Обновлено: 04.07.2024

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n , то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а _ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ.

Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

Е = 0 1 … 0

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Т . е ., если

a _{1 n} a _{2 n} … a _nn

Определитель n -го порядка матрицы

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а _ij . Числа а _ij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.

Определитель обладает свойствами:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.

От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

М и н о р ы.

Определители входящие в формулу, называются

минорами элементов .

Вообще минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент.

А л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я.

В формуле элементы умножаются на +.

Эти выражения называются алгебраическими дополнениями элементов .

Вообще алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со

своим или противоположным знаком согласно следующему правилу:

Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, - то с противоположным знаком.

Определителем второго порядка называется выражение -.

Определителем третьего порядка

называется выражение =

Или в виде схемы:

Для запоминания формулы для вычисления определителя третьего порядка полезно правило Произведения элементов главной диагонали и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали, берутся со знаком

минус, а произведения элементов вспомогательной диагонали и элемен­тов, лежащих в вершинах треугольников с основаниями, параллель­ными вспомогательной диагонали,

— со знаком плюс. В каждое из про­изведений со знаком плюс и со знаком минус входит только по одному элементу каждой строки и каждого столбца определителя.

Определителем четвертого порядка

называется выражение где

- алгебраические дополнения элементов т. е.

Примеры вычисления определителей:

Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если

а₁₁ … а_{1 n} b ₁₁ … b _{1 n}

А = ………….. ; В = …………… , то

a _m1 … а _mn b _m1 … b _mn

a _m1 + b _m1 … a _mn + b _mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковых размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a_m1 – b_m1 … a_mn – b_mn

Произведением матрицы А = [а _ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ.

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В является матрица С, элемент которой с _ij определяется по следующему правилу:

где i = 1,2, …, m ; j = 1, 2, …, k .

Для получения элемента с _ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

А = В = 9 10 , то

2*0 + 3*3 + 5*1 2*2 +3*4 + 5*2 14 26

1*0 + 0*3 + 4*1 1*2 +0*4 + 4*2 4 10

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Обратная матрица.

Пусть дана квадратная матрица а₁₁ … а_{1 n}

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то

матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица А – обратимой. Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице А,

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

Следовательно, существует обратная матрица.

Найдем алгебраические дополнения определителя:

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a _{m 1} x ₁+ a _{m 2} x ₂ + …+ a _mn x _n = b _m ;

где х₁, х₂, …, х _n - неизвестные. Числа а₁₁, а₁₂, … , а _mn называются коэффициентами системы, а b ₁, b ₂, … , b _m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а _ij

( i = 1, 2, . . ., m ; j = 1, 2, . . ., n ) и свободные члены b _i ( i =1, 2, . . ., m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а _ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х _i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b _i соответствует номеру уравнения, в которое входит b _i .

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел α ₁, α ₂, α _n , которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х₁, х₂, …, х _n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Правило Крамера.

Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3неизвестными:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ = b ₁ ;

a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ = b ₃ .

Матрица как прямоугольная таблица, составленная из чисел. Знакомство с методами решения систем линейных уравнений в приложении Microsoft Excel. Особенности решения систем уравнений методом Крамера и методом Гаусса. Характеристика программы Excel.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	07.09.2015
Размер файла	181,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Методы решения систем линейных уравнений

в приложении Microsoft Excel

Введение

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений.

Решение уравнений -- одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически - выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

Объект исследования - процесс решения систем уравнений с помощью различных численных методов (Метода Крамера, Метода Гаусса), посредством приложения MS Excel.

Предмет исследования - численные методы решения систем уравнений.

Целью работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений систем линейных уравнений с помощью приложения MS Excel.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. ознакомиться с численными методами решения систем уравнений - Методом Крамера, методом Гаусса;

3. создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;

4. сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

При изучении литературы по данной теме выявлено, что подавляющее большинство уравнений не могут быть решены аналитически, численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. На основе этого была выдвинута гипотеза.

Гипотеза: все системы уравнений можно решить с помощью численных методов с той или иной степенью точности.

В данной работе будут рассмотрены численные способы в электронных таблицах Excel.

Планы и перспективы: продолжить изучение численных методов решения систем уравнений в других программных приложениях.

1. Численные методы решение систем линейных уравнений

1.1 Система линейных уравнений

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными

Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида

Решением системы уравнения с двумя неизвестными x и y называется такая пара (х0;у0), которая является решением каждого уравнения системы.

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет. Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:

На уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.

1.2 Матричное представление системы линейных уравнений. Определитель матрицы

Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:

Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число

Пример1: Найти определители матриц и

Система линейных алгебраических уравнений

Пусть дана система 3х линейных уравнений с 3мя неизвестными

Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме

где А - матрица коэффициентов

В - расширенная матрица

Х - искомый компонентный вектор;

1.3 Решение систем уравнений методом Крамера

Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера. Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x1, x2 - корни системы уравнений,

- главный определитель системы, x1, х2 - вспомогательные определители.

Главный определитель системы определяется:

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:

Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x1, x2, x3 - корни системы уравнений,

- главный определитель системы,

x1, x2, x3 - вспомогательные определители.

Главный определитель системы определяется:

1. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить основной определитель .

2. Найти - дополнительный определитель x, получаемый из заменой первого столбца на столбец свободных членов.

3. Найти - дополнительный определитель y, получаемый из заменой второго столбца на столбец свободных членов.

4. Найти - дополнительный определитель z, получаемый из заменой третьего столбца на столбец свободных членов. Если основной определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5.

5. Найти значение переменной x по формуле x / .

6. Найти значение переменной у по формуле y / .

7. Найти значение переменной z по формуле z / .

8. Записать ответ: х=…; у=…, z=… .

Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

1.4 Решение систем уравнений методом Гаусса

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - немецкий математик и физик, работы которого оказали большое влияние на дальнейшее развитие высшей алгебры, геометрии, теории чисел, теории электричества и магнетизма.) Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он относится к числу прямых методов.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система (3) приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности

Пример 3. Решить систему уравнений по методу Гаусса.

1. Уравнение (1) разделим на a11, т.е. на 2, получим уравнение

Умножим полученное уравнение (4) на a21, т.е. на 1, получим уравнение (5).

2. Вычтем из уравнений (2) и (3) уравнение (5), получим уравнения (6) и (7).

3. Уравнение (6) разделим на a22 , т.е. на 3/2, получим уравнение (8).

4. Умножим уравнение (8) на a32 , т.е. на 1/2, получим уравнение (9).

5. Вычтем из уравнения (7) уравнение (9) получим уравнение (10).

6. Итак, прямой ход закончен, начинаем обратный ход. Подставим (10) в уравнение (8), получим x2=2 (11)

7. Подставим (11) и (10) в уравнение (5), получим: x1=1 (12)

Ответ: x1=1; x2=2; x3=3

В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

2. Построение компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений» посредством приложения Microsoft Excel

2.1 Среда разработки модели Microsoft Excel

линейный уравнение microsoft

Если же говорить о программе Excel, которая является одной из более узнаваемых в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что её способности фактически неистощимы.

Обработка текста, управление базами данных - программа так массивна, что во многих вариантах превосходит специализированные программы - редакторы либо программы баз данных. Такое обилие функций может сначала запутать, нежели вынудить использовать их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.

Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel - это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

Целью моей работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений с помощью табличного процессора MS Excel.
Для достижения этой цели передо мной были поставлены следующие задачи:
изучить литературу по данной теме;
ознакомиться с численными методами решения систем уравнений – методом Крамера и методом Гаусса;
создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;
сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

Содержание работы

Введение 3
1. Теоретическая часть 4
1.1. Численные методы решение систем линейных уравнений 4
1.1.1. Система линейных уравнений 4
1.1.2.Матричное представление системы линейных уравнений. Определитель матрицы 5
1.1.3. Решение систем уравнений методом Крамера 6
1.1.4. Решение систем уравнений методом Гаусса 8
2. Практическая часть 10
2.1. Построение компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений» посредством приложения Microsoft Excel 10
2.1.1. Среда разработки модели Microsoft Excel 10
2.2.2. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом подстановки» в Microsoft Excel 11
2.2.3. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений способом сложения» в Microsoft Excel 13
2.2.4. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» в Microsoft Excel 15
2.2.5. Методика построения компьютерной модели «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса» в Microsoft Excel 17
Заключение 20
Библиографический список 21

Содержимое работы - 1 файл

Интформатика.doc

Министерство образования Саратовской области

Саратовский государственный социально- экономический университет

Региональный конкурс творческих работ школьников

«Вектор будущего – 2011»

Реферат работы на тему

«Методы решения систем линейных уравнений средствами табличного процессора MS Excel»

(направление «Использование информационных технологий для решения прикладных задач»)

ученица 11 «Б» класса

МОУ «СОШ №8» Волжского района

Щербакова Елизавета Владимировна

учитель математики и информатики

Карнаухова Оксана Сергеевна

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, но чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. К таким задачам можно отнести, например, конструирование инженерных сооружений, обработку результатов измерений, решение задач планирования производственного процесса и ряд других задач техники, экономики и научного эксперимента.

Решение уравнений — одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и стали предприниматься активные попытки для увеличения их точности.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически – выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены таким способом.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

Целью моей работы является изучение численных методов решения систем линейных уравнений и построение компьютерной модели этих решений с помощью табличного процессора MS Excel.

Для достижения этой цели передо мной были поставлены следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;
2. ознакомиться с численными методами решения систем уравнений – методом Крамера и методом Гаусса;
3. создать компьютерные модели решения системы линейных уравнений разными способами в MS Excel;
4. сравнить имеющиеся численные методы решения систем линейных уравнений, выявить их достоинства и недостатки.

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными. Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида

Решением системы уравнения с двумя неизвестными x и y называется такая пара (х₀;у₀), которая является решением каждого уравнения системы.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:

1. графический;
2. метод сложения;
3. метод подстановки.

На уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:

Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число .

Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число

Пример 1: Найти определители матриц и .

Система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными

Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме А Х = В,

где А – матрица коэффициентов;

В – расширенная матрица;

Х – искомый компонентный вектор.

Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера.

Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x₁, x₂ – корни системы уравнений, D – главный определитель системы, D x₁, D х₂ – вспомогательные определители.

Главный определитель системы определяется:

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера. Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:

Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:

где x₁, x₂, x₃ – корни системы уравнений, D – главный определитель системы, D x₁, D x₂, D x₃ – вспомогательные определители.

Главный определитель системы определяется:

1. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить основной определитель D .
2. Найти дополнительный определитель D _x, получаемый из D заменой первого столбца на столбец свободных членов.
3. Найти дополнительный определитель D _y, получаемый из D заменой второго столбца на столбец свободных членов.
4. Найти дополнительный определитель D _z, получаемый из D заменой третьего столбца на столбец свободных членов. Если основной определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5.
5. Найти значение переменной x по формуле D _x/ D .
6. Найти значение переменной у по формуле D _y/ D .
7. Найти значение переменной z по формуле D _z/ D .
8. Записать ответ: х=…; у=…, z=….

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Ответ: x=1, y=2, z=3.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он относится к числу прямых методов.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

В дополнение темы по построению балансовых моделей в Microsoft Excel я решил выпустить отдельную статью на тему решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel, которая имеет более широкое применение. В математике есть несколько методов решения СЛАУ. Применительно к Excel самым эффективным и простым является так называемый матричный метод. Приведенная методика решения уравнений проста в освоении и очень производительна. Данная информация будет полезна для учащихся, тем, кто связан в работе с математическими расчетами, а также всем, кто интересуется продвинутыми возможностями Excel.

Рассмотрим систему из трех линейных уравнений:

Данную систему уравнений можно записать в так называемом матричном виде, то есть обобщить все элементы системы:

Преобразования над уравнением в матричной записи аналогичны обычному уравнению, таким образом, получим:

Таким образом, для решения системы уравнений необходимо решить полученное уравнение в матричном виде относительно X. Произведем несложные расчеты в Excel с применением функций по работе с матрицами.

Сформируем на листе Excel матрицы коэффициентов и свободных членов, как показано на рисунке.

Вычислим обратную матрицу коэффициентов, т.е. A^-1, воспользовавшись специальной функцией МОБР() (вводится через формулы массива, т.е. при помощи нажатия Ctrl+Shift+Enter):

Результат работы команды:

Далее перемножим полученную матрицу с матрицей линейных коэффициентов, т.е. вычислим Y*A^-1 через функцию по перемножению матриц МУМНОЖ() (также формулы массивов!), что и будет решением уравнения:

Данные вычисления можно сделать вручную, как показано в приведенном примере, но можно и автоматизировать! В нашей надстройке SubEx для Excel есть мастер решения систем уравнений. Задайте матрицы коэффициентов и свободных членов - все вычисления программа сделает автоматически.

Как было сказано выше, приведенный метод очень производительный и может с легкостью решать системы из сотен и более уравнений.

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Читайте также:

  
• Как определить пенсионный возраст в excel
  
• Отключить проверку ошибок в excel
  
• Step editing mode fl studio что это
  
• 1с чрг не работает
  
• Как закрепить письмо в outlook