1 так, что ВА1/А1С=р, СВ1/В1А=q, АС1/С1В=r. P,Q,R – точки пересечения отрезков АА1, ВВ1, СС1. Найти отношение площадей треугольников АВС и PQR.
2. Площадь треугольника АВС равна S. На каждой стороне треугольника выбраны две точки, делящие ее в отношении m:n:m. Найти площадь шестиугольника, вершинами которого служат выбранные точки.
3. В треугольнике АВС АВ=ВС, В=альфа. Биссектриса AD угла А пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найти отношение площадей треугольников BDE и АВС.
4. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС на стороне АВ взята точка Р, а на стороне CD – точка Q, причем АР/РВ=р, DQ/QC=q. Площадь трапеции равна S и AD/BC=k. Найти площадь треугольника PRA, где R есть точка пересечения отрезков PQ и АС.
5. Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ, ВС, CD, AD соответственно выбраны точки P,Q,R,S таким образом, что AP/PB=p, BQ/QC=q, CR/RD=r, DS/SA=s. Отрезки PR и QS пересекаются в точке О. Найти PO/OR.
6. В окружность вписан выпуклый четырехугольник ABCD, причем АВ – диаметр окружности, и диагонали АС и BD пересекаются в точке М. Известно, что ВС=3, СМ=3/4, SABC=3SACD. Найти отрезок АМ.
7. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 18 и 9 соответственно. На продолжении стороны ВС взята точка М такая, что СМ=3,2. В каком отношении прямая АМ делит площадь ABCD.
8. Треугольник АВС вписан в круг, АВ=ВС, АВС=альфа. Параллельно АС проведена средняя линия треугольника, продолженная до пересечения с окружностью в точках D и Е. Найти отношение площади треугольника DBE к площади АВС.
9. Известно, что ABCD – ромб и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD равны R и r. Найти площадь ромба.
10. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниями, равны S1 и S2. Найти площадь трапеции.
Сдать 21.2
1301, 1303, 1306, 1308, 1320, 1321, 1326, 1329, 1500, 1502
Сдать 28.2
1. Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра от¬сеченного параллелограмма?
2. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Дока¬жите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.
3. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.
4. Точки А1, В1 и С1 симметричны центру описанной окружности треугольника АВС относительно его сторон. Докажите, что АВС= А1В1С1.
5. Докажите, что если /.ВАС = 2/.АВС, то ВС2 = (АС+ + АВ)АС.
6. На прямой даны точки А, В, С и D. Через точки А и В, а также через точки С и D проводятся параллельные прямые. Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую в двух фиксированных точках.
7. В треугольнике АВС проведены биссектриса АD и средняя линия А1С1. Прямые АD и А1С1 пересекаются в точке К. Докажите, что 2А1К=|b –c|.
8. На диагонали АС параллелограмма АВСD взяты точки Р и Q так, что АР=СQ. Точка М такова, что РM||АD и QM || АВ. Докажите, что точка М лежит на диагонали ВD.
9. Продолжения боковых сторон трапеции с основани¬ями АD и ВС пересекаются в точке О. Концы отрезка ЕF, параллельного основаниям и проходящего через точку пе¬ресечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах АВ и СD. Докажите, что АЕ: СF=АО: СО.
10. Три прямые, параллельные сторонам данного тре¬угольника, отсекают от него три треугольника, причем остается равносторонний шестиугольник. Найдите длину сто¬роны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны а, b и с.
Сдать 6.3
Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.
Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.
Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно.
Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.
Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку симметрично относительно и (получаем точки и ).
У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла . После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что — это тот самый треугольник.
Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.
На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки и . Точки пересечения прямой со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.
и являются медианами и высотами(точка симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников и соответственно, значит треугольники и — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника равен длине отрезка . Треугольник с меньшим периметром найден.
Возьмем какие-нибудь другие точки( и ) на сторонах угла.
В треугольнике все стороны равны 15 см. Чему равен периметр треугольника? Выберите правильный ответ.
Виды треугольников
Какое из утверждений верное? Выберите правильный ответ.
Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы острые.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы прямые.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы тупые.
Виды треугольников по сторонам
Соедините попарно фразы так, чтобы получилось верное высказывание.
все стороны равны
равных сторон нет
две равные стороны
Виды треугольников по углам
Сопоставьте треугольники с их видами.
Определение
Вставьте в текст нужные слова.
– это геометрическая , состоящая из точек, не лежащих на одной , и соединённых между собой.
Периметр
Найдите периметр треугольника. Выделите правильный ответ.
16 см ; 10 см ; 12 см ; 32 см
Свойство треугольников
Можно ли начертить треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 5 см? Подчеркните правильный ответ.
да ; нет ; иногда
Элементы треугольника
Впишите названия у соответствующих элементов треугольника.
Отрезки АВ, ВС, АС – .
Виды треугольников
Рассортируйте треугольники по следующим категориям.
Разносторонний
Равнобедренный
Равносторонний
Треугольники
Сколько остроугольных треугольников изображено на рисунке? Выберите правильный ответ.
Треугольник и его виды
Взяли проволоку длиной 16 см и из неё сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Каков вид этого треугольника? Выберите правильный ответ.
Занимательные треугольники
Сколько прямоугольных треугольников изображено на рисунке? Подчеркните правильный ответ.
Периметр треугольника
Одна из сторон треугольника равна 20 см, она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей. Чему равен периметр треугольника? Выделите цветом правильный ответ.
45 см ; 55 см ; 65 см ; 35 см
Периметр треугольника
В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон – 7 см и 4 см. Чему может быть равен периметр треугольника?
Читайте также: