Транспонирование матрицы это замена
Обновлено: 07.07.2024
В математике транспонированная матрица , зеркальная матрица или инвертированная матрица - это матрица, которая создается путем обмена ролями строк и столбцов данной матрицы. Первая строка транспонированной матрицы соответствует первому столбцу выходной матрицы, вторая строка - второму столбцу и так далее. Транспонированная матрица явно создается путем отражения выходной матрицы по ее главной диагонали . Процесс преобразования матрицы в ее транспонированную матрицу называется транспонированием , транспонированием или переворачиванием матрицы.
Отображение транспозиции, которое назначает его транспонирование матрице, всегда биективно , линейно и самообратно . Что касается сложения матриц, это обеспечивает изоморфизм , но относительно умножения матриц это антиизоморфизм , то есть порядок умножения матриц меняется на противоположный путем транспонирования. Многие параметры матриц, такие как трек , ранг , определитель и собственные значения , сохраняются при транспонировании.
В линейной алгебре транспонированная матрица используется, среди прочего, для характеристики специальных классов матриц. Транспонированная матрица также отображение матрица с двойным отображением с линейным отображением между двумя конечномерными векторными пространствами относительно соответствующих двойных оснований . Кроме того, это также матрица отображения сопряженного отображения между двумя конечномерными пространствами вещественных скалярных произведений относительно соответствующих ортонормированных базисов . Концепция транспонирования матрицы была введена в 1858 году британским математиком Артуром Кэли .
Оглавление
определение
Если поле (на практике в основном поле действительных или комплексных чисел ), то она связана с данной матрицей K
транспонированная матрица, определяемая как
Примеры
Транспонирование матрицы ( вектора-строки ) создает матрицу ( вектор-столбец ) и наоборот: ( 1 × 3 ) ( 3 × 1 )
Квадратная матрица сохраняет свой тип за счет транспонирования , но все элементы отражаются на главной диагонали:
Путем транспонирования матрицы создается матрица, в которой первая строка соответствует первому столбцу выходной матрицы, а вторая строка соответствует второму столбцу выходной матрицы: ( 3 × 2 ) ( 2 × 3 )
характеристики
общее
Следующее применяется к транспонированию суммы двух матриц одного типа. А. знак равно ( а я j ) , Б. знак равно ( б я j ) ∈ K м × п ), \ B = (b_ ) \ in K ^ >
( А. + Б. ) Т знак равно ( ( а я j ) + ( б я j ) ) Т знак равно ( а я j + б я j ) Т знак равно ( а j я + б j я ) знак равно ( ( а j я ) + ( б j я ) ) знак равно А. Т + Б. Т > = ((a_ ) + (b_ )) ^ > = (a_ + b_
Таким образом, транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных.
Скалярное умножение
Следующее применимо к транспонированию произведения матрицы со скаляром. А. знак равно ( а я j ) ∈ K м × п ) \ в К ^ > c ∈ K
Следовательно, транспонирование произведения матрицы на скаляр равно произведению скаляра на транспонированную матрицу.
Двойная транспозиция
Следующее применяется к транспонированию транспонирования матрицы. А. знак равно ( а я j ) ∈ K м × п ) \ в К ^ >
Таким образом, при двойном транспонировании выходная матрица всегда получается снова.
продукт
Следовательно, транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированного произведения, но в обратном порядке.
Обратный
Транспонирование регулярной матрицы также является правильным. Следующее относится к транспонированию обратной регулярной матрицы. А. ∈ K п × п >
а значит и обратная матрица тоже . Таким образом, транспонированная обратная матрица равна обратной транспонированной матрице. Эта матрица иногда также обозначается как. ( А. - 1 ) Т ) ^ >> А. Т <\ Displaystyle А ^ >> А. - Т >
Экспонента и логарифм
Относится к в матрице экспоненты транспонированной реальной или комплексной квадратной матрицы А. ∈ K п × п ^ >
Соответственно, транспонирование регулярной вещественной или комплексной матрицы применяется к матричному логарифму
Отображение транспозиции
который назначает его транспонирование матрице, называется отображением транспонирования . Благодаря указанным выше законам отображение транспозиции имеет следующие свойства:
Блочные матрицы
Транспонирование блочной матрицы с разделами на строки и столбцы осуществляется через р s
дано. Он создается путем зеркального отображения всех блоков на главной диагонали и последующего транспонирования каждого блока.
Параметры
классифицировать
Для матрицы , то ранг транспонированной матрицы такой же , как и выходной матрицы: А. ∈ K м × п >
Изображение фигуры будет поддерживаться на векторах - столбцов из зажимает в то время как изображение изображения из векторов - строк из натянутых. В размеры этих двух фотографий всегда совпадают. Икс ↦ А. Икс А. Икс ↦ А. Т Икс > х> А.
отслеживать
Для квадратной матрицы , то след (сумма основных диагональных элементов ) транспонированной матрицы равен следу матрицы выходов: А. ∈ K п × п >
Это связано с тем, что диагональные элементы транспонированной матрицы совпадают с элементами выходной матрицы.
Детерминант
Для квадратной матрицы , то определитель транспонированной матрицы равен определителю матрицы выходов: А. ∈ K п × п >
спектр
Для квадратной матрицы из-за инвариантности определителя при транспонировании характеристический полином транспонированной матрицы также идентичен таковому для выходной матрицы: А. ∈ K п × п >
Следовательно, собственные значения транспонированной матрицы совпадают с собственными значениями выходной матрицы, поэтому два спектра совпадают:
сходство
Каждая квадратная матрица является похожа на транспонированном, то есть: существует регулярная матрица , такая , что А. ∈ K п × п > С. ∈ K п × п >
применяется. Матрицу можно даже выбрать симметричной . Из этого следует, среди прочего, что квадратная матрица и ее транспонированная матрица имеют одинаковый минимальный многочлен и, при условии, что ее характеристический многочлен полностью разделен на линейные множители , также имеют одинаковую жорданову нормальную форму . С.
Нормы
дано. Относится к в норме Фробениуса и спектральной нормы транспонированной реальной или комплексной матрицы А. ∈ K м × п > ^ >
Норма строки суммы и столбец сумма норма транспонированного и выходная матрица связаны следующим образом :
Скалярные произведения
дано. Что касается стандартного скалярного произведения, вещественная матрица и ее транспонирование обладают свойством смещения А. ∈ Р. м × п ^ >
ведь матрицы под дорожкой можно менять циклически .
использовать
Специальные матрицы
Транспонированная матрица используется в ряде определений линейной алгебры:
- Симметричная матрица представляет собой квадратную матрицу , которая равна транспонированной: А. Т знак равно А. > = А>
- Кососимметрична квадратная матрица, равная отрицательному ее транспонированной: А. Т знак равно - А. > = - A>
- Эрмитова матрица представляет собой комплекс квадратной матрицы, транспонирование которой равен его конъюгат : А. Т знак равно А. ¯ > = >
- Перекос эрмитова матрица представляет собой комплекс квадратной матрицы, транспонирование которой равен отрицательный его конъюгат: А. Т знак равно - А. ¯ > = - >
- Ортогональная матрица является квадратной матрицей, транспонирование которой равнозначно обращению: А. Т знак равно А. - 1 > = А ^ >
- (Реальная) нормальная матрица - это вещественная квадратная матрица, которая коммутирует со своим транспонированием : А. Т А. знак равно А. А. Т > A = AA ^ >>
- Для любой вещественной матрицы две матрицы Грама и всегда симметричны и положительно полуопределены . А. Т А. > A> А. А. Т <\ Displaystyle AA ^ >>
- Диадическое произведение двух векторов и дает матрицу . Икс у Икс у Т <\ displaystyle xy ^ >>
Билинейные формы
с регулярной матрицей тогда и только тогда, когда и представляют одну и ту же билинейную форму относительно, возможно, различных базисов. С. ∈ K п × п > А. Б. б : V × V → K
Двойные сопоставления
Матрица отображения двойственного отображения по отношению к дуальным базам, следовательно, в точности является транспонированной матрицей отображения прямого отображения по отношению к прямым базам. В физике это понятие используется для ковариантных и контравариантных векторных величин.
Присоединенные отображения
В реальных матрицах , таким образом , что приводит к заданной матрице присоединенной матрице просто транспонированная матрица, то есть . В функциональном анализе это понятие обобщается на сопряженные операторы между бесконечномерными гильбертовыми пространствами. А. * знак равно А. Т = A ^ >>
Перестановки
Транспонированная матрица также определяет специальные перестановки . Если числа от до записываются строка за строкой в матрицу, а затем считываются снова столбец за столбцом (что в точности соответствует транспонированию матрицы), результатом является перестановка этих чисел, которая ( м × п ) 1 м ⋅ п π
π ( п ( я - 1 ) + j ) знак равно я + м ( j - 1 )
для и можно указать. Число недостатков и , таким образом , также знак из может быть явно проходит через я знак равно 1 , . , м j знак равно 1 , . , п π
определять. В теории чисел , например, в лемме Золотарева , эти перестановки используются для доказательства квадратичного закона взаимности .
Обобщения
В более общем смысле можно также рассматривать матрицы с элементами из кольца (возможно, с одним ), в результате чего сохраняется большая часть свойств транспонированных матриц. Однако в произвольных кольцах ранг столбца матрицы не обязательно должен совпадать с рангом ее строки. Формула произведения и детерминантное представление действительны только в коммутативных кольцах .
Нам уже знакомо понятие матрицы. Этот математический объект имеет прикладное значение: он позволяет структурировать числа и информацию, проводить сложные расчёты. С ним можно проделывать различные операции, и одной из них является транспортирование.
Что такое транспонированная матрица, в чем отличие от обычной
Транспонирование – это алгоритм, при котором m-строки меняются местами с n-столбцами.
Транспонированная матрица, в отличие от обычной, помогает получить одинаковый результат при умножении на вектор-столбец и вектор-строку, что значительно упрощает дальнейшие математические вычисления.
Особенности, определитель и свойства целочисленных
Свойства транспортирования целочисленных матриц:
- (A T ) T = A;
- (k · A) T = k · AT;
- (A + B) T = A T + В T ;
- (A · B) T = В T · A T
Если матрица А – квадратная (m=n), то определитель исходной и транспортированной матрицы равны: det A T = det A.
Напомним, что определитель – это некоторое число, с которым можно сравнить любую квадратную матрицу.
Формула, как обозначается транспонированная матрица
Если исходная матрица обозначается как А, то у транспортированной будет обозначение A T .
Тогда формула для транспортировки выглядит следующим образом:
A T ij = A ji
Формально, если А = m × n, то A T = n × m, но математически это записывается через индексы i и j.
Примеры задач на транспонирование матриц
Само транспортирование – довольно лёгкий процесс. Рассмотрим один пример.
Задача: даны А = (m × n) и В = (m × n).
Необходимо выполнить транспортирование.
Произведение и сумма транспонированных матриц
Теорема: транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
Пусть — произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:
Пример 1.18. Найти транспонированные матрицы , если
Решение. Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы Аналогично находим
Так как — симметрическая.
Пример 1.19. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если
Решение. Продемонстрируем свойство 1: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 2: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы
Продемонстрируем свойство 3: . Вычисляя левую и правую части, получаем равные матрицы:
Продемонстрируем свойство 4: . Вычисляя левую часть, получаем правую:
Пример 1.20. Пусть — симметрические, а матрица — кососимметрическая.
Решение. По свойствам 3,4 получаем:
Сопряжение матриц
Решение. Найдем транспонированные матрицы:
Заменим все элементы сопряженными:
Заметим, что матрица — эрмитова, так как .
Свойства операции сопряжения матриц
где — произвольные матрицы, для которых определены соответствующие операции, — любое комплексное число, — сопряженное к Пример 1.22. Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, если
Решение. 1. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 1:
2. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства 2:
3. Вычисляем и сравниваем левую и правую части равенства
4. Вычисляем левую часть равенства 4 и сравниваем ее с правой частью:
Пример 1.23. Пусть — эрмитовы m-го и n-го порядков соответственно.
Решение. Используя свойства 3, 4, получаем:
что и требовалось доказать.
1. Эрмитова матрица с действительными элементами является симметрической.
След матрицы
Следом квадратной матрицы называется сумма ее элементов, стоящих на главной диагонали. След квадратной матрицы
Для любых квадратных матриц n-го порядка и столбцов размеров справедливы следующие свойства:
Замечание 1.6. След матрицы также обозначается .
Пример 1.24. Даны квадратные матрицы и столбцы . Продемонстрировать справедливость свойств 1, 2, 3, 4, 5, 7.
Так же,как в определителях, транспонирование - это замена строк столбцами: еслиА = , то А = . Приведем основные свойства транспонирования, которые легко доказываются вычислением:
1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: (А ) =А.
2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: (А+В) =А +В .
3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (АВ) =В А .
4. Произведение матрицы на свою транспонированную: А А или АА всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.
5. Если матрица А- квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: D(A)=D(A ).
Обратная матрица
Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если D=0, то заданная матрица обратной не имеет и называется особенной (или вырожденной).
Матрица А называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство: А А=АА =Е.
Алгоритм вычисления А покажем на примере А= по шагам:
1. Вычисляем определитель D= . Если D=0, то работа прекращается с заключением: А- вырожденная матрица.
2. Вычисляем все адъюнкты матрицы А: А =Ad , A =Ad , . A =Ad .
3. Из вычисленных адъюнктов составляем союзную (или присоединенную) матрицу А с = . Обратим внимание, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице А.
4. Вычисляем обратную матрицу А = А с
5. Если расчет проводится вручную, то выполняется проверка: А А= Е или AA =Е.
Перечислим основные свойства обратной матрицы:
1. D(A )= .
2. (АВ) =В А , т.е. при раскрытии скобок порядок сомножителей меняется на обратный.
3. (А ) =(А ) , т.е. операции обращения и транспонирования можно менять местами.
В заключение отметим, что из-за арифметического объема работы с определителями, использование описанной процедуры ограничивается матрицами второго и третьего порядков.
Матричные уравнения
Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме: = или А = .
Умножим полученное матричное уравнение на матрицуА слева: А А = А , откуда = А , т.е. при известной матрице А можно получить решение для произвольных значений b в векторе . Относительно привычного нам вектора отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: АХ=В Х= А В;ХА=В Х= В А - здесь для получения ответа надо умножить уравнение на А справа.
Читайте также: