Решение задач динамического программирования в excel

Обновлено: 03.07.2024

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Другой важной особенностью метода динамического программирования является независимость оптимального решения, принимаемого на очередном шаге, от предыстории, т.е. от того, каким образом оптимизируемый процесс достиг теперешнего состояния. Оптимальное решение выбирается лишь с учетом факторов, характеризующих процесс в данный момент. Так, при выборе кратчайшего пути, ведущего из некоторого промежуточного пункта в конечный, водитель автомобиля принимает решение независимо от того, как, когда и какой дорогой он прибыл в данный пункт, руководствуется лишь расположением этого пункта в общей схеме дорог.

Метод динамического программирования характеризуется также тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться учетом его последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах.

Таким образом, динамическое программирование - это дальновидное планирование, планирование с учетом перспективы. Из всего сказанного следует, что поэтапное планирование многошагового процесса должно производиться так, чтобы при планирование каждого шага учитывалась не выгода, получаемая только на данном шаге, а общая выгода, получаемая по окончании всего процесса, и именно относительно общей выгоды производится оптимальное планирование. Этот принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности.

Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, являющего результатом первоначального решения.

При решении оптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо учитывать на каждом шаге последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которым процесс заканчивается. Здесь процесс можно планировать таким образом, чтобы последний шаг сам по себе приносил максимальный эффект.

Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно к нему «пристраивать» предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д.

Именно так - от конца к началу - и можно развернуть процедуру принятия решений. Но чтобы принять оптимальное решение на последнем шаге, надо знать, чем мог закончиться предпоследний шаг. Значит, надо сделать разные предположения о том, чем мог закончиться предпоследний шаг и для каждого из предположений найти решение, при котором эффект на последнем шаге был бы наибольшим. Такое оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно - оптимальным.

Аналогично оптимизируется решение на предпоследнем шаге, т.е. делаются все возможные предположения о том, чем мог завершиться шаг, предшествующий предпоследнему, и для каждого из возможных исходов выбирается такое решение на предпоследнем шаге, чтобы эффект за последние два шага (их которых последний уже оптимизирован) был наибольшим и т.д.

Таким образом, на каждом шаге в соответствии с принципом оптимальности ищется решение, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно состояния, достигнутого в данный момент. Если при движении от конца к началу оптимизируемого процесса определены условно - оптимальные решения для каждого шага и вычислен соответствующий эффект (эту стадию рассуждений называют иногда условной оптимизацией), то остается «пройти» весь процесс в прямом направлении (стадия безусловной оптимизации) и «прочитать» оптимальную стратегию, которая нас интересует.

В принципе, динамическое планирование может разворачиваться и в прямом направлении, т. е. от первого шага процесса к последнему.

Рассмотрим применение методов динамического программирования при решении конкретной задачи.

Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные средства S₀=80 ден. ед.

По каждому предприятию известен возможный прирост f_i(x) (i =1,2,3,4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.

1) Распределить средства S₀между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной величины.
2) Используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение между тремя предприятиями.

Данные, необходимые для решения, приведены в таблице1.

Таблица 1 - Распределение денежных единиц по предприятиям

1 предприятие f₁(х)

2 предприятие f₂(х)

3 предприятие f₃(х)

4 предприятие f₄(х)

Читайте также: