Решение трансцендентных уравнений в excel

Обновлено: 07.07.2024

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

Компьютеры с OS MS Windows;
Программа Microsoft Excel;
Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;

1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;

1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;

1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.

2.Применение знаний, формирование умений и навыков:

2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;

2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

- В чем заключается постановка задачи?

- Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

- В чем заключается общая постановка задачи?

- Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.

- Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)

- В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?

- Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)

- Какая задача называется уточнения корня?

-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.

- Какими методами можно производить уточнения корня?

- Уточнения корня можно производить различными методами:

1) Метод половинного деления (бисекции);

2) Метод итераций;

3) Метод хорд (секущих);

4) Метод касательных (Ньютона);

5) Комбинированные методы.

- Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.

Применение знаний, формирование умений и навыков:

Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»

Ознакомиться с теоретической частью задания;
Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
- постановку задачи;
- алгоритм расчета;
- таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
- результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание

Дано: x 3 + 8x + 10 = 0

Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК

Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:
- если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
- повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Задания для студентов первой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
- Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;
Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо - слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).

Алгоритм для программной реализации:
1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)<0 то b:=m иначе a:=m
5. если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта 2
6. m - искомый корень.
Задания для студентов второй группы
1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.
Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .

Подготовка:

1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);

2. Представляем , где ;

Алгоритм:

1. Выбираем х₀ из (a, b);

2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);

4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;

6. Переходим к пункту 2;

7. х₁ – искомый корень.

Задания для студентов третьей группы
1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
2. Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.
Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:

,

Алгоритм метода хорд:

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k-e приближение по формуле: x_k = a - f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)). Вычислим f(xk);

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

4) Если |x_k – x_k–1| > ε, то переходим к п. 2;

5) Выводим значение корня x_k;

Задания для студентов четвертой группы
1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
3. Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:
Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:

1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f''(x) непрерывны;

2) производные f'(x) и f''(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) f(a)× f(b) < 0 (функция f(x) меняет знак на отрезке).

Тогда существует отрезок [α, β], содержащий искомый корень уравнения f(x) = 0, на котором итерационная последовательность сходится. Если в качестве нулевого приближения х0 выбрать ту граничную точку [α, β], в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x0)× f"(x0)>0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Задания для студентов пятой группы
1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.
Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.

В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Уточнения корня производилось различными методами:

1) методом бисекции;

2) методом итераций;

3) методом секущих;

4) методом Ньютона;

1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.

2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .

4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

поймал себя на мысли, что заглянул в тему только ради "трансцендентности"))
Вторая мысль: ого в топике много букв, точно что-то сакральное должны решить в Excel))
.
.
.
Это и все?! Карл!? Экспоненциальный вид!?
Ушёл спать в расстроенных чувствах)))

Решение трансцендентных уравнений методом хорд
Нужно решить уравнение методом хорд. f(x)=arcsin(x)+sqrt(x+1)=0 на отрезке -1<x<1 с точностью.

Создать цикл Анализ "что если"-"Подбор параметра."
Добрый день. В excel на работе есть классическая задача, которая решается с помощью подбора.

Решение нелинейных и трансцендентных уравнений методом Рыбакова
помогите пожалуйста сделать прогу на Borland C++: решение нелинейных и трансцендентных уравнений.

Решение трансцендентных и алгебраических уравнений методом половинного деления
Ребят, помогите пожалуйста. Написал программу, но не знаю правильно или нет, и там надо сделать так.

Переделать "Решение нелинейных уравнений методом Ньютона" в Form
У меня есть программа, ее нужно написать в form. помогите пожалуйста. Решение нелинейных уравнений.

Курсовая работа "Решение систем нелинейных уравнений Методом Ньютона"
РЕбят помогите, горю, курсач через 3 дня сдавать, а я все время работал и теперь просто без вашей.

Подбор параметра (решение уравнений)
может ли кто нибудь помочь с первым вариантом .

Что означают параметры "С" и "d" в подпрограмме для решения систем линейных уравнений методом Зейделя
Что означают параметры "С" и "d" в подпрограмме для решения систем линейных уравнений методом.

Көптеген практикалық есептерді шешу барысында алгебралық стандарт шешуі бар теңдеулерден өзге теңдеулер кездеседі. Оларды шешудің жоғары математикада бірнеше тәсілдері бар. Ал біз сол теңдеулерді MS Excel – дің көмегімен шешуді үйренейік. Ол үшін MS Excel- дің Поиск решения мәзірін іске қосу керек:

Excel терезесінде батырмасын шерту;

Параметры Excel батырмасынан Надстройки мәзірінінен “ Поиск решения “ – пунктін таңдап, ОК батырмасын шерту ;

Сонда Excel - дің “ Данные ” мәзірінде “ Поиск решения “ пайда болады.

x 5 +3х - 4=0 теңдеуін шешейік. Ол үшін:

А3 ұяшығына = A 2^5 +3* A 2 - 4 формуласын енгізу;

Сонда мына терезе шығады:

“ Данные ” мәзірінде “ Поиск решения “ батырмасын шерту:

Мына терезеде “Установить целевую ячейку ” ұяшығына формуланы енгізген ұяшық адресін беру, “значение ” ұяшығына теңдіктің оң жағындағы санды, яғни біздің жағдайда 0 санын енгізу, “Изменяя ячейки ” ұяшығына

табатын мән , яғни формуладағы белгісіз орналасқан ұяшық адресін қою.

“ Выполнить ” батырмасын шерту, Сонда мына терезе шығады:

Ок батырмасын шерту, сонда А2 ұяшығында іздеп отырған теңдеудің түбірі шығады.

Мұндағы “целевая функция “ (мақсатты функция) біздің жағдайда берілген теңдеу, “значение ” (мән) ол теңдіктің оң жағындағы сан орналасқан ұяшық, “Изменяя ячейки”

(ұяшықты өзгерту) белгісіз орналасқан ұяшық адресі.. Сонда біз іздеген теңдеудің түбірі 1- ге тең. Осы алгоритммен кезкелген теңдеудің түбірін табуға болады.

Ә д е б и е т т е р:

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков Численны е методы, М. Лаборатория базовых знаний, 2002.-632с.

2. В.И.Крылов, В.В.Бобков, В.И.Монастырный «Вычислительные методы», М. Наукэ,1976, т.1; М., Наука, 1977, т.2

3. В.М.Вержбицкий Численные методы.

Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000-266с; Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 2001.-382с.

4. Е.А.Волков «Численные методы», М.:Наука, 1982. -248с.

5. М.Г.Калиткин «Численные методы», М.:Наука, 1978. -512с.

6. Г.И.Марчук «Методы вычислительной математики», М.;Наука, 1980.— 535с

7. А. А. Самарский Теория разностных схем. М.:Наука, 1977.-656с.

8. А.А.Самарский, Н.В.Гулин «Численные методы», М.;Наука, 1989.

9. А.А.Самарский «Введение в численные методы», М., Наука, 1987

10. Б.П. Демидович и И.А. Марон Основы Вычислительной математики М.Наука, 1966 – 663 с.

1 1 .М.ПЛапчик, М.И.Рагулина, Е.Л.Хеннер «Численные методы», М,

Издательский центр «Академия», 2004-384с.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Ищем студентов
для работы онлайн
в проекте «Инфоурок»
Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 604 человека из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Көптеген практикалық есептерді шешу барысында алгебралық стандарт шешуі бар теңдеулерден өзге теңдеулер кездеседі. Оларды шешудің жоғары математикада бірнеше тәсілдері бар. Ал біз сол теңдеулерді MS Excel – дің көмегімен шешуді үйренейік. Ол үшін MS Excel- дің Поиск решения мәзірін іске қосу керек:

· Excel терезесінде батырмасын шерту;

· Параметры Excel батырмасынан Надстройки мәзірінінен “Поиск решения “ – пунктін таңдап, ОК батырмасын шерту ;

Сонда Excel - дің “ Данные ” мәзірінде “Поиск решения “ пайда болады.

x5 +3х - 4=0 теңдеуін шешейік. Ол үшін:

· А3 ұяшығына = A 2^5 +3* A 2 - 4 формуласын енгізу;

· Сонда мына терезе шығады:

· “ Данные ” мәзірінде “Поиск решения “ батырмасын шерту:

· Мына терезеде “Установить целевую ячейку ” ұяшығына формуланы енгізген ұяшық адресін беру, “значение ” ұяшығына теңдіктің оң жағындағы санды, яғни біздің жағдайда 0 санын енгізу, “Изменяя ячейки ” ұяшығына

табатын мән , яғни формуладағы белгісіз орналасқан ұяшық адресін қою.

· “ Выполнить ” батырмасын шерту, Сонда мына терезе шығады:

· Ок батырмасын шерту, сонда А2 ұяшығында іздеп отырған теңдеудің түбірі шығады.

Мұндағы “целевая функция “ (мақсатты функция) біздің жағдайда берілген теңдеу, “значение ” (мән) ол теңдіктің оң жағындағы сан орналасқан ұяшық, “Изменяя ячейки”

(ұяшықты өзгерту) белгісіз орналасқан ұяшық адресі.. Сонда біз іздеген теңдеудің түбірі 1- ге тең. Осы алгоритммен кезкелген теңдеудің түбірін табуға болады.

Ә д е б и е т т е р:

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков Численны е методы, М. Лаборатория базовых знаний, 2002.-632с.

2. В.И.Крылов, В.В.Бобков, В.И.Монастырный «Вычислительные методы», М. Наукэ,1976, т.1; М., Наука, 1977, т.2

3. В.М.Вержбицкий Численные методы.

Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000-266с; Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 2001.-382с.

4. Е.А.Волков «Численные методы», М.:Наука, 1982. -248с.

5. М.Г.Калиткин «Численные методы», М.:Наука, 1978. -512с.

6. Г.И.Марчук «Методы вычислительной математики», М.;Наука, 1980.— 535с

7. А. А. Самарский Теория разностных схем. М.:Наука, 1977.-656с.

8. А.А.Самарский, Н.В.Гулин «Численные методы», М.;Наука, 1989.

9. А.А.Самарский «Введение в численные методы», М., Наука, 1987

10. Б.П. Демидович и И.А. Марон Основы Вычислительной математики М.Наука, 1966 – 663 с.

Читайте также: