Коммутатор матриц это алгебра
Обновлено: 06.07.2024
В этой статье мы расскажем, для решения каких задач подходят матричные коммутаторы, чем они отличаются от KVM-переключателей, какова база создания матрицы, а также разберем, как выбрать KVM-оборудование.
Что умеют матричные коммутаторы
Матричный коммутатор – это оборудование, которое умеет подключать удаленные рабочие места к серверам, входящим в матрицу, в настраиваемых комбинациях.
Коммутация происходит на аппаратном уровне. Пользователи подключаются к различным машинным комплексам, имеющим разъемы USB, PS/2, RS232 и т.д., с установленным программным обеспечением, стандартным или специализированным. Спектр подключаемых устройств огромен: от камер видеосъемки до автоматизированных станков на производствах.
Рис.1. Варианты переключения сигналов с матричным коммутатором 4x4
Подобные несложные системы возможно спроектировать и реализовать без участия KVM, например с применением виртуальных рабочих столов.
KVM-технологии и специализированное оборудование нужны тогда, когда требуется создать многофункциональную систему, способную адаптироваться к новым условиям. Этому способствует сам принцип работы KVM – функционирование на аппаратном уровне. Это значит, что на производительность системы не влияет ПО подключенного оборудования. Это важно в проектах, требующих специальное оборудование и специально написанные программы, например, в системах удаленного администрирования промышленными производственными установками.
Матричный коммутатор расширяет функционал матричной сети и позволяет системному администратору централизованно управлять всеми сеансами подключения, давая тому или иному пользователю сети определенные права на управление.
Благодаря матричной коммутации создаются многоуровневые матрицы, динамически конфигурируемые, с четким разграничением возможностей пользователей и администраторским управлением данными.
Матричный коммутатор и KVM-переключатель сигналов: в чем разница
Нередко даже специалисты в IT-сфере путают эти понятия, заменяя в обиходе одно понятие другим. Да, функции этих устройств похожи, и тем не менее их следует различать.
KVM-переключатель
Рис. 2. KVM-переключатель 8x32 NTI UNIMUX
Основная задача KVM-переключателя отражена в названии устройства. Аппарат переключает сигналы между удаленными рабочими станциями и серверами.
Среди моделей переключателей существуют устройства, по своим характеристикам приближенные к коммутаторам: они умеют давать доступ управления сессиями.
Матричный коммутатор
Матричные коммутаторы умеют переключать сигналы между системами и обеспечивать мультивещание. Это значит, система позволяет множеству специалистов подключиться к матрице, распределять сигналы различных типов между разными удаленными рабочими местами. Это актуально, когда, например, нужно вывести видеосигнал на одну удаленную консоль, а аудиосигнал – на вторую. Также администратор может координировать полномочия всех подключенных пользователей, настраивая многочисленные комбинации подключений.
Рис. 3. Мультивещательная система, созданная посредством технологии матричной коммутации. KVM-переключатель не подходит для решения этой задачи
Благодаря матричной коммутации один пользователь способен подключиться сразу к нескольким серверам. Переключение между ними осуществляется мгновенно благодаря настройке горячих клавиш или OSD-меню.
Передовые производители KVM-оборудования (британская Adder и немецкая IHSE) предлагают клиентам еще более совершенные технологии. Так, например, возможно так называемое «бесшовное» подключение, когда переключение между системами осуществляется простым передвижением курсора мыши на соседний монитор.
О FreeFlow, технологии производителя Adder, подробнее читайте здесь.
Как строится KVM-матрица (обзор основных принципов: KVM over IP и «точка – точка»)
Матричный коммутатор – это центральный аппарат, вокруг которого строится KVM-матрица. В систему входит и другое KVM-оборудование: удлинители сигналов видео, аудио, USB и др. Передатчики и приемники, составляющие KVM-удлинитель, подсоединяются к матричному коммутатору двумя способами. Первый – режим «точка – точка»: передатчик и приемник подключаются к матричному коммутатору так: трансмиттер ↔ матричный коммутатор ↔ ресивер. Второй способ подключения – по IP-сети (см. рис.4).
Рис. 4. Схема матричной коммутации KVM over IP на примере KVM-решения AdderLink INFINITY
Эти способы отличаются по наибольшей длине передачи сигнала. При подключении через кабель с помощью коаксиального кабеля можно передать сигнал на расстояние до 500 метров, витой пары – до 140 метров и оптоволоконному кабелю – до 10 км. При использовании второй модели KVM over IP лимита на наибольшую допустимую длину передачи сигнала нет.
Если матричная коммутация построена по принципу KVM over IP, можно настроить доступ к системе как в локальной сети, так и с выходом в глобальную сеть. В связи с этим в IT-сфере бытует миф о недостаточной надежности коммутации KVM over IP.
Развенчать этот миф довольно просто, если понять принцип в основе коммутации. В матрице, созданной посредством IP-сети, подключение осуществляется с помощью обычного сетевого коммутатора. В случае с системой KVM over IP эту роль берет на себя сервер управления, который также подключается к IP-сети с помощью сетевого коммутатора. Это значит, что безопасность сети целиком обусловлена настройками и защищенностью сетевого коммутатора. Матричная сеть бывает открытой и закрытой. Если настроить матрицу закрытого типа, то есть без прямого подключения к интернету, ее можно считать такой же надежной, как при кабельном подключении.
Принцип KVM over IP – более совершенная технология, если сравнить с кабельным подключением. И вот почему.
- Для создания матрицы KVM over IP не нужна кабельная инфраструктура, как при кабельном подключении, когда от любого из трансмиттеров или ресиверов сети к матричному коммутатору тянутся провода. Сеть KVM over IP требует только стандартную гигабитную сеть IP.
- Сети, построенные на KVM over IP, обладают большей гибкостью относительно традиционных. Их легко масштабировать, добавив еще один источник или комплект «приемник + передатчик», подключив таким образом нового пользователя. При масштабировании KVM-матрицы, построенной по принципу «точка – точка», возникает проблема лимита портов, а значит и максимального числа приемников и передатчиков. Если в определенный момент число пользователей, которых требуется подключить, перевалит за количество доступных портов, придется приобретать еще один матричный коммутатор.
- Для матриц, созданных на базе KVM over IP, не имеет значение расстояние от источника сигнала до пользователя. Без лишних затрат на кабели и их монтаж возможно сосредоточить все компьютерное оборудование в одном строении, а специалистов переместить в другое.
Рекомендации по выбору матричного коммутатора: на что обратить внимание
Очевидно, что матричный коммутатор является частью общей системы. Нужно учитывать запросы и особенности всей матрицы и возможности KVM-удлинителей сигнала.
Необходимые типы сигналов
Матрицы, в которых важна передача звуковых или видео сигналов, управляются AV-коммутаторами. Если же нужна дополнительная поддержка управления с удаленной рабочей станции, понадобится KVM-коммутатор.
AV-коммутаторы нужны для поддержки систем наблюдения или при организации цифровых вывесок, то есть там, где оператор не управляет системой, а только переключает сигналы и просматривает видео. Если источник сигнала располагается вблизи от экрана, куда выводится сигнал, AV-коммутация не требует даже KVM-удлинителей.
Наибольшее число подключенных аппаратов
Наибольшее число подключенных к KVM-матрице машин и удаленных рабочий станций ограничено или собственно коммутатором (при подключении «точка – точка»), или сервером (при выборе KVM over IP).
Матричные коммутаторы, предполагающие кабельное подключение, имеют статические или динамические порты.
Статические порты
Если в техническом описании к коммутатору указана характеристика в формате MxN, где M – число входов, N – число выходов.
Допустим, в описании есть информация 8х4. Это значит, что максимальное количество серверов или ПК равно 8, в допустимое число пользователей системы – 4. Больше 12 устройств подключить не получится.
Матричные коммутаторы с динамическими портами
Коммутаторы более современные предполагают большую гибкость в оснащении устройствами. В любой момент матрицы, построенные вокруг таких коммутаторов, можно масштабировать. Такие решения популярны в сфере среднего и крупного бизнеса, с прицелом на будущее.
Рассмотрим на примере. На рисунке 7 ниже – 30-портовый AdderView DDX30. Из тридцати портов семь статических. К ним можно подключить пользовательские устройства. Двадцать три остальных свободно могут быть использованы как для подсоединения машин, так и новых удаленных рабочих станций.
Рис. 5. Матричный коммутатор AdderView DDX30
Чтобы не ошибиться в выборе матричного коммутатора, необходимо просчитать варианты масштабирования матрицы на ближайшие несколько лет. Имейте в виду: если вы выберете коммутатор с несколькими статическими портами, через два года они могут «закончиться», то есть понадобятся больше машин или пользователей. Если такая ситуация возникла, поможет только приобретение и подключение к первому еще одного матричного коммутатора (каскадирование).
Рис. 6. Матричный коммутатор IHSE Draco tera Enterprise (до 576 динамических портов)
Некоторые коммутаторы предполагают масштабирование за счет настройки добавочных интерфейсных модулей. К примеру, в отдельных матричных коммутаторах немецкого производителя IHSE встроено до 576 портов. Да, масштабировать матрицу будет легко, но остро встает вопрос о целесообразности приобретения такого оборудования из-за дороговизны решения.
Отказоустойчивость
Отказоустойчивость – важная характеристика, определяющая надежность всей системы. Это целый комплекс из параметров, которые обязательно нужно изучить. Мы составили список вопросов, ответив на которые легко проанализировать выбранный вариант.
Пока мы оперируем с коммутирующими наблюдаемыми, можно без ограничений пользоваться правилами обычной алгебры. Однако не все наблюдаемые заданной квантовой системы обладают свойством коммутировать друг с другом. Например, наблюдаемые квантовой системы размерности являются некоторыми функциями наблюдаемых положения и наблюдаемых импульса т. е. наблюдаемых, не коммутирующих между собой. Коммутаторы играют фундаментальную роль в теории. Они имеют
Соотношения (57) очевидны, при этом второе следует из того факта, что операции дифференцирования переставимы. Соотношение (58) есть обобщение (53), причем подразумевается
Ввиду того, что не коммутируют, определение динамической переменной требует указания порядка расположения и при явном выражении функции . На практике А обычно выражается в виде полинома от или бесконечного ряда по степеням коэффициенты которого суть функции Каждый член имеет вид произведения компонент и функций от расположенных в определенном порядке. Функция А, рассматриваемая как оператор, вполне определена только тогда, когда точно указан порядок операторов в каждом члене разложения. Важно установить, какой вид имеют коммутаторы и с заданной операторной функцией . Если мы имеем дело с функциями только от или только от то нетрудно получить соотношения:
Соотношения (59) и (60) являются частными случаями общего правила, установленного в конце § 14. Чтобы доказать равенство (61), необходимо выписать оператор в явном виде и проверить действие левой и правой частей равенства на некоторую волновую функцию (см. уравнение (II. 9)). Уравнение (62) допускает ту же проверку, но в пространстве импульсов; напомним, что если есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая то функция в пространстве импульсов, соответствующая имеет вид
Тот же результат можно получить, воспользовавшись правилами алгебры коммутаторов. Приведем здесь четыре основных
правила. Они следуют из определения коммутаторов, и читатель без труда может проверить их непосредственным вычислением. Пусть А, В, С—некоторые линейные операторы. Тогда имеем:
Повторным применением правила (65) получим также
В частности, для системы в одном измерении имеем
Соотношение (62) доказано, таким образом, если представляет собой одночлен от но согласно формуле (64) оно доказано и для случая, когда выражается полиномом или, в общем случае, сходящимся рядом по степеням
Для произвольных функций от можно написать
где правые части получаются формальным дифференцированием функции А, причем подразумевается, что порядок операторов и при явном выражении функции А выбран правильно.
Проиллюстрируем это на примере квантовой системы в одном измерении. Пусть есть некоторая функция Коммутаторы и каждой из функций могут быть получены дифференцированием по этих функций, однако это будут различные операторы. Действительно, повторным применением правила (62) находим:
В математике , то коммутатор дает представление о степени , в которой некоторая бинарная операция не может быть коммутативными . В теории групп и теории колец используются разные определения .
СОДЕРЖАНИЕ
Теория групп
Коммутатор из двух элементов, г и ч , из группы G , является элементом
[ g , h ] = g −1 h −1 gh .
Этот элемент равен идентичности группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (из определения gh = hg [ g , h ] , будучи [ g , h ] равным единице тогда и только тогда, когда gh = hg ).
Множество всех коммутаторов группы в общем случае не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа из G генерируется всеми коммутаторы закрыта и называется производной группа или коммутант из G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп и наибольшей абелевой фактор-группы .
Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как
[ g , h ] = ghg −1 час −1 .
Тождества (теория групп)
Коммутаторные тождества - важный инструмент в теории групп . Выражение х обозначает конъюгат из от х , определяется как х -1 ах .
Тождество (5) также известно как тождество Холла – Витта в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).
NB, приведенное выше определение конъюгата a с помощью x используется некоторыми теоретиками групп. Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax −1 . Об этом часто пишут . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений. Икс а ^ а>
Используются многие тождества, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо себя ведут вторые силы:
( Икс у ) 2 знак равно Икс 2 у 2 [ у , Икс ] [ [ у , Икс ] , у ] . = x ^ y ^ [y, x] [[y, x], y].>
Теория колец
Коммутатор из двух элементов и б из кольца (включая любую ассоциативную алгебру ) определяются
[ а , б ] знак равно а б - б а .
Он равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как скобку Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .
Антикоммутатор из двух элементов и б кольца или ассоциативная алгебра определяется
Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем используется для обозначения коммутатора. Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц. [ а , б ] + > [ а , б ] - >
Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности - это, в конечном счете, теорема о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона – Шредингера . В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функциональных звездных произведений называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.
Тождества (теория колец)
Коммутатор обладает следующими свойствами:
Тождества алгебры Ли
Дополнительные удостоверения
Если A - фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для карты, задаваемой . Другими словами, отображение объявления определяет вывод на кольце R . Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выразить Z - билинейность . объявление А : р → р _ : R \ rightarrow R> объявление А ( B ) знак равно [ А , B ] _ (B) = [A, B]>
Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанное выше обозначение ±. Например:
Экспоненциальные тождества
Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспонента может быть осмысленно определена, например банахова алгебра или кольцо формальных степенных рядов . е А знак равно exp ( А ) знак равно 1 + А + 1 2 ! А 2 + ⋯ > A ^ + \ cdots>
В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. Ниже в сопряженном выводе .) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для log (exp ( A ) exp ( B )). е А B е - А знак равно B + [ А , B ] + 1 2 ! [ А , [ А , B ] ] + 1 3 ! [ А , [ А , [ А , B ] ] ] + ⋯ знак равно е объявление А ( B ) . \ = \ B + [A, B] + > [A, [A, B]] + > [A, [A, [A, B]]] + \ cdots \ = \ e ^ _ > (B).>
Подобное разложение выражает групповой коммутатор выражений (аналогично элементам группы Ли) через серию вложенных коммутаторов (скобки Ли), е А
Градуированные кольца и алгебры
При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как
Присоединенный вывод
Другое обозначение оказывается полезным, особенно если речь идет о нескольких коммутаторах в кольце R. Для элемента мы определяем сопряженное отображение следующим образом: Икс ∈ р а d Икс : р → р _ : R \ to R>
объявление Икс ( у ) знак равно [ Икс , у ] знак равно Икс у - у Икс . _ (y) = [x, y] = xy-yx.>
Это отображение является производным на кольце R :
По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:
Составив такие отображения, мы получаем, например, и объявление Икс объявление у ( z ) знак равно [ Икс , [ у , z ] ] _ \ operatorname _ (z) = [x, [y, z] \,]>
объявление Икс 2 ( z ) знак равно объявление Икс ( объявление Икс ( z ) ) знак равно [ Икс , [ Икс , z ] ] . _ ^ \! (z) \ = \ \ operatorname _ \! (\ operatorname _ \! (z) ) \ = \ [x, [x, z] \,].> Мы можем рассматривать себя как отображение, где - кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда - гомоморфизм алгебр Ли , сохраняющий коммутатор: а d > а d : р → E п d ( р ) : R \ to \ mathrm (R)> E п d ( р ) (R)> а d > объявление [ Икс , у ] знак равно [ объявление Икс , объявление у ] . _ <[x, y]>= \ left [\ operatorname _ , \ operatorname _ \ right].>Напротив, это не всегда гомоморфизм колец: обычно . объявление Икс у ≠ объявление Икс объявление у _ \, \ neq \, \ operatorname _ \ operatorname _ >
Общее правило Лейбница
Общее правило Лейбница , расширяя повторяющиеся производные продукта, может быть записано с помощью абстрактно присоединенного представления:
Заменяя x оператором дифференцирования и y оператором умножения , мы получаем и применяя обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n -й производной . ∂ м ж : г ↦ ж г : g \ mapsto fg> объявление ( ∂ ) ( м ж ) знак равно м ∂ ( ж ) (\ partial) (m_ ) = m _ > ∂ п ( ж г ) \! (fg)>
и >>" width="" height="" />
в алгебре, а также квантовой механике называется . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).
Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.
Содержание
Коммутатор в квантовой механике
физической величины " width="" height="" />
на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют , при этом значение величины в даном состоянии - это собственное число вектора чистого состояния:
Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:
и координат >=>>" width="" height="" />
(см. Законы сохранения
Собственные значения гамильтониана квантовой системы - это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера
и определения полной производной оператора по времени
можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:
Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества
из классической механики, где - импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.
Некоторые соотношения коммутации
Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.
>_,<\hat
>_,<\hat >_]=-\imath \hbar \delta _>" width="" height="" /> >_]=\imath e_<\hat >_>" width="" height="" /> Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины. Коммутатор является квантовым аналогом классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру Литература Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA . Читайте также:
- оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах " width="" height="" />
. >" width="" height="" />
- - абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга. >_,<\hat
>,f(>)]=-\imath \hbar \nabla f>" width="" height="" />
>_,<\hat
>_,<\hat
>_,<\hat
>^,<\hat Алгебра Ли физических величин
См. также