В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления

Обновлено: 02.07.2024

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Козлов Анатолий Васильевич, Козлов Валентин Анатольевич

Авторы статьи рассматривают задачу, стоящую перед разработчиками при использовании математического моделирования в процессе проектирования систем автоматического регулирования непрерывного действия.

Текст научной работы на тему «Математические модели в системах управления. Некоторые особенности математического моделирования на ЭВМ»

ПРИКЛАДНАЯ МА ТЕМА ТИКА

А.В. Козлов, В.А. Козлов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ

A. V. Kozlov, V.A. Kozlov

MATHEMATICAL MODELS IN CONTROL SYSTEMS.

SOME SPECIALS OF MATHEMATICAL MODELING ON COMPUTER.

Ключевые слова: математическое описание, входные и выходные сигналы, y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие; e(t) - рассогласование сигналов; g(t) - задающее воздействие, система автоматического регулирования непрерывного действия.

Key words: the mathematical description, input and output signals, y (t) - the operated parameter; u (t) - operating influence; f (t) - revolting influence; e (t) - mismatch of signals; g (t) -master control, system of automatic control of continuous action.

The authors of the article consider the problem that the developers face when using mathematical modeling in designing systems of automatic control of continuous action.

В современной практике проектирования больших промышленных систем часто используется эмпирический подход. Это объясняется тем, что большую систему принципиально невозможно точно описать и предсказать ее поведение. Единственный метод, позволяющий облегчить проектирование (а часто и эксплуатацию) такой системы,- это моделирование и в первую очередь - математическое.

При использовании математического моделирования разработчик должен прежде всего определить, как создать (получить, разработать) модель. Математическое описание является отражением физической сущности процесса со свойственными ему особенностями и ограничениями. Эти особенности и ограничения должны учитываться как при формулировании задачи, так и при составлении описания и выборе численного метода моделирования.

Существует несколько видов математических описаний, однако наиболее распространенными являются детерминированные и статистические.

Другой задачей, стоящей перед разработчиком при использовании моделирования в процессе проектирования, является подготовка математической модели. При решении этой задачи модель приводится к какой-либо стандартной структурной схеме дискретного процесса, а система уравнений - к дискретной форме, что позволяет использовать ЭВМ. Этот этап моделирования завершается математическим описанием технологических процессов и структурной схемой всей моделируемой системы, которая должна быть идентична структурной схеме промышленной системы по потоку информации.

Составление математического описания состоит в установлении связей между параметрами процесса и выявлении его граничных и начальных условий, а также в формализации процесса в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). Математическое описание составляется на основе материальных и энергетических балансов, а также физических законов, определяющих переходные или какие-либо иные специфические особенности процесса.

Например, математическое описание систем автоматического регулирования непрерывного действия.

На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:

у(;) - управляемый параметр; и(^ - управляющее воздействие; ДХ) - возмущающее воздействие; e(t) - рассогласование сигналов; ё(;) - задающее воздействие. Значения этих параметров в моменты времени ;2, Ъ дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией в(и,Г,уХ а регулятора - функцией 0(е,и), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида

и (;) = 0 [ е, е (1), . е (п), и(1) , . и(ч)]; (2)

Переменные и и е - внутренние, математически их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:

у = Б [ у(1), . у(п) , Г, ^ , .Г , ё, ё(1) , . ё(т) ]. (4)

Здесь под у(1) , Г® , ё(1) понимаются соответствующие производные. Уравнение (4) называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана, особенно если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру. Если Б - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия (в нашем случае в точке, характеризующей установившееся состояние). Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что у(;) является функцией нелинейной, а Б - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (4), приравняв производные по времени к нулю: уо = Б (0, . 0, й, 0, . 0, го, 0, . 0).

Тогда в системе возникает переходной процесс:

Поскольку функция Б - аналитическая, ее можно представить рядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с откидываемыми малыми величинами:

dt dt dt ^ поскольку = const,

поэтому символ приращения А можно опустить. Введем коэффициенты a i, с i, b i, равные частным производным функции F по g, f, у соответственно в точке равновесия. Перепишем уравнение динамики с учетом введенных переменных:

Уравнение (5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения различают модели с постоянными (детерминированными, стационарными) коэффициентами, с переменными (недетерминированными, нестационарными) параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых интервалах времени. По виду временных функций различают модели непрерывные, дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система управления, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. Итак, системы управления по виду уравнений динамики разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и одномерные, непрерывные и дискретные.

Практически математическое моделирование как метод не имеет ограничений, так как: моделирующая система может одновременно содержать описания элементов непрерывного и дискретного действия и быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы; допустимо описание системы соотношения большой (размерности; обеспечивается простота перехода от одной задачи к другой введением переменных параметров, возмущений и различных начальных условий.

