В классе 6 компьютеров для каждого компьютера вероятность того что
Обновлено: 04.07.2024
Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:
1) P(A)=1, если А – достоверное событие;
2) P(A)=0, если А – невозможное событие;
3) 0<P(A)<1, если А – случайное событие.
Существует несколько подходов к нахождению вероятности события: классический, геометрический, статистический, аксиоматический. Мы рассмотрим только классическое и статистическое определения вероятности.
Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности (или равновероятности). Это понятие относится к числу первичных, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых и доступных примеров. Например, выпадение одной из сторон монеты или одной из граней игральной кости – равновозможные события. Это утверждение опирается на повседневную практику и симметрию изучаемого объекта. Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из них могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или же приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в производственной практике). В таких опытах подсчет вероятностей производится проще всего. Не случайно первоначальное свое развитие теория вероятностей получила на материале азартных игр.
Говорят, что несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 2) «два попадания», «два промаха», «одно попадание» при двух выстрелах по мишени; 3) «появление хотя бы одного белого», «появление хотя бы одного черного» шара при вынимании двух шаров из урны. Несовместные события, образующие полную группу, называются элементарными событиями (или элементарными исходами). Отметим, что события первого и второго примеров являются элементарными, а третьего – нет, т. к. они совместны.
Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Например, при бросании одной игральной кости для события, состоящего в том, что выпадет не более двух очков, благоприятствующими элементарными исходами будут выпадение «1» или «2» очков.
Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
(15.1)
При вычислении вероятностей по классической схеме приходится решать фактически комбинаторные задачи. При решении конкретной комбинаторной задачи нужно вначале выяснить, каким способом вы будете ее решать, либо непосредственным применением принципов умножения и сложения, либо применением комбинаторных формул, но перед этим нужно выяснить какой вид комбинации имеется в задаче, важен ли в ней порядок или нет, допускаются повторения или нет.
Пример 15.1. В колоде 36 карт. Какова вероятность вынуть: а) туза; б) туза пик; в) тузы красного цвета; г) любую карту, кроме туза.
Решение. Найдем общее число возможных исходов. Поскольку вынимается только одна карта, то число всевозможных исходов будет n=36. Найдем число благоприятствующих исходов для каждого случая. а) В колоде всего четыре туза, следовательно, m1=4. Тогда
.
Б) Имеется всего один пиковый туз, т. е. m2=1 и
.
В) Тузов красного цвета в колоде два (черви и бубни), т. е. m3=2 и
.
Г) Карт, отличающихся от туза, в колоде всего m4=32. Следовательно, искомая вероятность будет равна
.
Пример 15.2. На школьной вечеринке разыгрывается 100 билетов, из них 25 – выигрышных. Главный приз – компьютер – 1, игровых приставок – 5 и остальные призы поощрительные – шариковые ручки. Какова вероятность того, что владелец одного билета: а) выиграет главный приз; б) выиграет ценный приз; в) хоть что-нибудь выиграет; г) выбросит деньги на ветер?
Решение. Очевидно, что общее исходов n=100. Рассмотрим каждую из ситуаций отдельно. а) Благоприятствующих исходов выиграть компьютер только один: m1=1. Поэтому вероятность выиграть компьютер будет
.
Б) Для второго случая , т. е. вероятность выиграть ценный приз
.
В) Всего выигрышных билетов m3=25, следовательно, вероятность хоть что-нибудь выиграть равна
.
8) Поскольку проигрышных билетов m4=75, то вероятность выбросить деньги на ветер, т. е. ничего не выиграть, равна
.
Пример 15.3. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных (синий и красный) шара.
Решение. Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:
Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m1=C22=1 способом, два разных цветных шара m2=C31×C51=3×5=15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m = m1+m2 = 16. Таким образом,
Пример 15.4. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?
Решение. Предположим, что равновозможны появления любой из 10 цифр во всех позициях телефонного номера. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно
Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторений
Таким образом, искомая вероятность (при сделанном предположении) будет равна
15.1. Зенитная батарея, состоящая из 3 орудий, производит залп по группе, состоящей из 4 самолётов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят: а) по разным самолётам; б) по одному и тому же самолёту.
Решение: В данной задаче важен порядок, т. е. различается, какое орудие и по какому самолету выстрелило. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с размещениями. Поскольку орудия могут выстрелить по одному и тому же самолету, то общее число возможных исходов будет равно числу размещений с повторениями .
А) Если все орудия выстрелят по разным самолетам, то будем иметь дело с размещениями без повторений. Тогда число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,
.
Б) Если все орудия выстрелят по одному и тому же самолету, то число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,
.
15.2. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью?
Ответ: .
15.3. Для уменьшения общего количества игр 10 команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.
Решение: В данной задаче порядок неважен, т. е. не принимается во внимание порядок отбора команд в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 10 на две равные подгруппы достаточно выбрать 5 команд, которые и образуют одну из подгрупп, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений команд на две равные подгруппы будет равно . Для того, чтобы разбить команды на две подгруппы с указанными условиями, можно поступить следующим образом. Либо выбрать две наиболее сильные команды (это можно сделать способами ), а затем добавить к ним 3 оставшиеся команды из оставшихся 8 не самых сильных команд ( способов). Либо выбрать сразу 5 команд из 8 не самых сильных команд ( способов). Тогда число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,
.
15.4. Шесть различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.
Ответ: .
15.5. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1, 2 и 3 не будут использованы.
Ответ: .
15.6. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара будут разного цвета.
Ответ: .
15.7. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны взяли три шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?
Ответ: .
При различных подходах к вероятности, величина P(A) может трактоваться по-разному. На практике часто используются статистическое определение вероятности, т. е. под вероятностью события A понимается величина
, (15.2)
Где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).
Пример 15.3. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:
1)6!/5!(6-5)!=6 вариантов включения по 5 компьютеров 2) 1-0,8=0,2- вероятность того, что комп отключен. 3) 6*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,2= 0,4 вероятность того, что 5 компов включено. Ответ:0,4.
Новые вопросы в Математика
Периметр прямоугольника равен 60 см. Найдите длины сторон прямоугольника, если одна его сторона на 6 см меньше другой.
В прямоугольной трапеции АВСД с основаниями ВСи АД большая боковая сторона равна 16 см. Найдите большее основание трапеции, если один из её углов раве … н 60°, а меньшее основание 7 см.Решите желательно с дано
Решите задачи: 1. Сколько трехзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры: а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5? 2. На собра … нии членов кооператива присутствуют 30 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать: а) правление кооператива в составе 5 человек; б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера? 3. Сколькими способами можно 30 шахматистов разбить на две группы по 15 человек так, чтобы двое наиболее сильных шахматистов оказались: а) в разных группах; б) в одной группе? 4. Из отряда солдат в 60 человек назначаются в караул 5 человек. а) Сколькими способами это можно сделать? б) Сколько среди них таких, что в число караульных попадет рядовой Петров? 5. Сколькими способами можно выбрать нечетное число предметов: а) из семи предметов? б) из восьми предметов? 6. В шахматном кружке 16 юношей и 10 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 10 юношей и 5 девушек. Сколькими способами это можно сделать? 7. Сколькими способами группу из 14 юношей и 6 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образовавшихся групп оказалось по 3 девушки? 8. Каждый из девяти человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий? 9. Сколько аккордов можно взять на 10 клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков? 10. Из 15 красных и 7 белых гладиолусов формируют букеты. Сколькими способами можно составить букеты из 4 красных и 3 белых гладиолусов?
В равнобедренной трапеции АВСД сумма двух углов равна 150° Найдите углы этой трапеции.
397. Турист за три дня прошел d км. в первый день он прошел 40 % пути, во второй - 1/3 его часть. Какой путь он прошел в третий день? пжжж срочно помо … гите
40 баллов за решение. Комбинаторика. Сколько различных слов, начинающихся с буквы "Н", каждое из которых состоит из 5 букв, можно составить из букв сл … ова "РОМАН"?
В лотерее 9000 билетов, 10 билетов выигрышных. Какова вероятность того что:
а) Вынутый билет выигрышный.
б) Из трех вынутых билетов один выигрышный;
в) Из трех вынутых билетов хотя бы один выигрышный;
А) С помощью классического определения вероятности:
- - число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события
N - общее число элементарных событий.
В) Вероятность того, что при этом событие наступит хотя бы один раз:
P=1-0,998 3 =0,006
В аудитории 7 компьютеров, для каждого компьютера вероятность того что он включен равна 0,3. Найдите вероятность того что в данный момент включено:
а) три компьютера;
б) не более двух компьютеров;
в) хотя бы один компьютер.
А) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:
Pn(k)=Cn k p k q n-k - формула Бернулли.
б) Вероятность того, что при этом событие A наступит не более k раз:
В) Вероятность того, что при этом событие A наступит хотя бы один раз:
P=1-0,7 7 =0,918
В первой бригаде производится в 10 раз больше продукции чем во второй, вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной, для первой бригады равна 0,6 а для второй 0,4. Найти:
а) Вероятность того что наугад взятая продукция стандартная;
б) Вероятность того что наугад взятая продукция изготовлена второй бригадой, если продукция оказалась нестандартной.
Обозначим события: А = «Продукция стандартная»
В1 = «Продукция производилась первой бригадой»
В2 = «Продукция производилась второй бригадой»
Для решения поставленной задачи используем формулу полной вероятности:
Б) Вероятность того что продукция изготавливалась второй бригадой, при условии что она не стандартная определим по формулам:
Дана плотность распределения случайной величины X:
А) Значение параметра A.
Б) Функцию распределения FX(x).
В) Значения M(x), D(x), σ (x).
Г) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1/2; 1), построить графики функций.
А) Параметр A находим из условия:
Задача 5
В экзаменационную сессию студенту предстоит сдать экзамены по трем предметам: математике, истории и иностранному языку. Вероятность сдачи по математике равна 0,6, по истории 0,5, по иностранному языку 0,8. Случайная величина X количество сданных предметов.
А) Составить ряд распределения и представить его графически;
Б) Найти функцию распределения случайной величины X, и построить ее график.
В) Вычислить математическое ожидание, дисперсию, и среднеквадратическое отклонение.
Г) Определить вероятность сдачи не менее 2 экзаменов.
А) Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности этих событий.
Введем события
А1 = Сдан экзамен по математике,
А2 = Сдан экзамен по истории,
А3 = Сдан экзамен по иностранному языку.
По условию
P(A1)=0,6; P(A2) = 0,5; P(A3)=0,8.
P( )=1-0,6=0,4; P( ) =1- 0,5=0,5; P( )=1-0,8=0,2.
Найдем вероятность события Х - не сдано ни одного экзамена.
Найдем вероятность события Х - сдан только один экзамен.
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем
Найдем вероятность события Х – сдано два экзамена.
Найдем вероятность события Х - сдано три экзамена.
Искомый закон распределения:
Б) Функция распределения:
В) Математическое ожидание: M(x)= 1,9
Среднеквадратическое отклонение: 1,536
Длина детали есть случайная величина X распределенная по нормальному закону со средним значением a=10 см, и среднеквадратическим отклонением σ=5 см. Записать функции плотности и распределения случайной величины X и построить их графики. Определить вероятность того что:
А) Длина детали составит от 9 до 12 см;
Б) Величина погрешности не превзойдет 1 см по абсолютной величине.
В) По правилу 3-х сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемой длины детали.
Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой
И функция распределения Fx (x) имеет соответственно вид:
Для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал (a, b) воспользуемся функцией Лапласа:
Перейдем к стандартной нормальной случайной величине
Значения функции Ф(u) необходимо будет взять взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" .
Б) Воспользуемся формулой:
В) Правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от а(математического ожидания) не превосходит 3σ.
Знаю, для вас это очень простое задание, но мне этот предмет никак не дается, посему и прошу вашей помощи в решение этой задачи. По возможности прошу поподробнее расписать решение.
Всего включенных компьютеров в аудитории: 10(mod5)+4
Для каждого компьютера вероятность того что он включен: (2(mod5)+3)/10
Определить вероятность того, что:
1) Включено не более 2-ух компьютеров
2) Хотя бы один компьютер включен
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь
Вычислить вероятность того, что на протяжении рабочего месяца авария произойдёт на 2-х компьютерах.
2)В управлении находится 750 компьютеров.Вероятность аварии каждого компьютера в пределе одного.
Книги о компьютерах
Доброго времени суток! Я изучаю Си (Читаю Стивена Пратта) и хочу понять принцып работы компьютера.
интернет на 2 компьютерах
Здравствутйе хочу сделать доступ на 2 компьютер . На 1 компьютере есть интеренет. А 2 кпкбудет.
1С на нескольких компьютерах
Доброго времени суток! Столкнулся я сегодня из проблемкой, начну из того что я дилетант в данном.
Решение
Если Вы уверены, что именно эту операцию имели в виду авторы задания, то можно попробовать.Для каждого компьютера вероятность того что он включен: (2(mod5)+3)/10
Значит, вероятность, что компьютер включен (2+3)/10=1/2. Кстати, вероятность, что компьютер выключен тоже в данном случае 1-1/2=1/2
Значит включен 1 компьютер +--- (вероятность 1/2*1/2*1/2*1/2 - 4 случая), 2 компьютера ++-- (1/2*1/2*1/2*1/2 - 6 случаев) или все выключены ---- (1/2*1/2*1/2*1/2 - 1 случай). Здесь, все ситуации равновероятны по отношению к 1 компьютеру и 3 другим (1/16)Итого: 4*1/16+6/16+1/16=11/16
+--- (4 случая) или ++-- (6 случаев) или +++- (4 случая) или ++++ (1 случай)
4*1/16+6*1/16+4*1/16+1/16=15/16
Другой способ решения этого же пункта 1-
Вероятность, что все выключены ---- 1/2*1/2*1/2*1/2=1/16
P=1-1/16=15/16
Подключение к интернету на 2 компьютерах
Проблема следующая, у меня 2 компьютера подключены к интернету последовательно, т.е. интернет.
Интернет на двух компьютерах.
Есть интернет от "Укртелеком", который подключается к компьютеру через модем(в моем случае это.
БД не работает на других компьютерах
Здравствуйте! Создал БД с VBA в Access 2007. --На моем компьютер работает прекрасно, --на.
Windows XP на новых компьютерах
Здравствуйте! В гараж для диагностики нужен дешев_й ноут. Покопался в бу: они по мне дорогиеили я.
AlphaControls на разных компьютерах
Всем привет! Установил компонент AlphaControls. У себя на компьютере запускаю программу все норм.
На этой странице – решения новых задач из Открытого Банка заданий, из которого формируется Банк заданий ФИПИ. Вы знаете, что в Проекте ЕГЭ-2022 в варианте Профильного ЕГЭ по математике не одна задача на теорию вероятностей, а две, причем вторая – повышенной сложности. Покажем, какие задачи могут вам встретиться на ЕГЭ-2022. Проект пока не утвержден, возможны изменения, но ясно одно – теория вероятностей на ЕГЭ будет на более серьезном уровне, чем раньше. Раздел будет дополняться, так что заходите на наш сайт почаще!
1. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:
| 2 | 6 |
| 6 | 2 |
| 3 | 5 |
| 5 | 3 |
| 4 | 4 |
Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).
2. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Благоприятными будут следующие исходы:
Первый раз – вытащили красный фломастер,
И второй раз – красный,
А третий раз – синий.
Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна
После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна
Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна
Вероятность события равна произведению этих вероятностей, то есть
3. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.
Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна
А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна Вероятность после этого вытащить красный равна вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна
Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна
А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.
4. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Задача похожа на уже знакомую тем, кто готовится к ЕГЭ (про гепатит), однако вопрос здесь другой.
Уточним условие: "Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?". В такой формулировке множество возможных исходов - это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.
Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А,
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.
Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность
Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов - это количество всех пациентов, пришедших к доктору.
Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).
Получим: отсюда z = 0,43.
Ответ: 0,43
Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.
6. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.
Формула Бернулли:
– Вероятность того, что в независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно раз, равна:
– вероятность появления события в каждом испытании;
– вероятность непоявления события в каждом испытании.
Коэффициент часто называют биномиальным коэффициентом.
О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.
А пока скажем просто, как их вычислять.
Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн. Поделить на эм! И на эн минус эм! 🙂 То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы.
На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,
Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна вероятность решки тоже Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.
Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна
Найдем, во сколько раз больше, чем
7. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?
Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна
Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна
Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:
8. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно 2 игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.
Ресторан «Шеш-Беш» должен сказать составителям задачи спасибо: теперь популярность вырастет во много раз :-)
Заметим, что условие не вполне корректно. Например, я бросаю кости и при первом броске получаю 5 и 6 очков. Надо ли мне бросать второй раз? Могу ли я получить 2 десерта, если дважды выброшу комбинацию из 5 и 6 очков?
Поэтому уточним условие. Если при первом броске получилась комбинация из 5 и 6 очков, то больше кости я не бросаю и забираю свой десерт (или кофе).
Если первый раз не получилось – у меня есть вторая попытка.
Решим задачу с учетом этих условий.
При броске одной игральной кости возможны 6 исходов, при броске 2 костей 36 исходов. Только два из них благоприятны: это 5; 6 и 6; 5, вероятность каждого из них равна Вероятность выбросить 5 и 6 при первом броске равна
Вероятность того, что с первой попытки не получилось, равна
Если в первый раз не получилось выбросить 5 и 6, а во второй раз получилось – вероятность этого события равна
Вероятность выбросить 5 и 6 с первой или со второй попытки равна (приблизительно равно, символом) 0,11.
9. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.
Рассмотрим возможные варианты. Игральную кость могли бросить:
1 раз, выпало 4 очка. Вероятность этого события равна (1 благоприятный исход из 6 возможных). При этом, если получили 4 очка, кость больше не бросаем.
2 раза, выпало 3 и 1 или 1 и 3 или 2 и 2. При этом, если получили 4 очка, больше не бросаем кость. Для 2 бросков: всего 36 возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна
3 раза, выпало 1, 1, 2 или 1, 2, 1 или 2, 1, 1. Если получили 4 очка – больше не бросаем кость. Для 3 бросков: всего возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна
4 раза, каждый раз по 1 очку. Вероятность этого события равна
Вероятность получить 4 очка равна
Воспользуемся формулой условной вероятности.
Пусть — вероятность получить 4 очка, сделав 1 бросок; (для одного броска: 6 возможных исходов, 1 благоприятный);
— вероятность получить 4 очка с одной или нескольких попыток,
— вероятность, что при этом был сделан только один бросок;
И наконец, хитроумная задача, совсем не похожая на школьную теорию вероятностей. В математике ее называют «задачей о разорении игрока». Это уже крутейший теорвер! Будем надеяться, что в варианты ЕГЭ ее все-таки включать не будут.
10. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды.
Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трех играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет следующий раунд?
Пусть силы команд равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
В трех раундах участвуют 4 команды, то есть выбирается 4 числа из 6 и среди этих четырех находится наибольшее.
Выпишем в порядке возрастания, какие 4 команды могли участвовать в первых трех раундах:
1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456 - всего 15 вариантов.
Среди этих 15 групп есть только одна, в которой 4 - наибольшее число. Это группа 1234. Однако, если команда 4 победила команды 1, 2 и 3, то у нее нет шансов выиграть в следующем раунде у команды 5 или 6.
Есть также 4 группы, в которых 5 - наибольшее число. Вероятность того, что команда 5 победила в трех первых раундах, равна В следующем туре команда 5 встретится либо с командой 6 (и проиграет), либо с командой 1, 2, 3 или 4 и выиграет, то есть в четвертном раунде команда 5 побеждает с вероятностью
Есть также 10 групп, где 6 - наибольшее число. Вероятность того, что команда 6 победила в трех первых раундах, равна В четвертом туре команда 6 побеждает с вероятностью 1 (она самая сильная). Соответственно, в следующем туре команда 6 побеждает с вероятностью 1.
Получается - вероятность команды, победившей в 3 первых турах, победить в четвертном.
11. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – р меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен – 1?
Кошмар, что и говорить, и точно не задача из Части 1 ЕГЭ. Будем разбираться.
Вначале мы находимся в точке 0, из нее можем попасть в точку с координатой 1 или в точку с координатой -1. Дальше возможно увеличение или уменьшение координаты на каждом шаге, а найти надо вероятность того, что когда-либо попадем в точку -1.
Обозначим – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0,
– вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке i.
Из точки 0 можно пойти вверх или вниз. Если мы идем вниз (с вероятностью q=1 – р) – мы сразу попадаем в точку -1.
Поскольку из точки 0 можно пойти вверх или вниз, и эти события несовместны, получим:
где – вероятность попасть когда-нибудь в точку -1, находясь в данный момент в точке 1.
А из точки 1 в точку – 1 можно попасть следующим образом: сначала в точку 0, потом в точку – 1; вероятность каждого из этих событий равна
Да, это сложно воспринять! Но давайте вернемся к обозначениям: Р1 – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0. И она точно такая же, как вероятность когда-либо попасть в точку 0, если сейчас мы находимся в точке 1.
Значит, вероятность попадания из точки 1 в точку – 1 равна Мы получаем квадратное уравнение:
По условию, Тогда
Корни этого уравнения: или
Какой из этих корней выбрать? Оказывается, если по условию то в ответе получится 1 (всегда попадем в точку -1).
А если, как в нашем случае, то ответ то есть 0,25.
Ответ: 0,25
А теперь представим себе, что будет, если эту задачи все-таки включат в курс подготовки к ЕГЭ. Учителя будут говорить ученикам: если тебе надо попасть из 0 в точку – 1, вероятность перехода вверх равна р, вероятность перехода вниз равна q, и если то в ответе будет а если то в ответе будет 1. Бессмысленная зубрежка, короче говоря.
Будут ли эти задачи - и особенно последние - на ЕГЭ-2022? Вот официальный ответ ФИПИ:
"Открытость и прозрачность ЕГЭ, наличие открытых банков, дает возможность развивать различные ресурсы, способствующие повышению качества образования.
При этом вся официальная информация, спецификации, демонстрационные варианты, открытые банки, содержатся только на сайте ФИПИ. Типы заданий, которые будут включены в ЕГЭ по математике в 2022 году прошли широкое обсуждение и апробацию в регионах, соответствуют ФГОС.
ФИПИ не комментирует содержание других ресурсов".
Ждем, когда на сайте ФИПИ появятся подборки задач №10 ЕГЭ-2022.
Читайте также: