Построение эпюр в excel

Обновлено: 07.07.2024

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — М. А. Никитин, К. М. Павленко

Эпюры основных механических характеристик строительных конструкций являются общепризнанным способом наглядного изображения распределения этих характеристик в конструкции. При изучении курса строительной механики выполняются задачи расчета различных конструкций на изгиб. Одним из известных современных Windows-приложений являются разные версии Microsoft Excel, реализованные в программном пакете Microsoft Office, который изучают на первом курсе. Широкий спектр математических функций, содержащихся в Microsoft Excel, реализация процессов «Автозаполнение», «Автосуммирование» позволяет значительно увеличить скорость выполнения расчета и избежать случайных вычислительных ошибок. Приведены выполненные средствами пакета Microsoft Excel таблицы с расчетом изгибающего момента, продольных и перерезывающих сил криволинейной арки, типичной формы выработок подземных сооружений, нагруженной равномерно распределенными вертикальной и горизонтальной нагрузками. Для построения эпюр рассчитанных величин использовался программный пакет MatLab, предоставляющий возможность на одном графике изображать произвольное количество зависимостей по заданным наборам аргументов и функций. Проведены вспомогательные расчеты для преобразования полученных значений эпюр в систему координат пакета и получены эпюры изгибающего момента, поперечных и перерезывающих сил.

Текст научной работы на тему «Применение электронных таблиц Excel в расчете строительных конструкций на изгиб»

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ EXCEL В РАСЧЕТЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ИЗГИБ

To draw the diagrams of calculated values the program package MathLab has been used. It makes possible to plot on one chart the arbitrarily quantities of dependencies on set arguments and junctions. Auxiliary calculations for transforming the diagram parameters obtained into the system of package coordinates are made and bend moment diagrams, longitudinal and cutting forces are obtained.

Активное внедрение вычислительной техники в инженерную практику и повсеместное распространение персональных компьютеров со стандартным программным обеспечением стимулируют выполнение всевозможных инженерных расчетов на компьютере. Для этих целей разрабатываются различные программные продукты. Одним из известных современных Windows-приложений являются разные версии Microsoft Excel, реализованные в программ-

ном пакете Microsoft Office, который изучают на первом курсе. Широкий спектр математических функций, содержащихся в Microsoft Excel, реализация процессов «Автозаполнение», «Автосуммирование» позволяют значительно увеличить скорость выполнения расчета и избежать случайных вычислительных ошибок. Получаемые таблицы редактируются общепринятыми приемами пакета Microsoft Office и могут быть вставлены в любой документ.

Рис. 1. Расчетная схема

При использовании пакета Microsoft Excel создается шаблон, по которому реализуется расчет для любого набора исходных данных.

Эпюры основных механических характеристик строительных конструкций являются общепризнанным способом наглядного изображения распределения этих характеристик в конструкции. Расчет производится для отдельных точек, по значению которых изображается эпюра. Приведена выполненная средствами пакета Microsoft Excel таблица с шаблоном расчета изгибающего момента, продольных и перерезывающих сил криволинейной арки, нагруженной равномерно распределенными вертикальной и горизонтальной нагрузками. При изучении курса строительной механики выполняются задачи расчета различных конструкций на изгиб.

Приводим расчет для криволинейной рамы арочного очертания, типичной для формы выработок подземных сооружений. Требуется определить изгибающие моменты, продольные и перерезывающие силы в отдельных точках оси криволинейной рамы, нагруженной равномерно распределенными вертикальной и горизонтальной нагрузками (рис.1). Нижние концы рамы свободно оперты на жесткие опоры. В силу наличия вертикальной оси симметрии расчет выполняется для половины арки. Изгибающий момент в любом сечении арки (как функция дуги s, отсчитываемой от вертикального сечения) вычисляется по формуле

Н - высота арки, м; Ь - полуширина арки, м.

Интегралы вычисляются по формуле трапеций, для чего определяются значения подынтегральных функций в разных точках арки

Следующие два столбца таблицы отводятся для вычисления подынтегральных функций. Значения интегралов получаются автосуммированием соответствующих столбцов. Далее в таблице реализуется вычисление изгибающего момента в точках (х,-, у,). Вычисление продольной и поперечной силы выполняется в двух следующих столбцах таблицы. На вертикальной оси перерезывающая сила равняется нулю, а продольная

Дисциплина «техническая механика» содержит в себе задания для расчётно-аналитических и расчётно-графических работ по всем разделам курса технической механики. Данная методичка содержит задание для расчётно-графической работы «Определение усилий в сечениях трёхшарнирной арки» как для чётного так и нечётного вариантов и построения эпюр Q,M,N в Excel.

Глава 6 «СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ». Определение усилий в сечениях трёхшарнирной арки.

(Пример нечётного варианта)

Построение эпюр в Microsoft Excel

Чётный вариант

1) Записываем данные своего варианта.

2) Записываем в ячейки: x, y, tga, sin a, cos a, Q б , M б , Q, M, N.

3) Обозначаем точки в строке X. (В точках, где приложена сосредоточенная нагрузка, записываем значение точки 2 раза) Записываем в столбец X значения 0 и 1, после чего выделяем их, щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечного значения.

4) В строке Y вводим формулу. Формула начинается со знака “=”

а) Для чётных вариантов принять очертание арки по дуге окружности

В ячейку вводим формулу.

=-1/8*(3*$A$2-КОРЕНЬ(9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2))

$A$2-длинна арки (l, м) – абсолютный адрес-F4

КОРЕНЬ - Вставка-Функция…

Вводим значение под корнем:

9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2

Нажимаем кнопку ОК

5) Щёлкаем левой кнопкой мыши полученное значение. В правом нижнем углу щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечной точки.

6) В строке tga вводим формулу.

=4*($A$2-2*A7)/КОРЕНЬ(9*$A$2^2+64*$A$2*A7-64*A7^2)

Щёлкаем левой кнопкой мыши полученное значение. В правом нижнем углу щёлкаем по маркеру и протягиваем до конечной точки.

7)В строке sina вводим формулу.

=C7/КОРЕНЬ(1+C7^2) (С7 - tga)

8) В строке cosa вводим формулу.

=1/КОРЕНЬ(1+C7^2) (С7 - tga)

Разбиваем арку на участки с однородной нагрузкой.

9) Определяем балочные изгибающие моменты в точках (M б , кНм) (В точках, где приложена сосредоточенная нагрузка записываем значение точки 2 раза).

Задана балка, выполненная из одного материала, с жестко заделанным левым и свободно опертым правым концом, длиной l=2,5 м, нагруженная на части длины гидростатической нагрузкой q=20кН, с=0,5 м.

Рис. 2.1 Расчетная схема

Решение в общем виде выглядит:

Для рассматриваемого случая имеет вид:

(2.1)

Тогда выражение для определения прогиба запишется:

(2.2)

Чтобы получить формулы для определения величин угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы, необходимо соответственно найти первую, вторую третью производные ν по х из выражения (2.2):

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

В данной задаче балка жестко закреплена с обоих концов. Следовательно, в начале и конце балки прогиб и угол поворота равняются нулю.

Приравняем к нулю выражения (2.2) и (2.3) при х=0:

(2.8)

(2.9)

Из уравнений (2.8) и (2.9) следует, что .

Приравниваем к нулю выражения (2.2) и (2.5) при x=l: ν(l)=0;(l)=0:

(2.10)

(2.11)

Подставим в уравнение (2.10) полученные выше значения =0 и=0; умножим уравнение (2.10) на EI, переносим свободные члены в правую часть и сводим данные уравнения (2.10) и (2.11) в систему:

(2.12)

Получаем систему уравнений для определения двух начальных параметров (M0, Q0).

Решив систему (2.12) и получив значения , можно вычислить все характеристики изогнутой балки: прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу, применив формулы (2.2), (2.3), (2.5), (2.7) соответственно.

3.Решение и построение эпюр средствами ms excel

Для решения системы (2.12) используем матричный способ решения систем линейных уравнений. В Excel заносим в ячейки B2:В5исходные данные для расчета (рис.3.1). В ячейкахA8:B9,E8:E9вычисляем коэффициенты и столбец свободных членов системы линейных алгебраических уравнений (2.12). Определяем обратную матрицу в диапазоне ячеекA11:B12. В ячейкахЕ11:Е12вычисляем искомые значенияикак результат умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.

Рис. 3.1. Фрагмент листа Excel с исходными данными расчета в режиме отображения чисел

Рис. 3.2 Фрагмент листа Excel с решением системы уравнений (2.12) в режиме отображения формул

В ячейки A13:A24заносятся значения координатыx, для которых будут

вычисляться смещения, угол поворота, изгибающие моменты и перерезывающая сила.

В ячейках B13:B24вычисляется прогиб по формуле (2.2) с нормирующиммножителемEI.

В ячейках C13:C24вычисляется угол поворота точек оси балки по формуле (2.3) снормирующим множителемEI.

В ячейках D13:D24вычисляется изгибающий момент точек оси балки по формуле(2.5).

В ячейках E13:E24вычисляется перерезывающая сила точек оси балки по формуле(2.7) (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Фрагмент листаExcel с вычислением формул искомых величин в режиме числе

Вычисления в режиме проверки формул приведены ниже (рис. 3.4 – 3.7).

Рис. 3.4. Фрагмент листа Excel с вычислением прогиба в режиме отображения формул

Рис. 3.5. Фрагмент листа Excel с вычислением угла поворота в режиме отображения формул

Рис. 3.6. Фрагмент листа Excel с вычислением изгибающего момента в режиме отображения формул

Рис. 3.7. Фрагмент листа Excel с вычислением перерезывающей силы в режиме отображения формул

Рис. 3.8. Эпюра прогиба оси балки

Рис. 3.9. Эпюра угла поворота оси балки

Рис. 3.10. Эпюра изгибающего момента оси балки

Рис. 3.11. Эпюра перерезывающей силы оси балки

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Обучение в техническом университете непрерывно связано с решением огромного количества различных задач. Умение решать поставленные задачи и является главной целью обучения. Мир неизменно меняется, и ныне практически все задачи решаются с помощью компьютера. Для упрощения решения некоторых из них существуют специально разработанные программы.

Fortran- програмный пакет, позволяющий не только получить численный результат, но и к тому же наглядное отображение результата.

Mathcad- проще и удобней чем Fortran, но все его процессы счисления остаются скрытыми для нас. Доступен только результат.

Excel – программа для составления таблиц, но её способности не ограничиваются этим.

Данная работа посвящена решению задач из области теоретической механики, сопротивления материалов, математики и физики.

В первой главе разбирается программа аппроксимации таблицы данных полиномом второй степени.

Во второй главе приводится пример расчета реакций балки при продольной нагрузке.

В третьей главе рассматривается система с пятью степенями свободы. В ней вычисляются ее собственные колебания, и иллюстрируется поведение системы.

В четвертой главе выполняется расчет собственных форм колебаний упругой балки.

В пятой главе мы практикуемся в теории функции комплексной переменной.

Естественно, для решения этих задач необходимы знания по соответствующим дисциплинам. Но нельзя не отметить и то, что данная работа повышает навык и умение работать с документами, в частности, формата Word. Также были получены общие принципы оформления подобных работ.

1. Аппроксимация табличных данных

Результат, полученный эксперементально, часто не совпадает с полученным теоретически, то есть имеет погрешность. Для решения этой проблемы используется метод наименьших квадратов.

1.1 Исходные данные

В результате проведения физического эксперимента, получена табличная зависимость ввиде набора из n=15 точек xi yi, и равняется 1…n. Расположение точек на плоскости X0У показанно на рис. 1.1

Численные значения координат приведены в таблице 1

Координаты точек Таблица №1

Требуется аппроксимировать приведённую табличную зависимость полинома второго порядка, то есть найти коэффициенты функции.

(1.1)

1.2 Решение с использованием Excel

Копируем таблицу 1.1 в Excel. Выделяем все Х и Y, строим точечный график из одних точек. Затем правый щелчок на любую полученную точку  Добавить линию тренда  Поставить флажок напротив «Полиномиальная» (степень 2).

Таким образом, используя аппроксимацию Excel, определили коэффициенты

=0,272 ; =0;=-2,352.

Математический аппарат метода наименьших квадратов

Для аппроксимации дискретной зависимости используется метод наименьших квадратов (МНК). Метод требует , чтобы сумма квадратов отклонений ординат заданных точек от теоретической зависимости была бы минимальна, то есть разыскивается минимум функции

(1.2)

Для поиска минимума функции требуется вычесть её частные производные по параметру и прировнять их к нулю

Эти 3 уравнения образуют СЛАУ вида АС=В, где А=В

Таким образом, решив СЛАУ, можно найти коэффициенты полиномиальной зависимости .