Последовательным наращиванием элементов моделей можно исследовать системы любой сложности, для которых достаточно полно известны функционирование и взаимосвязь относительно несложных исходных элементов. При этом переход на более высокий уровень моделирования звеньев системы связан с увеличением количества участвующих в модели элементов, что приводит к необходимости их упрощения или к представлению в виде обобщенных характеристик, полученных на предыдущем этапе имитации. При этом объем моделей сохраняется в некоторых допустимых пределах.

По сравнению с физическим метод математического моделирования более универсален, так как он: позволяет с помощью одного устройства осуществить решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание; обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введение переменных параметров, возмущений и различных начальных условий; дает возможность моделировать по частям, что особенно существенно при исследованиях сложных объектов; использует быстродействующую вычислительную технику, которая непрерывно совершенствуется; экономичнее метода физического моделирования как по затратам времени, так и по стоимости.

Математические модели все шире используются непосредственно в системах управления. Подобные модели необходимы для исследования и совершенствования управления техническими системами и применяются в автоматизированных системах управления как на

стадии проектирования, так и эксплуатации. Для решения задач управления моделируются реакции объекта, управляющие воздействия, структура системы управления и контроля и так далее, т. е. имитируются процессы, происходящие в управляющей части системы.

Модель в этом случае входит как структурный элемент в проект автоматизированной системы управления. В такой модели необходимо различать: условия нормального функционирования (например, управление по каналам обратной и прямой связей, статическую и динамическую оптимизацию, адаптивное управление, групповое управление); критические ситуации, когда способ управления зависит от информации о типе и глубине отказа; пусковые и аварийные режимы, когда некоторые элементы программного управления могут зависеть от значений параметров и состояния системы.

Методы математического моделирования в проектировании и технологии промышленных систем управления обладает некоторыми особенностями:

1. Количественный и качественный выигрыши от применения математического моделирования на ЭВМ состоят в следующем:

- полностью или частично отпадает необходимость в длительном и трудоемком этапе изготовления лабораторного макета или полупромышленной установки; в затратах на комплектующие изделия, материалы и конструктивные элементы, необходимые для изготовления макетов и установок; в измерительных приборах и оборудования для испытаний системы;

- значительно сокращается время определения характеристик (а следовательно, и доводки объекта) и время испытаний;

- появляется возможность разрабатывать системы, содержащие элементы, характеристики которых известны, но самих элементов, разработчика нет в настоящее время; имитировать воздействия, воспроизведение которых при натурных испытаниях затруднено, требует сложного оборудования, сопряжено с опасностью для установки или экспериментатора, а иногда вообще невозможно; легко получать дополнительные характеристики объекта, которые сложно или невозможно получить с помощью измерительных приборов (характеристики параметрической чувствительности, частотные и пр.).

2. Метод математического моделирования, как любой численный метод, обладает существенным недостатком: решение всегда носит частный характер, соответствуя фиксированным значениям параметров системы и начальных условий. Поэтому для всестороннего анализа системы приходится многократно моделировать ее процесс функционирования, варьируя исходные данные.

3. При решении всех задач проектирования с использованием математического моделирования первоочередным вопросом является получение необходимой точности. Недостаточная точность моделируемых данных может привести к ложным выводам или выбору неправильного варианта технологического процесса (либо параметра, что менее опасно). В случае моделирования на ЭВМ инструментальную точность ограничивают два существенных фактора: надежность ЭВМ (или, точнее, вероятность случайного сбоя в процессе счета) и точность формирования случайных чисел при статистических исследованиях и моделировании. При отсутствии двойного счета ошибки вследствие случайного сбоя ЭВМ входят непосредственно в результаты моделирования и вносят трудно устранимую дополнительную погрешность, которая может быть значительной, особенно при малых вероятностях исследуемых событий. Случайные сбои при решении ряда задач могут быть обнаружены визуальным контролем с помощью графических дисплеев, сопряженных с ЭВМ, на которой выполняется моделирование.

4. Представление процессов реальных непрерывных систем при моделировании в виде ряда дискретных чисел (состояний) сопряжено с дополнительной потерей точности. Поэтому представление состояний модели и входных сигналов не может быть выбрано произвольно, а зависит от требуемой точности результатов, характеристик этих сигналов и особенностей моделируемой системы и должно быть специально рассчитано.

Читайте также:

В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Козлов Анатолий Васильевич, Козлов Валентин Анатольевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Козлов Анатолий Васильевич, Козлов Валентин Анатольевич

Текст научной работы на тему «Математические модели в системах управления. Некоторые особенности математического моделирования на ЭВМ»