Распределение эрланга в excel

Обновлено: 05.07.2024

Рассмотрим Экспоненциальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ЭКСП.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметра распределения.

Экспоненциальное распределение (англ. Exponential distribution ) часто используется для расчета времени ожидания между случайными событиями. Ниже описаны ситуации, когда возможно применение Экспоненциального распределения :

Промежутки времени между появлением посетителей в кафе;
Промежутки времени нормальной работы оборудования между появлением неисправностей (неисправности возникают из-за случайных внешних влияний, а не по причине износа, см. Распределение Вейбулла );
Затраты времени на обслуживание одного покупателя.

Плотность вероятности Экспоненциального распределения задается следующей формулой:

График плотности распределения вероятности и интегральной функции Экспоненциального распределения выглядит следующим образом (см. ниже).

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Экспоненциальное распределение тесно связано с дискретным распределением Пуассона . Если Распределение Пуассона описывает число случайных событий, произошедших за определенный интервал времени, то Экспоненциальное распределение должноописывать длину интервала времени между двумя последовательными событиями.

Приведем пример. Предположим, что число машин, прибывающих на парковку днем, описывается распределением Пуассона со средним значением равным 15 машин в час (параметр распределения λ =15). Вероятность того, что на стоянку в течение часа приедет k машин равно:

Т.к. в среднем в час на стоянку приезжает 15 машин, то среднее время между 2-мя приезжающими машинами равно 1час/15машин=0,067. Т.к. среднее время между 2-мя событиями равно обратному значению параметра экспоненциального распределения , то параметр λ =15 , а плотность соответствующего экспоненциального распределения равна:

Экспоненциальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Экспоненциального распределения имеется функция ЭКСП.РАСП() , английское название - EXPON.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу в начале статьи) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по экспоненциальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Экспоненциальное распределение имеет обозначение Exp ( λ ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ЭКСПРАСП() , которая позволяет вычислить кумулятивную (интегральную) функцию распределения и плотность вероятности . ЭКСПРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера на листе Пример приведены несколько альтернативных формул для вычисления плотности вероятности и интегральной функции экспоненциального распределения :

=1-EXP(- λ *x) ;
=ГАММА.РАСП(x;1;1/ λ ;ИСТИНА) , т.к. экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения ;
=ВЕЙБУЛЛ.РАСП(x;1;1/ λ ;ИСТИНА) , т.к. экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла ;

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера создано Имя для параметра распределения - λ .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Генерация случайных чисел

Для генерирования массива чисел, распределенных по экспоненциальному закону , можно использовать формулу =-LN(СЛЧИС())/ λ

Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Если случайные числа содержатся в диапазоне B14:B213 , то оценку параметра экспоненциального распределения λ можно сделать с использованием формулы =1/СРЗНАЧ(B14:B213) .

Задачи

Экспоненциальное распределение широко используется в такой дисциплине как Техника обеспечения надежности (Reliability Engineering). Параметр λ называется интенсивность отказов , а 1/ λ – среднее время до отказа .

Предположим, что электронный компонент некой системы имеет срок полезного использования, описываемый Экспоненциальным распределением с интенсивностью отказа равной 10^(-3) в час, таким образом, λ = 10^(-3). Среднее время до отказа равно 1000 часов. Для того чтобы подсчитать вероятность, что компонент выйдет из строя за Среднее время до отказа, то нужно записать формулу:

Т.е. результат не зависит от параметра λ .

В MS EXCEL решение выглядит так: =ЭКСП.РАСП(10^3; 10^(-3); ИСТИНА)

Задача . Среднее время до отказа некого компонента равно 40 часов. Найти вероятность, что компонент откажет между 20 и 30 часами работы. =ЭКСП.РАСП(30; 1/40; ИСТИНА)- ЭКСП.РАСП(20; 1/40; ИСТИНА)

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Возвращает гамма-распределение. Эту функцию можно использовать для изучения переменных, которые имеют асимметричное распределение. Гамма-распределение широко используется при анализе систем массового обслуживания.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ГАММА.РАСП.

Синтаксис

ГАММА.РАСП(x; альфа; бета; интегральная)

Аргументы функции ГАММАРАСП:

X — обязательный аргумент. Значение, для которого требуется вычислить распределение.

Альфа — обязательный аргумент. Параметр распределения.

Бета — обязательный аргумент. Параметр распределения. Если аргумент "бета" = 1, функция ГАММАРАСП возвращает стандартное гамма-распределение.

Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения вероятности.

Замечания

Уравнение для гамма-функции плотности распределения вероятности имеет следующий вид:

Стандартная гамма-функция плотности распределения вероятности имеет следующий вид:

Если альфа = 1, функция ГАММАРАСП возвращает экспоненциальное распределение:

Для целого положительного n, если альфа = n/2, бета = 2 и значение "интегральная" = ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает (1 - ХИ2РАСП(x)) с n степенями свободы.

Если значение аргумента "альфа" является положительным числом, функция ГАММАРАСП называется также распределением Эрланга.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Значение, для которого требуется вычислить распределение

Параметр распределения альфа

Параметр распределения бета

Плотность вероятности при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ЛОЖЬ.

Интегральное распределение при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ИСТИНА.

Рассмотрим Гамма распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ГАММА.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.

Гамма распределение (англ. Gamma distribution ) зависит от 2-х параметров: r (определяет форму распределения) и λ (определяет масштаб). Плотность вероятности этого распределения задается следующей формулой:

где Г(r) – гамма-функция:

если r – положительное целое, то Г(r)=(r-1)!

Вышеуказанная форма записи плотности распределения наглядно показывает его связь с Экспоненциальным распределением . При r=1 Гамма распределение сводится к Экспоненциальному распределению с параметром λ.

Если параметр λ – целое число, то Гамма распределение является суммой r независимых и одинаково распределенных по экспоненциальному закону с параметром λ случайных величин x . Таким образом, случайная величина y = x ₁ + x ₂ +… x _r имеет гамма распределение с параметрами r и λ.

Экспоненциальное распределение , в свою очередь, тесно связано с дискретным распределением Пуассона . Если Распределение Пуассона описывает число случайных событий, произошедших за определенный интервал времени, то Экспоненциальное распределение, в этом случае,описывает длину временного интервала между двумя последовательными событиями.

Из этого следует, что, например, если время до наступления первого события описывается экспоненциальным распределением с параметром λ, то время до наступления второго события описывается гамма распределением с r = 2 и тем же параметром λ.

Гамма распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL принята эквивалентная, но отличающаяся параметрами форма записи плотности гамма распределения .

Параметр α ( альфа ) эквивалентен параметру r , а параметр b ( бета ) – параметру 1/λ . Ниже будем придерживаться именно такой записи, т.к. это облегчит написание формул.

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Гамма распределения имеется функция ГАММА.РАСП() , английское название - GAMMA.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, имеющая гамма распределение , примет значение меньше или равное x).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ГАММАРАСП() , которая позволяет вычислить интегральную функцию распределения и плотность вероятности . ГАММАРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Графики функций

Гамма распределение имеет обозначение Gamma (альфа; бета).

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие Имена .

Примечание : Зависимость от 2-х параметров позволяет построить распределения разнообразных форм, что расширяет применение этого распределения. Гамма распределение , как и Экспоненциальное распределение часто используется для расчета времени ожидания между случайными событиями. Кроме того, возможно использование применение этого распределения для моделирования уровня осадков и при проектировании дорог.

Как было показано выше, если параметр альфа = 1, то функция ГАММА.РАСП() возвращает экспоненциальное распределение с параметром 1/бета . Если параметр бета = 1, функция ГАММА.РАСП() возвращает стандартное гамма распределение .

Примечание : Т.к. ХИ2-распределение является частным случаем гамма распределения , то формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА ) для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА) или =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n) . А формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ) возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ) , т.е. плотность вероятности ХИ2-распределения.

В файле примера на листе Графики приведен расчет Среднего значения (математического ожидания) гамма распределения равного альфа*бета и дисперсии (квадрата стандартного отклонения) равного альфа*бета 2 . Там же построены графики функции распределения и плотности вероятности с отмеченными значениями среднего , медианы и моды .

Генерация случайных чисел и оценка параметров

Для генерирования массива чисел, имеющих гамма распределение , можно использовать формулу

=ГАММА.ОБР(СЛЧИС(); альфа; бета) Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Если случайные числа содержатся в диапазоне B15:B214 , то оценку параметра альфа можно сделать с использованием формулы =СРЗНАЧ(B15:B214)^2/ДИСП.В(B15:B214)

Для оценки параметра бета используйте формулу =ДИСП.В(B15:B214)/СРЗНАЧ(B15:B214)

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из Центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет плотность распределения :

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) — является математическим ожиданием (средним значением случайной величины) , и σ ( сигма) — является стандартным отклонением (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ — разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про Гауссову кривую , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью элементов управления Счетчик понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через дисперсию N (μ; σ 2 ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ=0 и дисперсией σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для стандартного нормального распределения имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к интегральной функции распределения (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется квантилем стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для построения доверительных интервалов .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, распределенные по нормальному закону .

СОВЕТ : О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х квантилей (или процентилей ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна медиана , то мы знаем среднее , т.е. μ. Чтобы найти стандартное отклонение нужно использовать Поиск решения . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

С помощью надстройки Пакет анализа сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.

Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.

С помощью функций СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН.В() вычислим среднее и дисперсию получившейся выборки и сравним их с расчетными.

Кроме того, построим График проверки распределения на нормальность ( Normal Probability Plot ), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из нормального распределения .

Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой стандартного отклонения , а пересечение с осью y (параметр b) – среднего значения.

Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения N (μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2) ).

Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.

В качестве примера можно провести следующую задачу.

Задача . Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг. Решение . Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и стандартным отклонением =КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2)) , запишем решение = 1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА) Ответ : 15% (см. файл примера лист Линейн.комбинация )

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением с параметрами: μ =λ , σ 2 = λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Читайте также: