Построение кардиоиды в excel
Обновлено: 04.07.2024
На предыдущем уроке мы познакомились с полярными координатами, а также научились строить отдельно взятые точки и распространённые кривые в данной системе координат. Давайте подведём краткие промежуточные итоги и ответим на важный вопрос:
как построить линию в полярной системе координат?
– Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.
– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.
– На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил в начале статьи о полярных координатах.
– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).
Отработаем алгоритм построения на более основательных типовых задачах:
Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.
Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:
Очевидно, что условие выполнено для любого значения «фи», но, тем не менее, расскажу об удобном графическом способе решения тригонометрического неравенства: изобразите на черновике (или представьте мысленно) график функции левой части неравеснтва и прямую правой части неравенства. Непосредственно по чертежу видно, что синусоида расположена не ниже прямой , а значит, неравенство выполнено для любого значения «икс».
Итак, на угол не наложено никаких ограничений, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:
и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи».
На практике обычно не расписывают подробные вычисления, а сразу заносят результаты в таблицу:
Рекомендую использовать мой расчётный макет, созданный в MS Excel, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения «эр», сэкономив целый вагон времени. Программу можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Особо нетерпеливым читателям предлагаю также воспользоваться handmade-продуктом и быстро начертить заготовку, ориентируясь по клеточкам:
Углы проставлены для удобства и на чистовике, понятно, их записывать не надо.
После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:
Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем, а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».
Найдём уравнение линии в декартовой системе координат. Для этого используем тоже уже знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»:
Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:
Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и грибники без труда могут отыскать море информации по данной теме. Ну а я, как обычно, предлагаю вкусную и здоровую пищу на каждый день:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная с и заканчивая ;
2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;
3) определить вид кривой.
Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения, а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту и предыдущую статью о полярных координатах! Примерный образец оформления задачи в конце урока.
Рассмотрим ещё ряд важных особенностей решения:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;
3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.
Решение: найдём область определения:
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, поэтому неравенство становится строгим. Перенесём косинус направо и развернём избушку к лесу задом:
Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Изобразим на черновике или представим мысленно графики функций , при этом нас будет интересовать только один период – от до . Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой :
То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением макушки, расположенной на симметричном отрезке .
Таким образом, . Арккосинус составляет примерно 37 градусов, поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:
Чайники могут, в принципе, вообще не загружаться областью определения и ставить тире по факту: получилось отрицательное значение «эр» – поставили.
Выполним чертёж:
На него не вместились точки, соответствующие значениям , но не уменьшать же из-за этого масштаб. Сойдёт и так.
2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. По всем признаком должна получиться гипербола.
Избавляемся от дроби:
Используем формулы перехода :
Дальнейшие действия хорошо знакомы из практикума Задачи с линиями 2-го порядка:
3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . Впрочем, формально по условию можно было и не упоминать о деталях.
Вы спросите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно!
И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и чертовски удобно – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.
Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.
Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:
Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.
Заключительное задание для самостоятельного решения:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид.
3) Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.
Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз налетал – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено академическим способом.
На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в навигации (не зря упоминались лётчики и самолёты) и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что распиаренная прямоугольная система координат как-то здесь совсем не в тему. Ну а мне пора плотно прикрыть дверь аналитической геометрии и вернуться к матанализу, где полярные координаты тоже эксплуатируются на полную катушку.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 7: Решение: 1) Найдём область определения функции:
– любое.
Заполним таблицу требуемыми значениями угла и соответствующими значениями полярного радиуса:
Выполним чертёж:
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:
Используем формулы :
– уравнение линии в прямоугольной системе координат.
3) Данная кривая представляет собой эллипс с центром симметрии в точке , большой полуосью и малой полуосью .
Пример 9: Решение: 1) Найдём область определения функции:
Заполним расчётную таблицу:
Выполним чертёж:
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:
Используем формулы :
– искомое уравнение. Это парабола.
3) Приведём уравнение линии к каноническому виду с помощью перехода к новой системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на рад. вокруг точки и её параллельным переносом центром в точку (координаты – в старой системе координат).
В результате получено каноническое уравнение параболы , фокальный параметр которой равен . Выполним чертёж:
Найдём фокус: .
Эксцентриситет любой параболы равен единице.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Пусть дана таблица с исходными данными (значения в исходной таблице расположены по оси Х равномерно с шагом 10, но точка с х=20 отсутствует).
Построим График и Точечную диаграмму с прямыми отрезками используя одну и туже таблицу.
Точечная диаграмма использует все данные из исходной таблицы: как значения х, так и y.
Диаграмма График откладывает значения по оси х равномерно (значения из столбца Ось х не используются для построения).
Значения из столбца Ось х используются в Диаграмме График только для подписей данных по оси х (значения из столбца Ось х никак не влияют на расположение точек). Это часто используется для гибкой настройки подписей по оси х (можно в качестве подписей указать любые, в том числе и текстовые значения).
Вывод : если значения по оси х расположены неравномерно (в исходной таблице нет точки с х=20, поэтому кривая на Диаграмме График имеет излом), то использование Точечной диаграммы предпочтительней.
В случае, если данные расположены по оси х равномерно (с определенным шагом), то можно использовать оба типа диаграммы - линии на диаграмме будут выглядеть одинаково. Но если некоторые значения по оси Х пропущены, то для настройки диаграммы типа График нужно изменить таблицу с исходными данными. Можно использовать функцию НД() см. статью Функция НД() в MS EXCEL . Эта функция позволяет сделать кривую на диаграмме График аналогичной кривой на Точечной диаграмме (вариант2).
СОВЕТ : Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL , в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм .
Элементарные функции (y=sin(x), y=x 2 ) удовлетворяют условию однозначности функции: одному значению Х соответствует единственное значение Y (горизонтальная линия, параллельная оси ординат, не может пересекать график функции более чем в одной точке). Поэтому, Диаграмма типа График, как и диаграмма типа Точечная, годятся для построения графика функции на плоскости.
Построим график функции y=sin(x) с использованием обоих типов диаграмм.
- подписи Оси Х: на диаграмме График на оси Х указаны фактические значения Х (могут также быть указаны любые подписи, даже текст), а на Точечной - цены основных и промежуточных делений вычислены автоматически. Т.е. подписи на этих типах диаграмм не обязательно совпадают (но можно добиться, чтобы совпадали).
- шаг вертикальной сетки: основные линии сетки на Графике проходят строго через точки значений, а на Точечной - шаг выбирается автоматически (точно предсказать не возможно, т.к. шаг зависит от размера самой диаграммы, диапазона изменения по Х и др.)
Эти графики построены в файле примера .
Кардиоиду, эпициклоиду, логарифмическую спираль и лемнискату Бернулли можно построить только с помощью диаграммы типа Точечная, т.к. эти кривые НЕ удовлетворяют условию однозначности функции: одному значению Х могут соответствовать несколько значений Y. Эти графики построены в этой статье.
Диаграммы рассеяния используются для анализа временных рядов и в статистическом анализе. Про построение этой диаграммы (возможно использовать только Точечную) см. эту статью.
Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5* t
- в столбце С – значения х = r * cos ( t )
- в столбце D – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*( cos ( t )) 3
- в столбце С – значения y = 2*( sin ( t )) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos ( t )–0,5
- в столбце D – значения x = p * cos ( t )
- в столбце Е – значения у = p * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2* sin (2* t ) 2
- в столбце D – значения x = r * cos ( t )
- в столбце E – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*( sin ( t )) 3
- в столбце D – значения у =13* cos ( t )–5* cos (2* t )–2* cos (3* t )– cos (4* t )
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Вы видели когда-нибудь красивые графики? Чтобы хотелось на них смотреть и смотреть…. Как-то наткнулся на график, о котором говорилось, что его когда-то астроном - математик подарил своей невесте траекторию движения планеты Венеры, которую можно наблюдать в течение 8 лет только с Земли:
Увидев такую красоту, мне тоже захотелось поэкспериментировать. Решил более подробно изучить тему построения графиков. И чем больше занимался этим вопросом, тем больше хотелось сделать своими руками.
Представление данных на компьютере в графическом виде впервые было реализовано в середине 50-х годов. Сначала, графика применялась в научно-военных целях.
Сейчас эта область детально изучается в высших технических учебных заведениях.
Занимаясь проектом, вывел для себя, что построение графических изображений, исследование графиков функций, одна из интересных тем программирования.
Цель моего проекта, средствами языка Delphi разработать действующую программу для построения графиков функций.
Задачи, поставленные в проекте, это: разработать пользовательский интерфейс программы, с которой легко работать и получать различные варианты одной и той же функции. Продумать инструментарий. Разрабатываемая программа должна строить по заданному параметрическому представлению графиков функций: эпициклоиды, кардиоиды, астроиды, улитки Паскаля, строфоиды.
Этапы проведения моделирования
математическое представление исследования графиков,
составление алгоритма работы,
отладка и получение результатов на компьютере в среде Delphi .
Разработка форм проекта
Чтобы удобно было работать с нужной функцией, расположим на основной форме кнопки, вызывающие выбранную функцию:
Для перехода на выбранную форму, создадим функцию:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
Структура проекта
Рассмотрим, как работает форма с квадратичной функцией
Система координат
Для того чтобы нарисовать график y:= a*sqr(x+b)+c , нужна система координат.
Начало координат на форме находится в левом верхнем углу, а начало координат для графика устанавливается в точке с координатами (X0,Y0). Значения X и Y вычисляются с учетом смещения: x+x0;y-y0.
Построение графика функции
Система координат строится черным цветом:
moveto (x0,30); lineto (x0, 500);
moveto (30,y0); lineto (1000, y0);
Коэффициенты функции задаются с помощью объекта Edit , а для использования значений коэффициентов при вычислении координат графика, преобразуем показания объекта Edit в числовые:
c := strtofloat ( edit 3. Text );
Координатами точек при изображении их на форме могут быть только целые числа. Единица измерения – пиксель. Если значения функции очень маленькие, то изображение графика нужно увеличивать в несколько раз
Построение графика функции
Pixels [x0+Trunc(x*m), y0-Trunc(y*m)]:=clgreen;
m – масштаб - целое число, подбирается в зависимости от вида графика.
x - изменяется в цикле. Шаг изменения тоже зависит от вида графика.
Графики функций строятся зеленым цветом.
Работа формы, которая строит график функции
Следующий график также из школьного курса – это кубическая функция. Порядок построения аналогичен предыдущему.
Другие графики не входят в школьный курс, но исследовать их очень интересно.
Астроида
Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R=4r.
x:=R*Cos(t)*cos(t)*cos(t);
Улитка Паскаля
Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка.
x := a*cos( 2* t) + b* cos( t);
y := a* cos( t)* sin (t) +b* sin (t);
а – диаметр исходной окружности
b -расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора
Три улитки Паскаля: зелёная a > b , красная (кардиоида) a = b и синяя a < b
Эпициклоида
Эпицикло́ида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.
x := ( a+b)*cos(t) - a* cos((a+b)* t/a);
y := (a+b)* sin( t)- a*sin ((a+b)*t/a);
a – радиус окружности, центр которой находится в начале координат;
b – радиус малой окружности
Кардиоида
Кардио́ида — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца
Пусть - радиус окружностей, начало координат находится в конечной точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах.
x := 2*a*cos(t)*(1+ cos( t));
y := 2*a* sin( t)*(1+cos(t))
Строфоида
Строфоида — алгебраическая кривая 3-го порядка.
Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком ЖилемРобервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло).
Гипоциклоида
Гипоцикло́ида — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.
, где — радиус неподвижной окружности, — радиус катящейся окружности.
К сожалению, у меня гипоциклоида пока что не получается, но, то что получается, мне очень нравится, думаю, и вам понравится.
Проект можно использовать на уроках математики при изучении функций гиперболы и параболы. А также можно работать над продолжением проекта – добавлять функции, изучаемые в школе. Конечно, мне очень хочется продолжить работу над проектом и создать проект построения функций в полярных координатах. И, как говорилось в начале проекта, может быть я смогу вывести формулу любви и построить её график.
Читайте также: