В какой системе счисления работает компьютер
Обновлено: 08.07.2024
В вычислительной технике используются позиционные системы счисления. Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.). Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:[1]
Каждая степень в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:[1]
Построение такой записи числа называют позиционным кодированием числа, а саму запись — позиционным кодом числа. Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:
С помощью n позиций в b-ричной системе счисления можно записать целые числа от 0 до bn − 1, то есть, всего bn различных чисел.
Позиционные системы счисления
(1) или , где p — основание системы счисления, целое положительное число; a — cимвол (цифра); n — номер старшего разряда числа. Обозначения цифр берутся из алфавита, который содержит p символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эквивалент. Обозначение ak следует понимать как цифру в k-м разряде. Всегда выполняется неравенство: ak<p. Запись A(p) указывает, что число А представлено в системе счисления с основанием р: (2)
(3) Например, число 101101(2) можно записать так: 101101(2) = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 Двоичная система счисления имеет особую значимость в информатике: внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается набором символов только из двух знаков 0 и 1. Шестнадцатеричная система счисления имеет набор цифр , p = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе счисления требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, шесть остальных — первых шесть прописных букв латинского алфавита. По формуле (1) шестнадцатеричное число может быть представлено так: (4) Пример 1. Число E7F8140 по формуле (4) запишется так:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2k 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 16k 16 256 4096 65536 1048576 Соответствие чисел в различных системах счисления Десятичная Шестнадцатеричная Двоичная 0 0 0 1 1 1 2 2 10 3 3 11 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111
В вычислительной технике наиболее часто выполняется операция сложения. Пусть заданы два целых положительных числа в позиционной системе счисления с основанием р. Запишем эти числа в виде: (5) (6) Сумма этих чисел равна числу, которое может быть записано в аналогичном виде: (7)
• операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых; • в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы; • если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше — то равен единице.
Правила сложения Правила вычитания Правила умножения 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 Примеры 1. Сложить два числа: 1010(2) + 10101(2) = 11111(2) 2. Найти разность двух чисел 10101(2) и 1010(2): 10101(2) - 1010(2) = 1011(2) 3. Умножить два числа 1011(2) и 101(2): 1011(2) * 101(2) = 110111(2)
1. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания счисления. 2. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.
12345667(8) = 001 010 011 100 101 110 110 111(2) =
1100111(2) = 001 100 111(2) = 147(8).
12345ABCDEF(16) = 1 0010 0011 0100 0101 1010 1011 1100 1101 1110 1111(2); 11001111010 1110(2) = 0110 0111 1010 1110(2) = 67AF(16).
Алфавит системы счисления — это перечень символов, используемый в конкретной системе счисления.
Основание системы счисления — это количество символов в её алфавите.
В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.
Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).
Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.
Представим десятичное число \(652,17\) в развёрнутом виде.
Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с \(0\). Цифра \(2\) находится в разряде единиц, ставим над ней \(0\), далее разряд десятков — над цифрой \(5\) ставим \(1\) и т. д.
Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:
652,17 10 = 6 × 10 2 + 5 × 10 1 + 2 × 10 0 + 1 × 10 − 1 + 7 × 10 − 2 .
Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток (\(1\)), нет тока (\(0\)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.
Запишем двоичное число \(111001,101\) в развёрнутом виде.
111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.
Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа \(452,214\).
452,214 8 = 4 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 2 × 8 − 1 + 1 × 8 − 2 + 4 × 8 − 3 .
Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.
Когда мы вводим слова на компьютер, он переводит их в числа. Фактически, для компьютера вся информация записывается как последовательность единиц и нулей. Компьютерные системы счисления — это то, как мы представляем числа в архитектуре компьютерной системы.
Системы счисления — одно из самых фундаментальных понятий, которое компьютерные ученые должны изучить. Это важный шаг для всех, кто хочет стать компьютерным ученым или программистом.
Сегодня мы познакомим вас с системами счисления, которые необходимы специалисту по информатике. Мы глубоко погрузимся в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.
Что такое система счисления в информатике?
Люди считают уже давно. Для этого мы используем системы, которые связывают уникальные символы с определенными значениями. Это называется числовой системой, и это метод, который мы используем для представления чисел и управления ими.
Система счисления должна иметь уникальные символы для каждого значения, быть последовательной, обеспечивать сопоставимые значения и легко воспроизводимой.
Вы, вероятно, больше всего знакомы с десятичной системой, которая лежит в основе того, как люди считают. Десятичная система имеет основание 10, потому что она предоставляет 10 символов для представления всех чисел:
Люди используют десятичную систему счисления, потому что у нас есть 10 пальцев, на которые можно рассчитывать, но машины не могут позволить себе такой роскоши. Итак, мы создали другие системы счисления, которые выполняют те же функции. Компьютеры представляют информацию иначе, чем люди, поэтому нам нужны разные системы для представления чисел.
Компьютеры поддерживают следующие системы счисления:
- Двоичный
- Восьмеричный
- Десятичный
- Шестнадцатеричный
Введение в двоичную систему счисления
Компьютер использует биты для представления информации. Бит — это самая основная единица хранения в компьютере. Важный компонент компьютеров называется транзистором. Так же, как выключатель света, транзистор либо пропускает, либо предотвращает протекание тока. Итак, у него всего два состояния: включено и выключено.
Каждое число в компьютере — это электрический сигнал. На заре компьютеров электрические сигналы представляли собой состояние «включено» (отрицательный заряд) и состояние «выключено» (положительный заряд). Это образует своего рода бинарный переключатель.
Эти два состояния могут быть представлены одним из двух символов: 1 и 0. Это означает, что основание двоичной системы счисления равно 2. Для представления каждого числа нужны только символы.
Базовые цифры для двоичной системы просты: 0 для представления низкого состояния и 1 для представления высокого состояния.
Вместо того, чтобы представлять числа как отдельные единицы (например, число 10 или 400), мы используем группы единиц и нулей. Например, вот как это выглядит, когда компьютер считает до 10:
Это называется двоичной системой счисления. Каждая двоичная цифра называется битом. Когда дело доходит до размещения значений и цифр в этой системе, мы размещаем значения, соответствующие возрастающей степени 2 слева направо.
Самая правая цифра называется младшим значащим битом (LSB), а крайняя левая цифра — самым старшим битом (MSB).
Вы можете манипулировать битами влево и вправо с помощью побитовых операторов, чтобы эффективно изменять значение числа на уровне машинного кода.
Преобразование между десятичным и двоичным числами
Теперь, когда мы знаем основы двоичной системы, давайте узнаем, как преобразовывать десятичную систему в двоичную. Начнем с преобразования двоичного числа в десятичное.
Мы знаем, что двоичная система имеет разрядные значения степени 2. Эти значения являются весами для цифр (0 или 1) в этих позициях. Вот как это работает:
Умножаем каждую цифру на ее вес (ее позиция умножаем на 2)
Суммируем их все, чтобы получить десятичное число
Итак, возьмем двоичное число 11111010 и переведем его в десятичную систему счисления.
Теперь попробуем наоборот. Как преобразовать десятичное число в двоичное? Один из способов сделать это — повторное деление, что очень удобно.
Итак, возьмем число 19. Начнем с деления его на два и выписки остатка. Когда мы разделим 19 на 2, мы получим 9 с остатком 1.
Затем мы берем 9 и делим его на 2, что дает нам результат 4 с остатком 1. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до нуля. Остатки, которые мы собрали, составляют наше двоичное число!
Многократное деление на 2 и отслеживание остатков — это быстрый способ преобразования десятичной дроби в двоичную!
Введение в шестнадцатеричную систему счисления
Теперь, когда мы немного узнали о двоичной системе, давайте узнаем о другой общей системе, используемой компьютерами: шестнадцатеричной системе счисления.
Двоичные числа просты для компьютеров, но не так просты для понимания людьми. А когда вы работаете с большими числами, становится сложно писать без ошибок. Итак, чтобы решить эту проблему, мы можем разделить двоичные числа на группы из четырех битов, образуя шестнадцатеричную систему счисления.
Шестнадцатеричная система представляет собой более компактный способ представления чисел на компьютере, поскольку для представления значения цифры требуется всего 4 бита.
Шестнадцатеричная система (часто называемая «шестнадцатеричной») состоит из 16 символов, поэтому ее основание составляет 16. В шестнадцатеричной системе используются 10 чисел десятичной системы и шесть дополнительных символов: A, B, C, D, E и F..
Как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное
Теперь, когда мы понимаем как двоичную, так и шестнадцатеричную системы счисления, давайте узнаем, как преобразовывать двоичное число в шестнадцатеричное. Мы начинаем с двоичного числа в шестнадцатеричном.
Мы сгруппируем двоичные цифры в наборы по четыре (начиная сверху). Затем мы заменяем каждый квартет соответствующим шестнадцатеричным представлением.
Теперь преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное! Давайте рассмотрим пример. Ниже мы расширяем каждую шестнадцатеричную цифру, заменяя ее эквивалентным двоичным квартетом.
Что такое восьмеричная система счисления?
Восьмеричная система счисления не так широко используется, как шестнадцатеричная двоичная. Он был разработан по той же идее, что и шестнадцатеричная система: сделать двоичную систему более компактной.
В восьмеричной системе двоичные числа группируются в тройки вместо квартетов. Итак, восьмеричная система — это основание-8, так как2 ^ 3 = 82Взаимодействие с другими людьми3Взаимодействие с другими людьмиВзаимодействие с другими людьми= 8.
Мы используем восемь основных символов для восьмеричной системы, которые заимствованы из десятичной системы. Двоичные триплеты могут иметь значения в диапазоне от0-70 — 7.
Значения разряда будут возрастать по возрастанию 88 справа налево.
Чтобы преобразовать двоичное в восьмеричное, мы следуем этой базовой технике:
- Сгруппируйте двоичное число в наборы по три (аналогично тому, что мы сделали с шестнадцатеричным).
- Довести каждую группу цифр до числа, кратного трем, путем добавления нулей
- Напишите соответствующий восьмеричный символ под каждой группой.
- Теперь у вас будет восьмеричное число
Преобразование восьмеричного числа в двоичное аналогично, но немного проще:
- Запишите двоичное представление для каждой восьмеричной цифры
- Соедините эти числа вместе
- У вас не будет двоичного числа
Что изучать дальше
Поздравляю! Теперь у вас есть хорошее введение в системы счисления для информатики. Вы сделали свой первый фундаментальный шаг в мир компьютерного программирования. Однако предстоит еще многому научиться. Следующие ваши шаги — узнать:
Когда мы вводим слова на компьютер, он переводит их в числа. Фактически, для компьютера вся информация записывается как последовательность единиц и нулей. Компьютерные системы счисления — это то, как мы представляем числа в архитектуре компьютерной системы.
Системы счисления — одно из самых фундаментальных понятий, которое компьютерные ученые должны изучить. Это важный шаг для всех, кто хочет стать компьютерным ученым или программистом.
Сегодня мы познакомим вас с системами счисления, которые необходимы специалисту по информатике. Мы глубоко погрузимся в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.
Что такое система счисления в информатике?
Люди считают уже давно. Для этого мы используем системы, которые связывают уникальные символы с определенными значениями. Это называется числовой системой, и это метод, который мы используем для представления чисел и управления ими.
Система счисления должна иметь уникальные символы для каждого значения, быть последовательной, обеспечивать сопоставимые значения и легко воспроизводимой.
Вы, вероятно, больше всего знакомы с десятичной системой, которая лежит в основе того, как люди считают. Десятичная система имеет основание 10, потому что она предоставляет 10 символов для представления всех чисел:
Люди используют десятичную систему счисления, потому что у нас есть 10 пальцев, на которые можно рассчитывать, но машины не могут позволить себе такой роскоши. Итак, мы создали другие системы счисления, которые выполняют те же функции. Компьютеры представляют информацию иначе, чем люди, поэтому нам нужны разные системы для представления чисел.
Компьютеры поддерживают следующие системы счисления:
- Двоичный
- Восьмеричный
- Десятичный
- Шестнадцатеричный
Введение в двоичную систему счисления
Компьютер использует биты для представления информации. Бит — это самая основная единица хранения в компьютере. Важный компонент компьютеров называется транзистором. Так же, как выключатель света, транзистор либо пропускает, либо предотвращает протекание тока. Итак, у него всего два состояния: включено и выключено.
Каждое число в компьютере — это электрический сигнал. На заре компьютеров электрические сигналы представляли собой состояние «включено» (отрицательный заряд) и состояние «выключено» (положительный заряд). Это образует своего рода бинарный переключатель.
Эти два состояния могут быть представлены одним из двух символов: 1 и 0. Это означает, что основание двоичной системы счисления равно 2. Для представления каждого числа нужны только символы.
Базовые цифры для двоичной системы просты: 0 для представления низкого состояния и 1 для представления высокого состояния.
Вместо того, чтобы представлять числа как отдельные единицы (например, число 10 или 400), мы используем группы единиц и нулей. Например, вот как это выглядит, когда компьютер считает до 10:
Это называется двоичной системой счисления. Каждая двоичная цифра называется битом. Когда дело доходит до размещения значений и цифр в этой системе, мы размещаем значения, соответствующие возрастающей степени 2 слева направо.
Самая правая цифра называется младшим значащим битом (LSB), а крайняя левая цифра — самым старшим битом (MSB).
Вы можете манипулировать битами влево и вправо с помощью побитовых операторов, чтобы эффективно изменять значение числа на уровне машинного кода.
Преобразование между десятичным и двоичным числами
Теперь, когда мы знаем основы двоичной системы, давайте узнаем, как преобразовывать десятичную систему в двоичную. Начнем с преобразования двоичного числа в десятичное.
Мы знаем, что двоичная система имеет разрядные значения степени 2. Эти значения являются весами для цифр (0 или 1) в этих позициях. Вот как это работает:
Умножаем каждую цифру на ее вес (ее позиция умножаем на 2)
Суммируем их все, чтобы получить десятичное число
Итак, возьмем двоичное число 11111010 и переведем его в десятичную систему счисления.
Теперь попробуем наоборот. Как преобразовать десятичное число в двоичное? Один из способов сделать это — повторное деление, что очень удобно.
Итак, возьмем число 19. Начнем с деления его на два и выписки остатка. Когда мы разделим 19 на 2, мы получим 9 с остатком 1.
Затем мы берем 9 и делим его на 2, что дает нам результат 4 с остатком 1. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до нуля. Остатки, которые мы собрали, составляют наше двоичное число!
Многократное деление на 2 и отслеживание остатков — это быстрый способ преобразования десятичной дроби в двоичную!
Введение в шестнадцатеричную систему счисления
Теперь, когда мы немного узнали о двоичной системе, давайте узнаем о другой общей системе, используемой компьютерами: шестнадцатеричной системе счисления.
Двоичные числа просты для компьютеров, но не так просты для понимания людьми. А когда вы работаете с большими числами, становится сложно писать без ошибок. Итак, чтобы решить эту проблему, мы можем разделить двоичные числа на группы из четырех битов, образуя шестнадцатеричную систему счисления.
Шестнадцатеричная система представляет собой более компактный способ представления чисел на компьютере, поскольку для представления значения цифры требуется всего 4 бита.
Шестнадцатеричная система (часто называемая «шестнадцатеричной») состоит из 16 символов, поэтому ее основание составляет 16. В шестнадцатеричной системе используются 10 чисел десятичной системы и шесть дополнительных символов: A, B, C, D, E и F..
Как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное
Теперь, когда мы понимаем как двоичную, так и шестнадцатеричную системы счисления, давайте узнаем, как преобразовывать двоичное число в шестнадцатеричное. Мы начинаем с двоичного числа в шестнадцатеричном.
Мы сгруппируем двоичные цифры в наборы по четыре (начиная сверху). Затем мы заменяем каждый квартет соответствующим шестнадцатеричным представлением.
Теперь преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное! Давайте рассмотрим пример. Ниже мы расширяем каждую шестнадцатеричную цифру, заменяя ее эквивалентным двоичным квартетом.
Что такое восьмеричная система счисления?
Восьмеричная система счисления не так широко используется, как шестнадцатеричная двоичная. Он был разработан по той же идее, что и шестнадцатеричная система: сделать двоичную систему более компактной.
В восьмеричной системе двоичные числа группируются в тройки вместо квартетов. Итак, восьмеричная система — это основание-8, так как2 ^ 3 = 82Взаимодействие с другими людьми3Взаимодействие с другими людьмиВзаимодействие с другими людьми= 8.
Мы используем восемь основных символов для восьмеричной системы, которые заимствованы из десятичной системы. Двоичные триплеты могут иметь значения в диапазоне от0-70 — 7.
Значения разряда будут возрастать по возрастанию 88 справа налево.
Чтобы преобразовать двоичное в восьмеричное, мы следуем этой базовой технике:
- Сгруппируйте двоичное число в наборы по три (аналогично тому, что мы сделали с шестнадцатеричным).
- Довести каждую группу цифр до числа, кратного трем, путем добавления нулей
- Напишите соответствующий восьмеричный символ под каждой группой.
- Теперь у вас будет восьмеричное число
Преобразование восьмеричного числа в двоичное аналогично, но немного проще:
- Запишите двоичное представление для каждой восьмеричной цифры
- Соедините эти числа вместе
- У вас не будет двоичного числа
Что изучать дальше
Поздравляю! Теперь у вас есть хорошее введение в системы счисления для информатики. Вы сделали свой первый фундаментальный шаг в мир компьютерного программирования. Однако предстоит еще многому научиться. Следующие ваши шаги — узнать:
Читайте также: