В кабинете стоят два принтера вероятность того что к концу недели
Обновлено: 16.05.2024
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Эта задача хитра и запутана тем, что по началу можно не понять, являются ли события совместные. Наблюдая за тем, как эту задачу решают учащиеся, я заметил такую логическую цепочку:
« Почему вероятность того, что кофе кончится в обоих автоматах равна 0,15? Очевидно, что события "кофе кончилось в 1-ом автомате" и "кофе кончилось во 2-ом автомате" являются независимыми, а значит вероятность того, что кофе кончится в обоих автоматах равна 0,625.
Их можно конечно считать зависимыми если представить, что посетители ТЦ когда замечают, что первый автомат "кончился", покупают у второго тем самым повышая вероятность "закончится" у второго. Но по моему бред. »
Это был пример того как можно запутаться в данной задаче.
Давайте разбираться и искать подвох вместе. Дело в том, что эти события совместные. То есть, если кофе закончился в первом автомате, то может быть и закончился во втором. Понять почему эти события совместные можно из условия. Если бы события были независимые и несовместные, то вероятность того, что к вечеру кофе закончится в обоих автоматах была равна 0.25 * 0.25 = 0.0625. Но она равна 0.15, что противоречит несовместности событий. Значит они совместные.
Введем некоторые обозначения:
А − событие «Кофе кончился в 1-м автомате»
B − событие «Кофе кончился в 2-м автомате»
A · B − событие «Кофе кончился в обоих автоматах»
A + B − событие «Кофе кончился хотя бы в одном из двух кофейных автоматов»
Теперь разберемся с тем, какие вероятности нам даны в условии:
p(A) = 0.25 , p(B) = 0.25 и p(A · B) = 0.15.
Давайте для начала найдем вероятность того, что кофе останется хотя бы в одном из двух автоматов, то есть найдем p(A + B). Нам нужно найти вероятность суммы двух событий. Вот именно здесь можно допустить ошибку. Чтобы понять какую, пройдемся по кратким определениям.
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий: p(A + B) = p(A) + p(B) .
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
p(A + B) = p(A) + p(B) − p(A · B) .
Нам нужна именно вторая формула. Поэтому вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате равна:
p(A + B) = p(A) + p(B) − p(A · B) = 0.25 + 0.25 − 0.15 = 0.35 .
Обратное этому событие состоит в том, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах. Значит сумма вероятностей этих двух событий равна 1. Итак, вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах равна разности единицы и вероятности того, что кофе кончился хотя бы в одном:
То есть p(!A · !B) = !p(A + B) = 1 − p(A + B) = 1 − 0.35 = 0.65.
Есть также немного альтернативный подход.
С − кофе остался в 1-м автомате -> p(C) = 1 − 0.25 = 0.75
D − кофе остался во 2-м автомате -> p(D) = 1 − 0.25 = 0.75
C + D − кофе остался хотя бы в одном автомате -> p(C + D) = 1 − 0.15 = 0.85
С · D − кофе остался в обоих автоматах -> p(С · D) − ?
Используя формулы, о которых мы говорили ранее, можно получить:
p(C + D) = p(C) + p(D) − p(С · D) откуда 0.85 = 0.75 + 0.75 − p(С · D), значит нужная нам вероятность находится как: p(С · D) = 0.75 + 0.75 − 0.85 = 0.65. Что мы уже получали ранее.
Еще более компактное иллюстративное представление данной задачи:
Зрительное восприятие всегда улучшает понимание, поэтому я стараюсь рисовать картинки в разборах задач Зрительное восприятие всегда улучшает понимание, поэтому я стараюсь рисовать картинки в разборах задачПробежимся еще по определениям.
Что такое событие, опыт, испытание
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.
Отличие совместных от несовместных событий
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасывается монетка. Событие А — выпадение орла, B — выпадение решки. A и B — несовместные события, т.к. выпадение одной стороны исключает выпадение другой в данном же опыте. Другой пример: бросают два игральных кубика (кости). А — выпадение 2 очков первой кости. B — выпадение 2 очков второй кости. A и B — совместные события, так как могут наступить в одном опыте.
Достоверные и невозможные события
Достоверное событие обязательно происходит в условиях данного опыта. Невозможное событие не может произойти в условиях данного опыта. Например, достать черный шарик из мешка с черными шариками является достоверным событием, а достать белый шарик из мешка с черными шариками — невозможное событие.
Случайные события и равновозможные события
Случайное (возможное) событие состоит в том, что оно может проявиться, а может и не проявиться в результате опыта. События называются равновозможными, если по условиям опыта ни одно из этих событий не является объективно более случайным (возможным), чем другие события.
Полная группа событий
Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. А если полная группа состоит еще из несовместных событий, то сумма вероятностей всех этих событий равна 1.
Противоположное событие
Событие, противоположное некоторому событию A, происходит обязательно, если не наступает некоторое событие А. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Допустим, вы выбираете лампочку из партии, в которой находятся исправные и неисправные лампочки. При извлечении одной лампочки есть только два события: А - вы извлекли исправную лампочку и противоположное событие !A - вы извлекли неисправную лампочку.
Суммой или объединением , нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением или пересечением , нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Читайте также: