Как решать задачи на соотношение сторон по геометрии 8 класс

Обновлено: 06.07.2024

Дидактический материал для работы репетитора по математике с учеником 8 класса слабого и среднего уровня способностей. Базовый учебник по геометрии — Атанасян 7-9 кл. Почти все задачи составлены так, что первая решается в совместно с репетитором, а вторая остается для домашней работы. Вторая отличаются от первой только числами.

№1. В параллелограмме АВСD высота ВH равна 4 см, а сторона ВС=10см. Найти площадь параллелограмма.

№2. В трапеции ABCD CH – высота, BC=2см, AH=3см, HD=5см, CH=4см. Найдите площадь данной трапеции.

№3. В параллелограмме MNKP MT- биссектриса угла M. Известно, что NT=5см, TK=3см. Найти периметр данного параллелограмма.

№4.1 В трапеции MNKP верхнее основание NK и средняя линия AB равны соответственно 5 и 9 см.
Найти ее нижнее основание.

№4.2 В трапеции PQNE нижнее основание PE и средняя линия KN равны соответственно 10 и 7 см. Найти ее верхнее основание.

№5.1 В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке М, лежащей на стороне B. Найдите периметр ABCD , если АВ=6см.

№5.2 В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла А, которая разбивает сторону ВС на отрезки длиной 5см и 3 см. Найти периметр прямоугольника ABCD.

$20^\circ$

№6.1 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АВ ее диаметр, а угол АСD равен . Найти угол DСВ.

№6.2 На окружности отмечены точки А,В,С,D так, что АС-диаметр, угол АСD равен , а угол ВАС равен . Найдите угол ВСD.

$70^\circ$

№7.1 На окружности отмечены точки В, N и D. Угол ВND равен . Найдите угол ВОD.

$160^\circ$

№7.2 На окружности отмечены точки В, К и C. Угол ВОС равен . Найти угол ВКС.

$45^\circ$

№8.1 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СВ равен 4 см, угол В равен . Найти гипотенузу АВ.

$45^\circ$

№8.2 В прямоугольном треугольнике АСВ катет СА равен 3 см, угол А равен . Найти гипотенузу АВ.

№9* В трапеции АВСD АВ=СD, АС=5см, СH=3см. Найти площадь трапеции.

№10.1 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 16, 13, 6 и 13 см.

№10.2 Найти площадь трапеции, стороны которой равны 17, 10, 5 и 10 см.

№11.1 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 см.

№11.2 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 см.

№12.1 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 см, а один из катетов – 20 см.

№12.2 Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см.

№13.1 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

№13.2 Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 6 см.

$60^\circ$

№14.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 12 см, а один из острых углов cоставляет .

$30^\circ$

№15.1 Найти площадь прямоугольного треугольника , гипотенуза которого равна 16 см, а один из острых углов равен.

№16.1 В прямоугольном ∆ АВС : – прямой, АВ=" />
, АС=3, ВС=6. Найти sinA, cosA, tgA.

№16.2 В прямоугольном ∆ АВС : – прямой, АВ=" />
, АС=4, ВС=" />
.
Заполнить таблицу:

$30^\circ$

№17.1 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, АВ=6, ∠B=. Найти АС, ВС.

$30^\circ$

№17.2 В прямоугольном ∆ АВС : ∠C – прямой, СВ=6, ∠B=. Найти АС, АВ.

Задачи по геометрии на рисунках:

№20-21 Выразите через X и Y стороны а и b а и b (левая задача разбирается с репетитором по математике совместно, а права предназначена для домашней работы)

№22 Найдите по данным рисунка длины отрезков X, Y и Z:

Автор подборки задач — Николай Викторович, репетитор по математике в отставке.

С уважением, владелец сайта Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве.
Репетитор по математике в Строгино, м.Щукинская.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике".

В презентации "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике" на слайдах выведены готовые чертежи. В каждом задании требуется найти неизвестную сторону треугольника, обозначенную х.

Урок-исследование по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике».

Урок-исследование по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике». Урок давался в незнакомом классе на конкурсе «Учитель года», поэтому на занятиях используются опорные ко.

Решение задач с практическим содержанием по теме "Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике."

Презентация к открытому уроку по геометрии в 8 классе. На уроке использовалась групповая форма работы. В состав группы входили капитан, штурманы и юнги, для всех участников группы были составлены по у.

"Решение задач по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике".

Конспект урока геометрии в 8 классе (по учебнику Погорелова).

Урок геометрии в 8 классе по теме "Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике"

Урок геометрии в 8 классе по теме "Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике".

тест по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике" 8 класс

тест по геометрии по теме "соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

Задачи по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике"

Подбор задач для подготовки к ОГЭ по математике по теме "Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике".

Цели урока. Обобщение темы “ Решение прямоугольных треугольников”

Каждый ученик должен решить 16 задач по индивидуальным карточкам. Показать навыки быстрого решения задач и культуру вычислений.

Исторический материал излагает учитель в ходе урока с помощью презентации.

Воспитательные цели. Знакомство учеников с фрагментами истории математики на уроках, играет огромную роль в формировании установок толерантного сознания учащихся, расширяет их кругозор, повышает общую культуру, интерес к изучению предмета, позволяет лучше понять роль математики в развитии человеческого общества.

Ход урока

Учитель: “Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии” (Платон).

Такая надпись была при входе в первую Академию, основанную Платоном в Древней Греции. В этой Академии изучали философию. Но вступительный экзамен сдавали только по геометрии. Два условия - знание геометрии и аристократическое происхождение. Именно в это время появился профессиональный ученый - человек, посвящающий свою жизнь изучению науки и получающий за это вознаграждение. Первое сочинение, содержащее простейшие геометрические сведения, дошли до нас из Египта. Становление геометрии как науки произошло в Древней Греции ( IV-V в до н.э.) На берегу Средиземного моря в дельте Нила в 331 г д о н.э. Александр Македонский основал Александрию – столицу греко-египетского государства. Птолемей создал в ней Мусейон ( дом музей), в который приглашал для работы выдающихся ученых из разных стран. В Александрии в III в до н.э. математика переживала свой золотой век. В Мусейоне работали Евклид, Эратосфен, Аполлоний. Архимед, живя в Сиракузах, переписывался с учеными. Эратосфен заведовал библиотекой, содержащей 700 тыс. рукописей и был воспитателем наследника престола. Евклид написал “Начала”- первый учебник по геометрии. С тех пор геометрия (школьный курс) мало чем изменилась. Прошло 2200 лет он опирается на труды Фалеса, Пифагора, Демокрита, Гиппократа, Архимеда, Евдокса. Царь Птолемей приказал Евклиду переделать “Начала”, так как ему, царю, там было ничего непонятно. Евклид отказался и ответил. А что он сказал в ответ, вы узнаете, решив 24 задачи, которые умели решать еще в Древней Греции. Каждая правильно решенная задача открывает по одной букве в высказывании Евклида. Сначала разминка, решить устно. Устные упражнения (таблица №1). <Рисунок 1> < Рисунок 2>

Пифагор родился на острове Самос в IV в до н.э. Организовал там Пифагорейскую школу. Пифагора считают отцом нумерации, описывающей с помощью чисел весь мир, раскрывающей прошлое и будущее, предсказывающей судьбы людей. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Четные - счастливые, нечетные- несчастливые. Открыл формулу совершенных чисел (оно равно сумме его делителей, например- 6; 28 и т.д.) Они открыли четыре числа, остальные неизвестны. 2500 лет этот вопрос остается открытым. Изучение натуральных чисел привело Пифагора еще к одной “вечной проблеме”. “Решить в натуральных числах уравнение ”– задача Пифагора, а числа - пифагоровы тройки. (3;4;5), (6;8;10), (5:12;13), (12;16;20), (10;24;26), (20;21;29). Пифагор доказал теорему, которая носит его имя. Сейчас существует более ста доказательств этой теоремы. Я знаю доказательство теоремы Пифагора без слов. А знаете ли вы?

Учитель показывает рисунок 3 (доказательство теоремы Пифагора без слов). Ученики объясняют доказательство по рисунку.

Решение задач по карточкам. Учащиеся получают карточки в четырех вариантах. Вариант 1 разбирается устно с помощью презентации, варианты 2 и 3 учащиеся решают самостоятельно. Вариант 4 дома. Проверка задач с помощью презентации. <Рисунок 4>

Раздел 2. Синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и географии. Тригонометрия - измерение углов (греч.). Синус- полухорда (дуга) ввел индийский математик Ариабхата (476-550), косинус- дополнительный синус, тангенс (касающийся) из учения о солнечных часах для определения длины тени. Тригонометрические таблицы составил Птолемей, индийский астроном ал - Каши. Современную форму тригонометрии придал Леонард Эйлер - швейцарец по происхождению. В 13 лет поступил в Базельский университет. В 1724 году был приглашен в Петербург. 72 тома - полное собрание его сочинений. В 1783 году он умер и похоронен в Петербурге. Логарифмы и тригонометрию мы изучаем по Эйлеру.

Раздел 3. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

С помощью тригонометрии можно определить расстояние до недоступной точки (до звезд), упростить процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. И наконец мы подошли к решению прямоугольных треугольников, когда имея два элемента, один из которых сторона, можно найти остальные элементы треугольника.

Заключение

XVIII в - дифференциальная геометрия (методы математического анализа).
XIX в - начертательная геометрия, развитие военного дела и архитектуры (Г. Монж- французский математик). Проективная геометрия (Б. Паскаль, Ж. Понселе).
XIX в - геометрия Лобачевского (используется в естествознании).Современной наукой доказано, что евклидова геометрия лишь приближенно описывает окружающее нас пространство, а в космических масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства.
Б. Риман - немецкий математик (геометрия Римана) обобщил геометрию Евклида и Лобачевского.

Академик М.В. Остроградский - статистические методы.
Софья Ковалевская-первая в мире женщина-профессор математики.
П.С. Александров - лауреат Государственной премии (1943г).
Л.С. Понтрягин - советский ученый (в 14 лет потерял зрение).
М.В. Келдыш - освоение космоса.
П.Л. Чебышев - входит в число первых ученых Европы, основатель русской школы теории вероятностей
Л. Магницкий-первый учебник математики во времена Петра I, таблицы тригонометрии, логарифмов.
А.Н. Колмогоров (1903 г) - теория функций, профессор МГУ, создатель физико-математической школы в России, лауреат Ленинской и Государственной премии.
Н. Лузин - 1883г. (Томск), окончил Московский университет, член многих Академий наук (теория функций, теория рядов).
С.А. Лебедев – ЭВМ (1951 г)

Эйлер для n =3 n,=4
Лежандр и Дирихле n=5
Г. Ламе (1837) - французский математик n =7
В 1907 году в Германии была объявлена премия в 100000 немецких марок.

ЭВМ n < 10000. Обладал ли Ферма правильным доказательством теоремы?

Математика – это оружие, с помощью которого человек познает и покоряет себе окружающий мир. Когда- то была объявлена большая премия за книгу “Как человек без математики жил?” Премия так и осталась не выданной. Чтобы сделать в математике открытие, надо ее любить так, как любил ее каждый из упомянутых математиков. Сделайте хоть малую часть того, что сделал каждый из них и мир навсегда останется благодарным вам. Я хотела вызвать интерес к науке, уважение к мировой культуре, интерес к изучению предмета, понимание роли математики в развитии человечества.

Цели: повторить и обобщить изученный материал, выработать умение учащихся применять изученный материал при решении задач; подготовить учащихся к контрольной работе.

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить задания устно: найти х.

II. Решение задач.

1) АОВ = СОВ = СОD = АОD (по двум катетам).

2) tgBCO = . BCO = 30°.

3) ОBC = 90° – BCO = 90° – 30° = 60°.

4) BCD = 2BCО = 30 · 2 = 60° = BАD.

5) АBC = 2ОBC = 60 · 2 = 120° = АDС.

1) tgBCА = ; BCА = 30°.

2) BАС = 90° – 30° = 60°.

III. Самостоятельная работа.

В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

В треугольнике АВС АС = ВС, cos β = . Найдите отношение высот АМ и CN треугольника АВС.

Можно проверить решение на этом же уроке с помощью закрытой доски.

АBЕ = 120° – 90° = 30°.

2) sinАBЕ = ; AE = 3 (см).

3) АD = ВС + 2АЕ = 4 + 2 · 3 = 10 (cм).

1) ЕCD = BCD – BCЕ = 150° – 90° = 60°.

sinЕСD = ED = 2 (см).

2) сosЕCD = ; ; CE = 2 (см).

3) АD = ВС + ЕD = 3 + 2.

4) SАВСD = ∙ 2 = 6 + 2 (см2).

1) АМВ, М = 90°, сosВ = ; AM = ;

2) СNВ, N = 90°, сosВ = ;

Домашнее задание: вопросы 8–18, с. 160–161; №№ 603, 621, 626; подготовиться к контрольной работе.

Радиомачта укреплена стальными канатами, наклоненными к земле под углом в 64°. Основание каждого каната удалено от мачты на 350 м. На какой высоте укреплены на мачте верхние концы канатов?

АВD, D = 90°, tgА = ; BD = AD tgА,

ВD = 3,5 · 2,05 ≈ 7,2 (м).

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Читайте также: