Как построить петлю гистерезиса в экселе

Обновлено: 29.06.2024

Цель работы:Получить на осциллографе петлю гистерезиса ферромагнетика, снять экспериментально основную характеристику намагничивания, рассчитать и построить зависимость относительной магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля.

Общие сведения:Все вещества при рассмотрении магнитных свойств принято называть магнетиками, когда они способны под действием магниного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). По своим магнитным свойствам магнетики подразделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики.

Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина – намагниченность J.

Диамагнетиками называются вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции поля, т.е. магнитные моменты атомов, ионов или молекул в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. К диамагнетикам относятся: инертные газы, молекулярный водород и азот, цинк, медь, золото, висмут, парафин и многие другие органические и не органические соединения.

Парамагнетики – вещества намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля. При внесении парамагнетиков во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается.

Особый класс магентиков образуют вещества, обладающие намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. По своему наиболее распространенному представлению (железо) их называют ферроманетиками. Ферромагнетиками называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации или изменения температуры. Ферромагнитные вещества в отличие от слабомагнитных диа – и парамагнетиков являются сильномагнитными средами: внутренние магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле. Так как внешнее магнитное поле ориентирует магнитные моменты не отдельных атомов, как в парамагнетике, а целые области спонтанной намагниченности, поэтому с ростом напряженности магнитного поля намагниченность J и магнитная индукция В уже в слабых полях растет довольно быстро до достижения определенной точки в которой наступает магнитное насыщение. Описанный процесс намагничивания ферромагнитного материала во внешнем магнитном поле, более наглядно показывает кривая намагничивания, представляющая собой зависимость магнитной индукции в материале от напряженности магнитного поля (рисунок 5.1). Из рассмотрения этой кривой видно, что магнитная проницаемость с ростом напряженности магнитного поля проходит через максимум.

Рисунок 5.1– Основная кривая индукции и магнитной проницаемости ферромагнитного материала

Кольцевой магнитопровод из ферромагнитного материала не намагничен и тока в витках катушки нет, т.е. В=0 и Н=0 (начало координат на рисунке 5.2). При постепенном увеличении намагничивающего тока, т.е. магнитодвижущая сила МДС, а следовательно, и напряженности поля от нуля до некоторого наибольшего значения магнитная индукция увеличивается по кривой начального намагничивания (0а) и достигает соответствующего максимального значения Ва. Если затем ток и напряженность поля уменьшаются, то и магнитная индукция уменьшается, при соответствующих значениях напряженности магнитная индукция несколько больше, чем при увеличении напряженности. Кривая изменения магнитной индукции (участок аб) располагается выше кривой начального намагничивания. При нулевых значениях тока и напряженности поля магнитная индукция имеет некоторое значение Вr, называемое остаточной индукцией (отрезок 0б на рисунке 5.2).

Таким образом, магнитная индукция в ферромагнитном материале зависит не только от напряженности поля, но и от предшествующего состояния ферромагнетика. Это явление называется гистерезисом. Оно обусловлено как бы внутренним трением, возникающим при изменении ориентации магнитных моментов доменов.

Такая симметричная замкнутая петля гистерезиса получается в действительности только после нескольких перемагничиваний. При первых циклах перемагничивания петля несимметричная и незамкнутая. Наибольшая замкнутая петля которая может быть получена для данного ферромагнитного материала, называется предельной.

Периодическое перемагничивание связано с затратой энергии, которая превращаясь в тепло, вызывает нагрев магнитопровода. Площадь петли гистерезиса пропорциональна энергии, затраченной при одном цикле перемагничивания. Эта энергия называется потерями от гистерезиса и выражается в ваттах на килограмм, зависит от материала, максимальной магнитной индукции и числа циклов перемагничивания.

Статьи к прочтению:

Гистерезис

SIMPLE MATHEMATICAL MODEL OF HISTERESIS LOOP FOR NONLINEAR MATERIALS

The paper is devoted to development of simple and easily interpreted mathematical model of a hysteresis loop for nonlinear materials. The analytical expressions are received, allowing to model a hysteresis at various regimes of vibrations and with various functions of saturation. Critical points of a loop are defined and their dependence on properties of material is found. Applicability of the developed model to the description hysteresis dependences of real materials is shown.

Текст научной работы на тему «Простая математическая модель петли гистерезиса для нелинейных материалов»

УДК 53.072; 537.226.4; 548.537.611

ПРОСТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Институт геологии и природопользования ДВО РАН, г. Благовещенск

Поступила в редакцию 10.03.2011

Явление гистерезиса хорошо известно в физике, технике, экономике и других отраслях науки. В физике гистерезисные зависимости встречаются у различных материалов с нелинейным откликом на внешнее воздействие, в частности у ферромагнетиков и нелинейных диэлектриков.

В настоящее время имеется достаточно много математических моделей гистерезисных зависимостей 2. Имеющиеся модели гистерезиса построены на решении нелинейных дифференциальных уравнений, либо на введении нелинейных гистерезисных членов в линейные уравнения. Подобным образом построены модели Прайсаха, Джилеса-Атертона, Хаузера и другие. Использование нелинейных уравнений приводит к значительному усложнению модели из-за того, что трудно получить универсальное решение и интерпретировать результаты. В случае линейного уравнения сложно найти достаточно простую добавку, которая не приводила бы к значительным математическим трудностям и позволяла бы воспроизвести параметры петли. Если гистерезисный член прост, как, например, функция Прайсаха и подобные ей [3], то здесь требуется задание параметров петли, т.е. такой подход позволяет получить только полуэмпирические модели. Общим недостатком указанных моделей является то, что они не позволяют получить простое аналитическое выражение, позволяющее моделировать петлю гистерезиса.

положить, что математическая модель гистерезис-ной петли тоже должна быть не сложной. Из способа Сойера-Тауэра также следует, что, в отличие от перечисленных выше, модель должна быть макроскопической. При разработке модели мы будем исходить из достаточно очевидного факта, согласно которому причиной появления петли гистерезиса является инерционность вещества, т.е. имеется отставанием по фазе между внешним воздействием и откликом материала.

Очевидно, что закономерности образования петли гистерезиса в нелинейных диэлектриках и ферромагнетиках одинаковы. Для описания магнитных материалов используется соотношение

Б(^а) = /и(ю,Н)/и0 Н(0 , (1)

для диэлектриков используется аналогичное выражение:

Р(г,ю) = а(с, Е) ■ Е(г), (2)

здесь ) - магнитная индукция, ¡л0 - магнитная постоянная, /л(о,И)- магнитная проницаемость, Н(Ь)- напряженность магнитного поля, Р(Ь)- вектор поляризации, а(о,Е) - поляризуемость, Е(Ь)-напряженность электрического поля.

Далее будем рассматривать некий абстрактный материал с функцией отклика вида (1), (2): У^,с) = Л(с, X) X^), (3)

- внешнее гармоническое воздействие, Л(а,Х) -коэффициент, зависящий от частоты изменения внешнего поля сои амплитуды внешнего воздействия Х(Ь), или спектральная функция. С математической точки зрения равенство (3) представляет собой параметрическую зависимость, где t является параметром. Как следует из (3), форма петли гистерезиса определяется видом функции Л(а),Х).

Сначала рассмотрим линейный гистерезис. В этом случае, коэффициент Л(а,Х) не зависит от

амплитуды внешнего воздействия и зависит только от частоты.

Известно, что форма спектров, как магнитной индукции, так и поляризации, во многих случаях близки к спектральной функции линейного осциллятора. Для резонансного режима колебаний [5] это функция Лоренца:

для заторможенного режима- укороченная спектральная функция:

Коэффициент Yg=\A(w)\Xg для простоты пока будем считать постоянным. Петли гистерезиса для функции (9) в координатах (X(t),Y(t)) построены на рис. 2. Как видно из рисунка, петля линейного гистерезиса представляет собой эллипс, ширина и наклон главной оси которого существенно зависит от фазы. Угловой коэффициент главной оси определятся приближенным выражением:

где т = 2в / ®02 - постоянная времени, A0 - значение функции при ®=0. Аналог выражения (6) в физике диэлектриков известен как функция Дебая [6]. Графики модуля функций (5) и (6) в зависимости от частоты показаны на рис. 1а, зависимости фазы колебаний от частоты для этих же функций показаны на рис. 1б. Для описания заторможенных спектров недебаевского вида также применяются эмпирические спектральные функций Коула-Коула и Дэвидсона-Коула [6].

Спектральные функции Лоренца и Дебая могут быть представлены в виде

Л(®) = \Л(ш)\(7) где ] - зависящий от частоты фазовый сдвиг отклика материала на воздействие внешнего поля. Будем считать, что реальные спектры с достаточной точностью могут быть описаны функцией (7).

Таким образом, линейный гистерезис может быть описан следующей параметрической зависимостью:

п / 2-ф Л sin(n/2 -ф) (10)

здесь в скобках указано значение аргумента t функций Xи Y. При нулевой фазе эллипс вырождается в прямую, с угловым коэффициентом k=Y(/Xg. При р=п/2 главная ось вертикальна, ширина эллипса максимальна, длины осей равны Y( и Х(. При >>п/2 угловой коэффициент меняет знак, и петли с фазой п-убудут зеркальным отражением петель с фазой р.

Учтем частотную зависимость амплитуды колебаний. Построим графики для линейного гистерезиса, используя спектральную функцию Лоренца (5), в резонансном режиме колебаний (Ь=(,1ф(), рис. 3а, и для заторможенного режима (Ь=5ю(), рис. 3б. В резонансном режиме зависимость формы петли от частоты и фазы рез-

Рис. 1. а - зависимость от частоты модуля спектральной функции Лоренца (5); б - Зависимость от частоты фазы функции Лоренца. Цифрами на графиках обозначена величина относительного затухания в/а. Пунктирная линия - граница между резонансным и заторможенным режимами колебаний. При затухании выше 3 графики функция Лоренца полностью совпадает с функцией Дебая (6)

Рис. 2. Графики для линейного гистерезиса, функция (9). Цифрами на графиках обозначена величина фазового сдвига

ко выражена вблизи резонансной частоты. При приближении к резонансу амплитуда, ширина петли и угловой коэффициент быстро возрастают. При тзю имеется широкая симметричная

вертикальная петля большой амплитуды. На боковых спадах резонансной кривой петли имеют малую амплитуду и ширину. Из рисунка видно, что боковые петли несимметричны относитель-

но частоты резонанса, это следствие асимметрии спектральной функции. При малых затуханиях (Ь<0,1а>д) эти различия будут невелики, при больших затуханиях (Ь>0,1а>0), возникает значительная асимметрия. Также следует учитывать, что а>реззаметно отличается от сод, и срез<п/2 [5], соответственно, амплитуда вертикального эллипса (д>=п/2) будет меньше амплитуды наклонной петли соответствующей с=юрез (рис. 3а).

Если У0>>Х0, что обычно выполняется для нелинейных материалов, то можно считать, что при малых значениях отклика У@,а) боковая образующая петли - прямая, и ее наклон совпадает с наклоном главной оси и определяется выражением (10).

В отличие от резонансного режима, для заторможенных колебаний (Ь>юд) и амплитуда, и фаза меняются плавно в широком диапазоне частот. Как видно из рис. 3б, с ростом частоты петля плавно уширяется, её амплитуда снижается. При нулевой фазе (с0) эллипс вырождается в прямую угловым коэффициентом к=У/Хд, это значение углового коэффициента максимальное. Симметричная петля (д>=п/2) имеет очень маленькую амплитуду.

Как следует из рис. 1б, для резонансного режима колебаний фаза меняется достаточно резко от 0 до -п, в узкой области частот вблизи резонанса. При больших затуханиях (заторможенный режим) фаза будет ненулевой практически во всем интервале рабочих частот, диапазон изменения фазы от 0 до -п/2. Отсюда следует, что

Рис. 3. а - линейный гистерезис для резонансного режима колебаний, спектральная функция (5), в/а =0,1 б - линейный гистерезис для заторможенного режима колебаний, спектральная функция (5), в/а0=5 Цифрами на графиках обозначена величина фазового сдвига Петля с ^=84,2о на рисунке а соответствует максимуму модуля спектральной функции (5)

в резонансном режиме петля имеет заметную ширину только в области резонанса (р^трез), в заторможенном режиме ширина петли будет ненулевой практически во всём диапазоне частот, где имеется заметная амплитуда колебаний. Для заторможенных колебаний угловой коэффициент петли может быть только положительным, в резонансном режиме он может менять знак.

Очевидно, что линейный гистерезис во многом подобен фигурам Лиссажу.

Соответственно, ширина петли будет равна 2АХ. Таким образом, ширина петли определяется только величиной входного воздействия и фазой отклика.

Для описания нелинейного гистерезиса нам необходимо найти спектральную функцию, которая бы зависела от частоты и фазы, и от амплитуды. Зависимость спектральной функции от амплитуды отклика наблюдается только для нелинейных осцилляторов [7]. Но, чтобы не усложнять задачу, мы будем считать колебания линейными. Поскольку спектральные функции линейного осциллятора не зависит от амплитуды, попробуем сконструировать нужную функцию, используя спектральные функции (5), (6) и имеющиеся функции насыщения.

В настоящее время известна только одна теоретически обоснованная функция насыщения - это функция Ланжевена, которая используется как в теории магнетизма так и в физике диэлектриков [8]:

Для диэлектриков величина a = p0E / Ш, где р0 - элементарный дипольный момент частиц, участвующих в процессе поляризации, к -постоянная Больцмана, Т - температура. В теории магнетизма a = m0Н ^ /Ш , где т0 - элементарный магнитный момент, Ие- эффективное поле [8]. График функции Ланжевена показан на рис. 4.

В теории Ланжевена рассматривается магнитное поле, действующее на отдельно взятый домен внутри материала. Но внутри материала действует эффективное поле, которое является

суперпозицией внешнего и внутреннего (реактивного) полей [8].

где Fr - реактивное поле материала, Fi - внешнее поле. Реактивное поле появляется как отклик материала на внешнее воздействие и, следовательно, зависит от частоты. В магнитных материалах это молекулярное поле Вейсса, в диэлектриках - локальное поле Лоренца. Для нелинейных материалов, как правило, Fr >> Fi, следовательно Fef « Fr. Очевидно, что реактивное поле пропорционально отклику материала на внешнее воздействие вида (9), т.е.

здесь, m0 - элементарный момент, F - амплитудный коэффициент, определяемый свойством материала.

Авторами настоящей работы из нестрогих рассуждений получена ещё одна функция насыщения, которая более точно описывает насыщение нелинейных материалов с прямоугольной петлёй гистерезиса:

где £ - некоторый коэффициент, определяемый свойствами материала. График этой функции приведён на рис. 4. Функция (16) также зависит от реактивного поля вида (14). Из рисунка видно, что различие функций L(a) и S(X) невелики.

Теперь рассмотрим вопрос о зависимости амплитуды функции насыщения от частоты. Максимальная амплитуда приведённых выше

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 4. Зависимость функции Ланжевена Ь(а) (12) и экспоненциальной функции насыщения Б(¥) (16) от величины реактивного поля

Рис. 5. Гистерезисная зависимость функции Ланжевена от величины внешнего воздействия.

Цифрами на графиках обозначена величина фазового сдвига

функций не зависит от частоты и равна 1. Для того, чтобы учесть спектральную зависимость амплитуды необходимо ввести множитель в виде модуля спектральной функции. Таким образом, сейчас мы можем записать обобщённую спектральную функцию, зависящую от амплитуды, частоты и фазы:

где Бо -обобщённая функция насыщения, У -амплитудный множитель. Поскольку амплитуда нелинейного гистерезиса будет заведомо меньше амплитуды линейного гистерезиса, здесь введён амплитудный множитель У, равный отношению амплитуд нелинейного и линейного процессов. Очевидно, что произведение У|А(й>)| равно насыщенному значению функции (17). Частотная зависимость реактивного поля определяет форму петли, спектральный множитель влияет на её амплитуду. Построим петлю гистерезиса с помощью равенства (17). В качестве функции насыщения используем функцию Ланжевена. Графики функции (17) показаны на рис. 5.

Как видно из рисунка, зависимость амплитуды, угла наклона и ширины петли от частоты и фазы такая же, как и для линейного гистерезиса. Петли с большой амплитудой имеют закруглённые концы. Это свойство функции Ланжевена, которая описывает процесс достаточно плав-

ного насыщения. Для материалов с более резким насыщением, предпочтительнее использовать экспоненциальную функцию (16).

Найдём характерные точки нелинейной петли. При малых амплитудах функцию насыщения можно считать линейной, следовательно, ширина петли определяется так же, как и для линейного гистерезиса (11), соответственно коэрцитивная сила равна полуширине петли: Xc = X0 sin р . Найдём значение функции (17) при X(t)=0, для магнитных материалов эта величина называется остаточной намагниченностью. Из условия: rat=0 находим значение реактивного поля для этой точки: Fr0 = F0|^(®)|sin( р), и далее находим соответ-вующее ему значение функции насыщения

Определим наклон боковых образующих нелинейной петли. Разложим функцию Ланжевена в ряд на линейном участке в окрестности нуля L(a))=a/3 [8], откуда, используя (14) и (15) получаем:

Далее, по аналогии с (10), находим угловой коэффициент:

X0 3kT sin(^ /2 - р)

Если также разложить в ряд экспоненциальную функцию насыщения (16), то полученный угловой коэффициент будет совпадать с (20) с точностью до постоянных множителей. Из равенства (20) следует, что по наклону линейной петли гистерезиса можно определить амплитуду напряженности внутреннего поля ¥.

Для того, чтобы показать применимость разработанной выше модели для описания гистере-зисных зависимостей реальных материалов авторами были сняты гистерезисные зависимости для феррита НМ2000 и трансформаторного железа. Феррит имеет выраженную резонансную зависимость магнитной проницаемости от частоты с резонансной частотой /И/400 кГц. В линейном режиме гистерезисные зависимости для феррита точно повторяли приведённые на рис. 3а. В нелинейном режиме петли имели форму, близкую к приведённым на рис. 5. Для трансформаторного железа, имеющего АЧХ дебаевского вида, как линейные, так и нелинейные петли в основном подчинялись общим закономерностям, показанным на рис. 3б. Отсюда следует, что полученная модель позволяет описать поведение реальных материалов и найти связь формы петли и свойств материала.

1. М.А. Красносельский, А.В. Покровский. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 275 с.

2. Hauser H., Fulmek P.L., Grossinger R. Hysteresis modeling and measurement for two-dimensional particle assembles//J. of magnetism and magnetic materials, Vol. 242-245, 2002. Р. 1067-1069.

3. Bottauscio O., Chiampi M., Chiarabaglio D., Repetto M. Preisach-type hysteresis models in magnetic field computation.//Physica B, Vol. 275, 2000.- p.p.24-39.

4. Барфут Дж., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и

их применение. М.: Мир, 1981. 526 с.

5. Ильина В.В., Лукичев А.А. Различные режимы вынужденных колебаний линейного осциллятора с затуханием и исследование соответствующих спектральных функций //Известия Самарского научного центра РАН. 2008. Т. 10. №3. C. 782-790.

6. Поплавко Ю.М. Физика диэлектриков. Киев, Вища школа, 1980. 400 с.

7. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

8. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Москва, Наука, 1976. 616 с.

SIMPLE MATHEMATICAL MODEL OF HISTERESIS LOOP FOR NONLINEAR MATERIALS

Institute of Geology and Nature Management of RAS, Blagoveschensk

Диэлектрическим гистерезисом называется явление неоднозначной зависимости поляризованности P → от напряженности внешнего поля E → у сегнетоэлектриков при циклических изменениях.

Доменная структура сегнетоэлектрика обусловливает нулевое значение дипольного момента его кристалла в отсутствие диэлектрика. При этом дипольные моменты отдельных доменов взаимно компенсируются, и домен в целом оказывается неполяризованным. Если поля накладываются друг на друга, то ориентация доменов частично изменяется: одни из них увеличиваются, а другие уменьшаются, из-за чего в кристалле возникает поляризация P → . На графике ниже показано, как именно поляризация зависит напряженности поля.

Мы видим, что сначала поляризация растет по кривой О А . После достижения точки векторы поляризации всех доменов меняют ориентацию на параллельную по отношению к полю E → . На этом участке поляризация растет за счет индуцирования P i →

E → , после чего совершается переход на прямолинейный участок A D . Продолжение этого участка до пересечения с осью O y образует отрезок, длина которого будет зависеть от спонтанной поляризации P S . Если напряженность электрического поля при этом уменьшится, то направление снижения поляризации пойдет не по той же кривой обратно, а образует новую кривую D A B ' A ' D ' , расположенную выше прежней. Это и есть схематическое изображение диэлектрического гистерезиса сегнетоэлектрика, представляющего собой задержку процесса смены ориентации и увеличение доменов в электрическом поле.

Выходит, что P → не может быть однозначно определена полем E → , т.к. она сохраняет зависимость от "истории" сегнетоэлектрика. Смена поля в обратном порядке показана нижней кривой D ' A ' B A D , которая будет симметрична по отношению к D ' A ' B ' A D .

На графике мы видим замкнутую кривую, называемую диэлектрической петлей гистерезиса.

Петли для электрической индукции могут быть получены точно таким же образом. Отложим электрическое смещение D → по оси O y и получим следующее:

Отличия петли гистерезиса для индукции заключаются только в масштабе кривых P = P ( E ) , поскольку во всех сегнетоэлектриках E ≪ D , значит, мы можем пренебречь первым слагаемым. Стрелки на графике указывают то направление, в котором происходит движение по кривой при смене напряженности поля. На отрезке О С показана остаточная поляризованность (такая, которая наблюдается у сегнетоэлектрика при падении напряженности поля до нуля). На отрезке O B ' показана напряженность, противоположно направленная по отношению к поляризованности. При такой напряженности поляризация данного сегнетоэлектрика полностью исчезает. Чем длиннее отрезок О С , тем больше остаточная поляризация; чем больше O B ' , тем лучше сегнетоэлектрик удерживает остаточную поляризацию.

Как получить петлю гистерезиса на осциллографе

Если у нас есть осциллограф, то мы можем увидеть петлю гистерезиса на его экране. Для этого нам нужно соединить два конденсатора последовательно и заполнить пространство между обкладками одного из них сегнетоэлектрическим материалом. Обозначим емкость данного конденсатора как C s . Система будет подключена к генератору переменного тока. Последовательное соединение конденсаторов дает нам одинаковые заряды на их обкладках, а также одинаковые индукции:

Здесь показатель D 0 обозначает индукцию поля в конденсаторе с обычным диэлектриком, а D - с сегнетоэлектриком. Поскольку значение диэлектрической проницаемости обычного конденсатора является постоянной величиной, то напряжение на обычном конденсаторе будет прямо пропорционально индукции.

Если на горизонтально отклоненные пластины осциллографа подать напряжение с конденсатора с сегнетоэлектриком, а на вертикальные – с обычного конденсатора, то мы увидим на экране петлю гистерезиса.

Примеры существования гистерезиса в разных условиях

Условие: поясните, как именно можно проиллюстрировать роль доменов в поляризации сегнетоэлектрика с помощью явления гистерезиса.

Решение

Сегнетоэлектрик обладает нелинейными свойствами из-за наличия в нем доменов. Нам важно такое свойство, как нелинейная зависимость между поляризацией P → и напряженностью внешнего поля E → :

Здесь χ E → - показатель, выражающий диэлектрическую восприимчивость, который также зависит от напряженности внешнего поля. Именно эта зависимость ведет к гистерезису в электрическом поле.

Вернемся к иллюстрации, представленной выше. Если взять небольшие поля, например, отрезок O A 1 , то на нем будет видно, что поляризация зависит от напряженности линейно, поскольку домены в ней еще не участвуют. На A 1 A также поляризация показывает быстрый рост с увеличением напряженности поля, поскольку процесс переориентации доменов вдоль внешнего поля идет постепенно. После этого мы видим линейное возрастание поляризации, уже не связанное с доменной структурой, которое происходит за счет индуцирования процесса полем. Если мы уменьшим напряжение, то от точки А первичный процесс пойдет в обратном порядке. В сегнетоэлектрике остается поляризация, значит, какое-то время он пытается сохранить прежнюю ориентацию доменов. Если же мы приложим поле с обратным направлением, то поляризация упадет до 0 , а если будем продолжать повышать напряженность, то домены переполяризуются (изменят знак), после чего произойдет насыщение A ' D ' .

Ответ: Насыщение означает, что все домены сориентируются по полю, но в противоположном направлении.

Условие: на рисунке представлена схема опыта с осциллографом. Два конденсатора (один с обычным диэлектриком между обкладками, второй с сегнетоэлектриком) подключены к генератору, создающему гармонически меняющуюся разность потенциалов на обкладках. Расстояния между обкладками и их площадь одинаковы. Поясните, почему в ходе опыта можно наблюдать гистерезис.

Решение

Разность потенциалов, указанная в первоначальном условии, будет распределяться между двумя конденсаторами. Обозначим расстояние между обкладками буквой d и запишем выражения, с помощью которых выражается напряженность полей в конденсаторах:

E = σ ε 1 ε 0 и E S = σ s ε s ε 0 .

Здесь σ , σ S – показатель поверхностной плотности распределения зарядов на обкладках, ε S – диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика, а ε 1 – проницаемость обычного диэлектрического материала.

Конденсаторы на схеме соединены последовательно, значит, заряды на их обкладках будут равными. Данные конденсаторы имеют одинаковую площадь, значит:

Запишем, чему будут равны разности потенциалов между обкладками:

U = E d = σ d ε 1 ε 0 и U s = U s d = σ d ε S ε 0 .

Вычислим соотношение U S U :

U S U = γ d ε S ε 0 : γ d ε 1 ε 0 = ε 1 ε S .

Если мы подадим на горизонтальную пластину осциллографа напряжение величиной U , а на вертикальную – U S , то можно будет записать следующее:

t g φ = U S U = ε 1 ε 0 E ε s ε 0 E

Ответ: Следовательно, при изменениях напряженности на экране осциллографа появится кривая с абсциссой точек в определенном масштабе ε S E и ординатой ε 0 ε 1 E = D . Это и будет нужная нам кривая гистерезиса.

Читайте также:

Как построить петлю гистерезиса в экселе

Статьи к прочтению:

Гистерезис

Похожие статьи:

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Лукичев А. А., Ильина В. В.

SIMPLE MATHEMATICAL MODEL OF HISTERESIS LOOP FOR NONLINEAR MATERIALS

Текст научной работы на тему «Простая математическая модель петли гистерезиса для нелинейных материалов»

Как получить петлю гистерезиса на осциллографе

Примеры существования гистерезиса в разных условиях