Коинтеграция временных рядов в excel

Обновлено: 03.07.2024

Есть два ряда чисел. На самом деле они на много длиннее. Я скопировал лишь малую часть, для примера.
Подскажите, как посчитать ко-интегрированы они или нет? Как это сделать в экселе?

Т. е. меня интересует как часто соотношение этих чисел (число1/число2) возвращается к среднему. Заранее благодарен за ответ.

28.73 /18.534
28.679918.53
28.7 18.55
28.59 18.53
28.68 18.55
28.62 18.59
28.755 18.61
28.725 18.57
28.765 18.6
28.775 18.65
28.78 18.64
28.79 18.6
28.81 18.6282
28.83 18.6699
28.8879 18.66
28.82 18.64
28.82 18.6601
28.7975 18.65
28.801 18.66
28.79 18.64
28.81 18.66
28.81 18.675
28.84 18.65
28.83 18.665
28.86 18.67
28.8999 18.67
28.81 18.65
28.86 18.68
28.84 18.68
28.835 18.68
28.821 18.68
28.81 18.69
28.84 18.6883
28.83 18.7
28.85 18.68
28.8 18.68
28.83 18.69
28.815 18.69
28.78 18.68
28.78 18.685
28.75 18.69
28.741 18.661
28.73 18.65
28.7173 18.65
28.69 18.6427
28.72 18.635
28.69 18.63
28.69 18.64
28.77 18.65
28.75 18.66 __________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь

Как мне сделать интеграцию 2х сервисов web api в одном SPA?
Задача следующая. Нужно создать SPA на Vue.js и интегрировать в него 2 сервиса на ASP. NET Core, в.

как печать в экселе
При печати эксел печатает только ячейку целиком, не разделяя её на две страницы. Каждая ячейка не.

Как распечатать документы в Экселе
Есть документ Эксель, в котором есть 15 разделов (внизу экрана переключаю с вкладки на вкладку), в.

Как в экселе составить формулу?
как в экселе составить формулу а=(б*в)/г. балин. ЙАЛОШАРА. ))) где а-H3, б-E3, в-24, г-G3

а это временной ряд?

Решение

В экселе такое не считают. Установите R - бесплатная программа. Платные помимо статистики - SAS (в университете могут дать), RATS, Eviews, STATA. Можно конечно банально вручную, используя формулы для теста под нулевой гипотезой.

И еще. Коинтеграцию не считают, а проверяют:
1) вначале надо проверить, что временые ряды интегрированы одного уровня. Т.е. сколько раз нужно продиференцировать каждый ряд, что бы он стал стационарым. Базовый тест ADF, а лучше другой тест.
2.1) Если нужно продиференцировать разное количество раз => то это означает автоматически, что нету коинтеграции.
2.2) Если времяные ряды уже стационарны без диференциации => то это означает автоматически, что нету коинтеграции.
2.3) Если интегрированы одного уровня => проверить коинтеграцию с помощью теста Енгеля и Гранжера. Если более двух рядов, то лучше другой тест.

Как вы знаете, для реализации стратегии парного трейдинга необходимо проведение тестов на коинтеграцию используемых инструментов, и для этой цели часто применяют дополненный тест Дики-Фулера (ADF). Тем не менее, при поиске критериев коинтеграции, ADF не стоит в первых рядах. Скорее, его можно найти по запросу «тестирование на единичный корень (unit root)».

Казалось бы, легко взять книгу по временным сериям и научиться ADF, но эта задача на деле не так проста.Необходимо прочитать не менее 6 глав об анализе временных серий перед тем, как понять различные способы применения ADF в контексте статистического арбитража.

Шаг 1: Получение данных двух активов, к которым можно применить ADF

В этом примере мы используем компании с Йоханнесбургской биржи JSE:

Шаг 2: Применение линейной регрессии к двум активам, используя серию наблюдений

В экселе должен быть подключен пакет Data Analysis.

Возьмем серию из 60 наблюдений. Убедитесь, что вывод остатков регрессии отмечен галочкой, как показано ниже:

Если вы будете применять это в парной стртатегии, то должны запускать тест ADF каждый день, чтобы быть уверенным, что нулевая гипотеза отклонена ( нулевой гипотезой является предположении о существовании единичного корня. Если такой корень существует, то процесс не является стационарным).

Проверьте вывод остатков регрессии в результатах:

Коэффициент при переменной X 0.78255 будет использоваться в качестве коэффициента хэджирования.

Шаг 3: Расчет разницы остатков регрессии

Создадим новую колонку Delta, в которую поместим значения разницы остатков:

Шаг 4: Вычислим остаток регрессии t-1

В следующей колонке поместим значение остатка, сдвинутое на 1 шаг по времени:

Шаг 5: Применим линейную регрессию к колонкам Delta и t-1

Шаг 6: Сравним статистику t теста с критическим значением

Для случая отклонения нулевой гипотезы о присутствии единичного корня, t статистика должна быть меньше порогового значения. Пороговое значение для ADF имеет собственное распределение, ниже дан пример некоторых таких значений для разного размера выборки, по временным сериям с трендом и без:

Для наших данных:

Мы возьмем пороговое значение, равное -2.89, так как у нас серия из менее 100 наблюдений
Наша t статистика равна — 3.369
Таким образом, нулевая гипотеза отклонена и мы можем утверждать, что данные коинтегрированы.

Заключение

Тест необходимо проводить при получении каждого нового наблюдения, и, конечно, это не совсем удобно делать в Excel. Если вы хотите запустить стратегию парного трейдинга, которая будет применять тестирование на коинтеграцию с помощью ADF, то рекомендуем перенести указанную методику на языки R, C++ и т.д.

Добрый день! Перед вами вторая часть цикла статей Quantitative trading for dummies. Сегодня поговорим о корреляции и коинтеграции. И так, я снова постараюсь обьяснить все максимально доступно и без страшных формул.

В качестве примера для объяснения я возьму часто приводимый жизненный пример «Пьяницы и собака».
Представьте себе что два алконавта идут по улице, движение алконавтов случайно. Это можно изобразить следующим образом.

Теперь представим что на сторонах улицы находятся бары, и каждый алконавт услышав рекламу бара шагает в его сторону с определенной вероятностью. О таких временных последовательностях говорят что они коррелированны. На графике это можно представить следующим образом.

Представьте, что один из алконавтов идет с собакой на поводке, движение алконавта по прежнему случайно, но вот движение собаки ограничено поводком ( тут кстати можно поспорить, чье движение случайно, а чье ограничено поводком). Несмотря на то что по отдельности кривые очень напоминают случайно блуждание они никогда не расходятся на расстояние большее чем поводок, и всякий раз, после разбредания в разные стороны, они снова стремятся друг другу, так как величина поводка ограничена. О таких временных последовательностях говорят, что они коинтегрированы. Коинтеграция является гораздо более важным понятием в теории временных рядов, чем корреляция.

Теперь вернемся к финансам. Представьте что вы нашли две акции движение цен которых сильно коррелировано друг с другом, значит ли это что если их движение сильно разошлось то можно продать дорогую бумагу и купить дешевую (продать спред). Нет не значит! Цена может не сойтись никогда! Совершенно другое дело когда два ряда коинтегрированны, если в какой-то момент времени их цены разошлись то мы можем продать дорогую и купить дешевую. Только вот вопрос, как найти такой ряд.

Коинтеграция
Прежде всего, стоит все-таки определить, что такое коинтеграция. Существует точное математическое определение коинтеграции:

Если некоторая линейная комбинация двух временных рядов имеет порядок интегрирования меньший чем порядок интегрирования каждого из рядов, то говорят, что временные ряды коинтегрированы.

Что такое стационарный временной ряд? Если совсем просто, то это временной ряд свойства которого не меняются во времени. Т.е. если мы возьмем некий его отрезок, посчитаем стандартные статистические характеристики, такие как математическое ожидание или дисперсию, мы должны получить одинаковые величины, в пределах погрешности, естественно. Пример чистого стационарного ряда это к примеру случайное блуждание, либо синусойда.

Стационарный временной ряд имеет порядок интегрирования 0. Обратное не верно. Возьмем теперь стационарный ряд X₁, X₂… X_n, и преобразуем его в следующий ряд: Y₁ = X₁, Y₂ = Y₁ + X₂,… Y_n = Y_n-1 + X_n получившийся ряд имеет порядок интегрирования 1. Если вернуться к определению, то временной ряд имеет порядок интегрирования 1 если ряд его приращений имеет порядок интегрирования 0. Аналогично можно определить более высокие порядки интегрирования. Рассмотрим пример ряда, интегрированого с порядком 1:

Сумма случайных блужданий является примером такого ряда. Теперь мы можем переформулировать определение коинтеграции в применении для цен.

Два временных ряда цен коинтегрированны если мы можем найти такую их линейную комбинацию, которая является стационарным временным рядом.

Перейдем к практике
В реальной жизни вы конечно же не получите спред похожий на синусойду. Возьмем цены двух компаний, пусть будут TATN и TATNP. Посчитаем спред и проверим полученный ряд на стационарость, что бы понять, являются ли наши ряды (TATN, TATNP) коинтегрированны. И если это так, то мы можем торговать статистический арбитраж. И так, для начала построим отношение цен акции TATN к TATNP, спред можно строить так же вычитая TATN- TATN * hadge coeficent. Что такое hadge coeficent это коэффициент b полученный из линейной регрессии, вы можете прочесть об этом в первой части. И так, строим спред!

И так, мы видим на глаз что спред все же похож на стационарный ряд, давайте проверим это! Для этого существует тест Тест Дики-Фуллера это далеко не единственный тест на стационарность, но в данном примере мы используем именного его. Результат:

Видим, что. p-value мал, и отсюда можем утверждать, что действительно TATN и TATNP коинтегрированны. Что подтверждается визуально на графике:

Обратите внимание на строку в коде TATNP$TATNP.Close*coef(model)[2]+coef(model)[1]. В первой часте я писал что линейная регрессия потребуется в парном трейдинге. Можно ее переписать так. Это линейное уравнение, линейной регрессии из первой части, где coef(model)[2] — Коэффициент b, а coef(model)[1] — коэффициент a, а сам спред по сути является остатками (Residuals). Обо всем это я писал в предыдущей части!

Заключение: И так, мы разобрались что же такое корреляция и коинтеграция, и убедились что ряд цен акции TATN и TATNP коинтегрированны, а следовательно годятся для торговли стратегии статический арбитраж. Теперь вы можете строить свои арбитражные стратегии опираясь на полученный опыт. Не стоит сбрасывать со счетов корреляцию, опираясь на этот эффект существует целый пласт импульсных стратегий, об этом поговорим в других частях.

Популярное изложение сути коинтеграции временных рядов.. Разность между коинтеграцией и корреляцией и их применением в торговле финансовыми активами. Стационарные и нестационарные, а также нестационарные интегрированные временные ряды. Концепция использования коинтеграции в парном трейдинге и статистическом арбитраже. История вопроса. Для широкого круга читателей.

Содержание:

Введение. Не прогуливайте уроки математики

"Ценность образования не в том,

чтобы выучить как можно больше фактов.

А в том, чтобы натренировать мозг думать"

Современному инвестору не уйти от навыков в математике. В трейдинге она везде. Ей пронизаны все финансовые рынки. Бесконечные массивы данных: котировки, доходности, индикаторы, осцилляторы, процентные ставки. Статистические закономерности и графическая информация. Кто умеет грамотно обрабатывать финансовые (и не только) сведения и получать на выходе корректные торговые сигналы - всегда на шаг впереди.

К сожалению, одним курсом математического анализа, которым обычно ограничивается знакомство с высшей математикой в обычном ВТУЗе, не обойтись. Нужны знания, хотя бы начального характера, из теории вероятности и математической статистики. Не говоря уже об общих экономико-математических моментах. Особенно трудно гуманитариям, которые учили производные и интегралы только в старших классах средней школы. Если не прогуливали уроки математики.

Одной из целей публикаций на нашем сайте является, своего рода, проведение ликбеза в данном направлении. Другими словами, толкование достаточно сложных вещей максимально простым языком, не теряя точности и последовательности изложения.

Предлагаемый текст, посвященный коинтеграции временных рядов, из этой серии. Он развивает темы, затронутые в опубликованной ранее статье о временных рядах.

Понятие коинтеграции и авторы идеи

Одно из определений коинтеграции звучит так.

“Коинтеграция — свойство нескольких нестационарных (интегрированных) временных рядов, заключающееся в существовании некоторой их стационарной линейной комбинации”[3].

Затрагиваются сразу несколько явлений, нашедших отражение в упомянутом выше материале о временных рядах.

По наличии тенденции, временные ряды делятся на стационарные и нестационарные. Стационарный ряд отличается постоянством средних значений и их дисперсий. В нестационарном ряде максимум, что можно сделать - отследить его тренд.

Графическая иллюстрация некоего стационарного ряда приведена на заставке к статье. Здесь значения ряда колеблются вокруг нуля, вдоль горизонтальной линии, не отходя от нее более, чем на 1,5 единицы в обоих направлениях на протяжении от 0 до 500 единиц измерения времени по оси абсцисс.

Нестационарные временные ряды - это почти все ценовые графики финансовых активов, столь широко знакомые любому трейдеру. Бычий тренд, медвежий тренд, экстремумы. Исключение составляет боковой дрейф курса на каком-то периоде.

В особый класс нестационарных рядов выделяют интегрированные, они же разностно-стационарные или DS-ряды (англ. Difference Stationary).

Для интерпретации интегрированного ряда вводят понятие разности k-го порядка. Под ней понимают новый ряд, каждый член которого равен разности i-го и (i-k)-го членов исходного ряда: X_i-X_(i-k) . Разность нулевого порядка трактуется, как сам исходный ряд, разность первого порядка - ряд с членами X_i-X_(i-1) и т.д.

Если процедура взятия разности k-го порядка приводит к образованию стационарного ряда, при том, что все разности меньшего порядка давали только нестационарные ряды говорят, что мы имеем дело с интегрированным рядом k-го порядка. Обозначают ряд Xt〜I(k) .

Подводя итог можно сказать, несколько перефразируя вышеприведенное определение, что

коинтеграция рядов - возможность получения стационарного ряда через линейную комбинацию двух (или более) нестационарных интегрированных рядов. Главная мысль состоит в том, чтобы, применяя линейную зависимость, получить из нескольких нестационарных интегрированных рядов, стационарную зависимость.

Надеюсь, что вспоминать, что такое линейная комбинация нет нужды. На всякий случай, линейная функция по аргументу х имеет вид:

где: k - угловой коэффициент, b - свободный член.

График линейной зависимости - прямая линия, пересекающая ось абсцисс (ось Х) под углом наклона, тангенс которого равен угловому коэффициенту k.

Новое “коинтеграционное” направление в эконометрике было развито двумя экономистами - американцем Робертом Фраем Энглом III, Robert Fry Engle III (1942 г.р.) и англичанином, сэром Клайвом Уильямом Джоном Грэнджером, Clive William John Granger (1934-2009). Оба лауреаты Нобелевской премии по экономике 2003 года.

Р. Энгл (справа), К. Грэнджер (слева)

(“Прикладная эконометрика” ,2015 г.)

Р. Энгл получает Нобеля “за разработку метода анализа временных рядов в экономике на основе математической модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (ARCH)”. Ученый уже упоминался у нас в разделе об ARCH и GARCH моделях статьи о временных рядах.

К. Грэнджер удостаивается премии по экономике памяти А. Нобеля с прямой формулировкой: “За разработку метода коинтеграции для анализа временных рядов в экономике”[4]. Именно К. Грэнджер выступил пионером в области коинтеграции временных рядов, предложив концепцию еще в 1981 году. Автор знаменитого принципа “причинности по Грэнджеру”[5].

Заметный след в развитии темы оставил профессор Копенгагенского университета Сорен Йохансен, Søren Johansen (1939 г.р.)[6].

Корреляция, как смежное явление

Часто в литературе и в обмене мнениями коинтеграцию временных рядов сравнивают с корреляцией цен финансовых активов. Корреляции в теории вероятности и на финансовых рынках посвящен отдельный текст нашего ресурса. Для удобства дальнейшего восприятия сгруппируем в данном разделе ключевые моменты, относящиеся к теме корреляции.

Википедия[7] вводит понятие следующим образом.

“Корреляция или корреляционная зависимость - статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин”.

Как-будто ясный на бытовом уровне термин “случайная величина” также имеет строгую математическую трактовку, приведенное в профильном материале нашего сайта.

Корреляция характеризуется знаком (положительная, отрицательная и нулевая) и степенью, интенсивностью, определяемой коэффициентом корреляции.

Характер знака корреляции хорошо виден на предлагаемом рисунке[8]:

Положительная корреляция имеет место, когда одна случайная величина в среднем возрастает при увеличении другой, отрицательная - убывает, нулевая, нет ни той, ни иной тенденции.

Самый известный показатель корреляции - коэффициент корреляции Пирсона.

Коэффициент корреляции Пирсона r_xy двух случайных величин x и y рассчитывается так:

где: cov(xy) - ковариация двух случайных величин x и y;

σ_x и σ_y - дисперсии x и y.

Что такое ковариация и дисперсия также можно понять из упомянутой выше статьи о введении в теорию вероятностей.

У коэффициента корреляции Пирсона есть два замечательных свойства. Во-первых, по модулю он не превосходит 1. Во-вторых, равен нулю для независимых величин. Что понятно и на интуитивном уровне. Независимые величины никак не коррелируют друг с другом.

Для более ясного, а может быть и более глубокого уяснения (тут, уж как кому) сути коэффициента приведем одну из формул для его вычисления:

где: x_i, y_i - ряд значений (выборка) случайных величин x и y;

<X> и <Y> - средние значения (матожидания), обычно средние арифметические величин x и y.

Формула 3 позволяет наглядно увидеть, как выглядят и работают ковариация и дисперсия, что весьма полезно.

На практике нет необходимости выстраивать подобные суммы. Посчитать коэффициент корреляции Пирсона по силам и начинающему пользователю Excel. Сервис включает все необходимые статфункции.

В заключении раздела о корреляции отметим, что коэффициент корреляции Пирсона для случайных величин, связанных линейной зависимостью (формула 1) равен плюс или минус 1. Таким образом, имеем максимальную степень положительной или отрицательной корреляции (антикорреляции).

Корреляция в парном трейдинге

Википедия[9] определяет парный трейдинг, именно через корреляцию:

“Парный трейдинг- рыночно-нейтральная инвестиционная стратегия, основанная на использовании феномена корреляции стоимости некоторых ценных бумаг”.

Каковы этапы парного трейдинга с точки зрения корреляции активов (ценных бумаг, акций)?

1. Выявляются пары акций с высоким положительным коэффициентом корреляции. Высокая положительная корреляция обеспечит, в среднем, синхронное движение курсов пары акций.

2. В онлайн-режиме вычисляются Бета(β)-коэффициенты каждой акции по данному рынку (фондовому индексу) и спред между ценами акций.

3. По достижению размера спреда некоего, заранее принятого максимального значения составляется рыночно-нейтральный (Бета-нейтральный) портфель.

Простейший Бета-нейтральный портфель из двух акций формируется путем открытия короткой позиции по переоцененной (более дорогой) акции и длинной - по недооцененной бумаге.

Доли (веса) акций в портфеле рассчитываются путем решения простейшей системы двух линейных уравнений:

4. Позиции закрываются, когда спред уходит в нужный минимум, идеально в ноль или в минус.

Теоретически Бета-нейтральный портфель позволяет инвестору избежать рыночный риск и получать доходы на любом тренде. К сожалению, это совсем не Грааль, и запустить станок по печатанию денег (доходов) на фондовом рынке он вряд ли позволит. По крайней мере, на постоянной основе. Пара может и разойтись, несмотря на высокий, ранее выведенный коэффициент корреляции. Спред может болтаться довольно долго вне приемлемых минимумов и портфель не принесет ни цента дохода.

Аксиома: “Исторические данные не могут служить железным обоснованием будущих доходов” выбита “на камне” Предупреждений о рисках для клиентов в любой инвестиционной компании. Рыночно-нейтральные стратегии не исключение.

Проверка на коинтеграцию

Использование коинтеграции стало очередной попыткой извлечения дохода, построенного на изучении динамического равновесия финансовых активов. Сторонники подхода считают, что он более тонок и полезен, чем классическая корреляция.

Как работает коинтеграция временных рядов (читай котировок акций) на фондовом рынке?

Заметим, как правило, коинтеграторы (назовем так последователей методики коинтеграции в практическом трейдинге) не идут глубже интегрированного ряда первого порядка. Ограничиваются разностями нулевого и первого порядков.

Как уже отмечалось выше, при k=0 имеем сам ряд X_t , при k=1 получаем ряд:

где: L - лаговый оператор первого порядка ( L 1 ).

Ниже приведена последовательность исследования двух временных рядов X_t и Y_t на коинтеграцию.

1. Анализируются на стационарность исходные ряды. Если они стационарны, то на этом все заканчивается. Коинтеграция тут ни к чему. Пусть ряды X_t и Y_t нестационарны.

2. Далее на стационарность тестируется разность первого порядка исходных рядов. Если она нестационарна, коинтеграторы также прекращают работать над таким сырьем. В том случае, когда разности первого порядка стационарны и получаются интегрированные ряды первого порядка I(1) (они еще называются нестационарными рядами со стационарными приращениями) процесс продолжается и переходит к пункту 3.

3. Составляется линейная комбинация:

где: ε_t - итог линейной комбинации, остаток (спред), новый ряд. Часто его именуют ошибкой равновесия.

Формула 5 - простейший случай коинтеграционного уравнения, учитывающего связь только двух временных рядов. Бывает, что ее дополняют свободным членом - неотъемлемой компонентой линейной зависимости в полном виде (см. формулу 1). Для единообразия обозначим его тоже через b. Тогда формула 5 перейдет в формулу 6:

Иногда и ряд переменных y_t умножают на некий коэффициент.

Более сложные модели учитывают также составляющую линейного тренда, член вида c*t, где c - коэффициент тренда, t - время.

4. Конечной целью алгоритма является решение задачи о стационарности ряда ε_t. Здесь возникает вопрос о коэффициенте “а”. Его подбирают так, чтобы значения ε_t максимально близко лежали вокруг среднего нулевого уровня, другими словами, обладали минимальным разбросом (дисперсией) относительно него. Процедура получила название “коррекции ошибок”.

Для нее задействуют метод наименьших квадратов (МНК). Математики-статистики говорят: “Получают состоятельную оценку коэффициента “а”.

Применение МНК по формуле 5 состоит в минимизации суммы:

путем подбора коэффициента “а”.

Для формулы 6 МНК работает следующим образом:

5. Подобрав по МНК оптимальный коэффициент “а”, ряд ε_t проверяют на стационарность. В этих целях широко используется тест Дики-Фуллера[10,11].

Если ряд ε_t - стационарный, вида I(0), то имеет место коинтеграция исходных нестационарных рядов (вида I(1)) X_t и Y_t .

Изложенное приблизительно укладывается в так называемый, тест Энгла-Грэнджера на коинтеграцию. Проведение теста возможно в пакете прикладных программ MATLAB[12]. При отработке коинтеграции трех и более рядов более уместен тест (подход) Йохансена[3].

Если исходные временные ряды X_t и Y_t котировок акций признаются коинтегрированными, то они вполне готовы для парного трейдинга или статистического арбитража.

Коинтеграция в парном трейдинге

Стационарность остатков ε_t - залог успеха коинтеграции в трейдинге.

(источник изображения - сайт UTMagazine)

Отклоняясь от среднего значения (от нуля), ряд остатков ε_t почти неизбежно (с высокой степенью вероятности) возвращается в нулевое состояние равновесия, что позволяет строить инвестиционные стратегии по столь хорошо известному принципу возврата к среднему.

На практике работают не с ε_t , а с его стандартизированной оценкой (Z-оценкой, Standard Score, Z-score). Общепринятое в статистике измерение разброса случайной величины[13]:

Z_t показывает, сколько стандартных отклонений случайной величины ε_t содержится в ней самой. Удобный, понятный и безразмерный (не имеющий размерности) показатель.

Пусть для нашей пары акций (рядов) y_t и x_t график Z_t выглядит так:

(источник изображения - сайт UTMagazine)

В торговле подобная графическая информация задействуется достаточно предсказуемо.

Исходя из того, что: ε_t=y_t-ax_t (см. формулу 5), то, при:

Z_t=ε_t/σ(ε_t), превышающем, допустим +2 (предположим, что это верхняя красная пунктирная линия) следует открывать шорты по акции “y” и лонги по акции “x”.
Z_t<-2 (ниже нижнего красного пунктира) - переворачиваемся, покупаем акцию “y” и продаем акцию “x”.
Z_t пересекает ноль (средняя зеленая пунктирная линия) - закрываем позиции, открытые по пунктам 1 и 2.

Важно, что коинтеграция тех или иных финансовых активов может работать на одних периодах и таймфреймах и не работать на других. Коэффициенты приведенных зависимостей (регрессий) и статпоказатели (дисперсии и пр.) должны периодически обновляться. Желательно, не реже, чем каждую торговую сессию. То есть “окно значений” величин необходимо сдвигать, как минимум, ежедневно.

Заключение. Что еще почитать и вновь о математике

Все приведенное выше - не более, чем самое предварительное, весьма и весьма упрощенное знакомство с темой коинтеграции временных рядов и ее применения на финансовых рынках. Цель - вид на предмет “в первом приближении”. Разбудить любознательность и любопытство читателя. Предложить некую навигацию, вектор для дальнейшего углубленного изучения проблематики.

Для более глубокого погружения в коинтеграцию полезно ознакомиться с первоисточником. В этом качестве можно рекомендовать, заслужившую большую популярность, объемную статью непосредственно от авторов концепции Р. Энгла и К. Грэнджера “Коинтеграция и коррекция ошибок: представление, оценивание и тестирование” (“Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing”), опубликованную в русском переводе в журнале “Прикладная эконометрика” в 2015 году.

Также полезной будет лекция о коинтеграции курса “Анализ временных рядов” Г.Г. Канторовича (не путать с советским академиком, Нобелевским лауреатом Л.В. Канторовичем) в “Экономическом журнале Высшей школы экономики (ВШЭ)” за 2003 год.

Оба материала, выложенные в удобном PDF-формате доступны в сети. Особую ценность представляют опубликованные перечни литературы.

Конечно, для того, чтобы читать такие вещи нужен определенный уровень подготовки в математической статистике. Что ж… Главное - начать и не комплексовать. Как говорил процитированный в начале статьи Альберт Эйнштейн: “Не беспокойтесь о ваших трудностях в математике. Поверьте, мои все равно больше”.

При подготовке статьи использованы материалы порталов UTMagazine и Habr.

Источник изображения на заставке статьи - сайт UTMagazine.

Примечания и ссылки (источник – Википедия/Wikipedia или авторский комментарий, если не оговорено иное).

Читайте также: