Как решать задачи на соотношение сторон по геометрии

Обновлено: 01.07.2024

Образовательная: Создать условия для применения теоретического материала при решении задач, обеспечить в ходе урока ликвидацию пробелов в знаниях учащихся.

Развивающие: Способствовать развитию умений выделять главное, существенное, развитие умений логического мышления, развитие самостоятельности.

Воспитательная: Формировать познавательную активность, ответственность за свою деятельность.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Оборудование: учебник геометрии, индивидуальные карточки, тетради, мел, доска.

Организационный момент, постановка цели. 3мин

Тема урока «Решение задач по теме: «Соотношение между сторонами и углами треугольника».

Цель урока: повторить, обобщить и систематизировать знания по теме (вывесить на доску).

1) Устная работа: игра “Блеф-клуб”.

1. Верите ли вы, что углы треугольника могут быть равны:

а) 40°; 80°; 60°? (да, т.к. их сумма равна 180°)
б) 43°; 68°; 70°? (нет, т.к. их сумма не равна 180°)
в) 60°12`; 69°48`; 50°? (да, т.к. их сумма равна 180°)

2. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике:

а) угол при основании может быть равен 100°? (нет, т.к. сумма двух углов при основании будет уже больше 180°)
б) угол при вершине может быть равен 100°? (да, тогда при основании углы будут по 40°)

3. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть:

а) больше каждого из внутренних углов? (да, если треугольник – остроугольный)
б) меньше каждого из внутренних углов? (нет, по теореме о внешнем угле треугольника)

4. Верите ли вы, что внешний угол треугольника может быть равен 180°? (нет, т.к. такого треугольника не существует)

5. Верите ли вы, что в равнобедренном треугольнике с углом при основании в 40° основание больше боковой стороны? (да, т.к. угол при вершине будет 100°, а значит самый большой)

6. Верите ли вы, что катет больше гипотенузы? (нет, т.к. он лежит в прямоугольном треугольнике напротив острого угла)

7. Верите ли вы, что из проволоки, длиной 12 см, можно согнуть равнобедренный треугольник:

а) с боковой стороной 3 см? (нет, т.к. 3 см+3 см=6 см)
б) с основанием 3 см? (да, т.к. 3 см<4.5 см+4.5 см и 4.5 см<3 см+4.5 см)

2) Найти неизвестные углы треугольника :

Геометрический диктант

В треугольнике сумма углов равна…

Внешний угол треугольника равен…

3. Каждая сторона треугольника … суммы двух других сторон.

4. В треугольнике против большей стороны лежит

5. В треугольнике против меньшего угла лежит …

6. Если в треугольнике два угла равны, то…

7. Сумма двух сторон треугольника …

8. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется…

9.Длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике…

10. Во всяком треугольнике против равных сторон лежат…

Пока учитель работает устно с классом, ученики, которые не всё воспринимают на слух, работают по индивидуальным карточкам:

А1. Верно ли высказывание?

1) Сумма углов треугольника равна 180 0 .

2) Если все углы треугольника острые, то треугольник называется прямоугольным.

3) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

4) Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами.

5) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

6) Если треугольник равнобедренный, то углы при основании этого треугольника равны.

А2. Выполните тест.

1. В треугольнике АВС: АС>ВС>АВ. Какой угол больший?

2. В треугольнике АВС: АВ=15см, ВС=10см, СА=8см. Укажите меньший угол треугольника.

3 В треугольнике АО D : . Какой это треугольник?

4. Может ли быть треугольник со сторонами 6см, 3см и 3см?

а) может; б) не может; в) нет правильного ответа.

А3. Найдите неизвестный угол треугольника.

А1. Верно ли высказывание?

1) Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

2) Если один из углов прямой, то треугольник остроугольный .

3) В треугольнике может быть один острый и два прямых угла.

4) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

5) В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

6) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

А2. Выполните тест.

1. В треугольнике АВС: АС>ВС>АВ. Какой угол меньший?

2. В треугольнике АВС: АВ=15см, ВС=10см, СА=8см. Укажите больший угол треугольника.

3. В треугольнике АО D : . Какой это треугольник?

а) прямоугольный й;

4. Может ли быть треугольник со сторонами 6см, 6см и 3см?

а) не может; б) может; в) нет правильного ответа.

А3. Найдите неизвестный угол треугольника.

Закончив опрос учащихся, ученики сдают карточки индивидуальной работы.

Решение задач у доски и в тетрадях.

*Перенести условие на рисунок.

1. АВС – равнобедренный (по условию) с основанием АС => <ВАС=<С (по свойству)

<ВАС + <С + <В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) =>

< С = < ВАС = 1/2(180°- < В) = 50°

2. АD – биссектриса (по условию) => < DАС = < ВАD = 1/2 < ВАС = 25°

3. Рассмотрим АDС. < DАС + < С + < АDС = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) => < АDС = 180° - (< С +

1. < C = < DFC = 50° (см. решение 1. 1-ым способом)

2. < ВАD = 25° (см. решение 2. 1-ым способом)

3. < АDС – внешний угол АВС => < АDС = < В + < ВАD (по теореме овнешнем угле треугольника) => < АDС = 80° + 25° = 105°

Ответ: < АDС = 105°

Дано: <А = 75°; <С = 35°;
ВD – биссектриса.

Доказать: ВDС – равнобедренный.

Устно, по наводящим вопросам, находим путь решения.

1. С помощью чего устанавливается факт равнобедренности треугольника? (по определению: должны быть две равные стороны; по признаку: должны быть два равных угла)

2. С учетом условия задачи чем воспользуемся? (признаком, т.к. даны величины углов)

3. Величина какого угла ВDС известна? (<С = 35°)

4. Величину какого угла ВDС можно найти? (

5. <АВС является углом какого треугольника? ( АВС)

6. Можно ли найти величину <АВС? (да, т.к. известны два других угла АВС, < АВС = 70°)

7. Тогда какова величина

8. Делаем вывод об углах DВС (

9. Делаем вывод о DВС ( DВС – равнобедренный по признаку)

Решение записывает ученик у доски.

1. Рассмотрим АВС

<А + <АВС + <С = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) => => <АВС = 180° - (<А + <С) = 180° - (75° + 35°) = 180° - 110° = 70°

2. ВD – биссектриса (по условию) =>

3. Рассмотрим DВС.

Что и требовалась доказать.

Домашнее задание №240,241

Рефлексия. Итог урока. Сравнение предполагаемой оценки с реально полученной. Что получалось ? в чем были затруднения ?

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Цели урока:

Закрепление знаний, умений и навыков по изученной теме, устранение пробелов.
Совершенствование навыков решения задач на применение теоремы о площади параллелограмма, теорем синусов и косинусов.
Показать применение теорем синусов и косинусов в решении практических задач.
Развитие логического мышления и речи: умение логически обоснованно и доказательно рассуждать.
Воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Ход урока

I. Организационный момент. (2 мин.)

II. Актуализация опорных знаний. ( 7 мин.)

1. Повторение теоретического материала по вопросам (фронтальная работа):

2) Найти ∠В, АВ, ВС.

Тест (самостоятельная работа):

Ответы к тесту: Учитель называет и показывает правильные ответы (презентация ИКТ), учащиеся сами проверяют свои ответы, оценивая каждый правильный ответ 1 баллом и записывают свои баллы на полях. 1 – б; 2 – а; 3 – б; 4 – в; 5 – в, г; 6 – а.

III. Коррекция основных знаний (10 мин):

Групповая работа: класс разбивается на три группы:

1 группа (4 человека): работа на дополнительных досках:

Докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).
Докажите теорему синусов.
Докажите теорему косинусов методом координат.
Докажите теорему косинусов через высоту треугольника.

2 группа (6 человек): работа по индивидуальным карточкам, задания которых дифференцированы по уровням:

1 уровень (базовый): 2 человека.

Вычислите площадь треугольника MNK, если MK = 8, ∠K = 60°, ∠N = 30°.

2 уровень (повышенный с элементами углубленного изучения): 2 человека.

Решите треугольник АВС, если АВ = 6, ВС = 8, ∠С = 45°.
Выясните, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны 6,7 и 10.
В параллелограмме АВСD: АВ = 5, АD = 8, диагональBD = 9. Найти диагональ АС.

3 уровень (высокий): 2 человека.

3 группа (остальные учащиеся): решение типовых задач по готовым чертежам.

Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позволяет решить задачу наиболее рационально). За каждую правильно решенную задачу, ученик получает 1 балл и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного балла за урок, который по его окончанию переводится в оценку.

1. Найти АВ (рис.6)

3. Найти ВС (рис.8)

5. Найти АВ (рис.10)

6. Найти ∠В (рис.11)

Ответы:

IV. Самостоятельная деятельность учащихся на уроке (16 мин).

Учащимся предлагаются последовательно задачи, которые они решают в тетрадях самостоятельно. В процессе самостоятельного решения задач учитель оказывает индивидуальную помощь, по необходимости контролирует правильность решения задач менее подготовленными учащимися. Одновременно, те же задачи решают ученики на дополнительной доске. Через временной промежуток (5 - 6 мин), ученики проверяют свои записи с решениями, представленным в презентации (ИКТ) и учениками на дополнительных досках. За каждую правильно решенную задачу, ученик получает 2 балла и записывает его на полях рабочей тетради, с целью установления накопительного балла за урок, который по его окончанию переводится в оценку. Таким образом, ученик самостоятельно организовывает свою деятельность на уроке.

Задача №1: Решите треугольник (рис. 12).

Задача № 2: Решите треугольник (рис.13).

Задача № 3:Решите треугольник (рис.14).

Задача № 4:Решите треугольник (рис.15).

1. Первые шаги на пути к таблицам синусов

Тригонометрия берёт своё начало в древней Греции. Для решения прямоугольного треугольника, определения его элементов по трём данным сторонам треугольника вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих различным центральным углам круга постоянного радиуса. Эти таблицы были составлены астрономом-математиком Гиппархом из Никели (2 в. до н.э.).

Знаменитое сочинение – Альмагест астронома Клавдия Птолемея включает в себя звёздный каталог таблиц хорд. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через полградуса и играла роль таблицы синусов (полухорд). Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в Индии и трудах учёных стран ислама. Абу-л-Вафа пользовался величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу (косекансом) и составил таблицу синусов через каждые 10° . Точные таблицы появились благодаря ал-Каши, Региомонтану и другим европейским учёным 16-18 вв.

2. Дальнейшее развитие тригонометрии.

В России первые геометрические таблицы были изданы под участием Л.Ф.Магницкого в 1703 г. Под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к научению мудролюбивых тщателей».

Синус и косинус встречаются в индийских астрономических сочинениях в 4 – 5 вв. В 15 в. Региомонтан и другие математики применял для понятия «косинус дуги» латинский термин «sinus complementi».От перестановки и сокращения слов (co-sinus) образовался термин косинус.

В 9-10 вв. учёный ал-Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях.

VI. Решение задач с применением теорем синусов и косинусов (ЕГЭ 2009 г.); (10 мин).

Учитель подчеркивает актуальность изучаемой темы.

Задачи №5, 6 фронтально обсуждаются всем классом. Наиболее рациональный способ решения, один из учеников записывает на доске, а все остальные – в тетрадь.

Решение:

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2AB ×AD × cos 30°

BD 2 = 112 - 96; BD 2 = 16.

т.к. BD > 0, то BD = 4 .

Ученики самостоятельно анализируют решение задачи №6, коллективно обсуждают способы её решения и наиболее рациональный способ решения, один из учеников записывает на доске, а все остальные – в тетрадь.

Решение:

3) ABCD – параллелограмм

AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2AD × BD · cos 30°;

AB 2 = 9, т.к. AB > 0, то AB = 3

VII. Применение теорем в практической жизни (10 мин); (проведение различных измерительных работ на местности).

Вызвать к доске одного из учащихся и решать задачу с теми, кто не уверен, что справится с решением самостоятельно, остальным учащимся предложить решать задачу самостоятельно ( работа учащихся с опережающим темпом обучения).

7. Задача(№ 1036): Наблюдатель находится на расстоянии 50 км от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 2º к горизонту, а вершину – под углом 45º к горизонту. Какова высота башни?

Решение:

sin 88º = DC/AC; AC = DC/sin 88º

AC = 50/0,99; AC = 50,5

cos 88º = AD/AC; AD = AC · cos 88º

4) BC =BH + HC; HC = AD = 1,74

BC = 50 + 1,74; BC = 51,74 = 52 м

Решение:

sin 88º = DC/AC; AC = DC/sin 88º

AC = 50/0,99; AC = 50,5

по теореме синусов

50,5/0,707 = BC/0,731; BC = 50,5 · 0,731/0,707;

VIII. Дифференцированная самостоятельная работа с учетом рефлексии по уровню усвоения, изучаемого учебного материала, на уроке (15 мин).

Вариант 1 (Первый уровень – базовый – стандарт обучения)

В треугольнике ABC b = 0,3, ∠A = 32º, ∠B = 70º. Найдите неизвестные элементы треугольника.
В треугольнике ABC a = 28, b = 35, c = 42. Найдите угол, лежащий против меньшей стороны.

Вариант 2 (Второй уровень – повышенный – с элементами углубленного изучения)

В треугольнике ABC ∠A =25 º30´, b = 10,8, BE ⊥ AC, BE = 7,6. Найдите неизвестные элементы треугольника.
В треугольнике ABC ∠A = 52º, ∠B = 70º. Радиус описанной около треугольника окружности равен 7. Найдите площадь треугольника.

Вариант 3 (Третий уровень – высокий - углубленное изучение)

В треугольнике ABC a + b = 21, ∠A = 64º, ∠B = 50º. Найдите неизвестные элементы треугольника.
В треугольнике ABC BC = 3,4, ∠ABC = 130 º. Площадь треугольника равна 3,6. Найдите АС.

Ответы к самостоятельной работе

Вариант 1. 1. a ≈ 0,17, c ≈ 0,31, ∠C ≈ 78º. 2. ≈ 41º25´

Вариант 2. 2. a ≈ 9,2, ∠B ≈ 30º21´, ∠C ≈ 124º9´. 2. ≈ 61,5

Вариант 3. 3. a ≈ 11,3, b ≈ 9,7, c ≈ 11,6, ∠C = 66º. 2. ≈ 5,6

IX. Подведение итогов урока (2 мин).

Оценка учителем самостоятельной деятельности учеников на уроке по таблице:

12 – 15 баллов – оценка «5»,
8 - 11 баллов – оценка «4».

Оценка учителем деятельности учеников, выполнивших доказательства теорем на дополнительных досках с учетом их самостоятельной деятельности при решении задач.

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

v1 = 75 км/ч
v2 = 52 км/ч
t1 = 13 ч
t2 = х

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

\(\blacktriangleright\) Треугольники подобны, если их углы равны, а сходственные стороны (лежащие напротив равных углов) относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом \(k\) (пропорциональны).

\(\blacktriangleright\) Признаки подобия:

1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

2. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

3. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.

\(\blacktriangleright\) Площади подобных треугольников относятся как \(k^2\) , а периметры – как \(k\) .

\(\blacktriangleright\) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она равна половине третьей стороны.

Точка \(E\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) , причём \(\dfrac = 2\) . Точка \(D\) лежит на \(BC\) , причём \(ED\parallel AB\) . Найдите \(AB\) , если \(ED = \dfrac\) .

Так как \(ED\parallel AB\) , то \(\angle CED = \angle CAB\) , \(\angle CDE = \angle CBA\) (как соответственные при параллельных прямых и секущей), тогда треугольники \(CED\) и \(CAB\) подобны.

Так как \(EC = 2\cdot AE\) , то \(AC = 3\cdot AE\) , следовательно, \[\dfrac = \dfrac = \dfrac.\]

Так как стороны \(EC\) и \(AC\) лежат против равных углов (в треугольниках \(CED\) и \(CAB\) соответственно), то \[\dfrac = \dfrac = \dfrac,\] откуда \[AB = \dfrac\cdot ED = \dfrac\cdot\dfrac = 2.\]

Точка \(E\) лежит на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) , причём \(\dfrac = 3\) . Точка \(D\) лежит на \(BC\) , причём \(\dfrac = 0,75\) . Найдите \(\angle CED - \angle CAB\) . Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники \(CAB\) и \(CED\) :
\(\angle C\) – общий,
\[\dfrac = \dfrac = \dfrac + 1 = \dfrac + 1 = \dfrac = \dfrac,\] тогда треугольники \(CAB\) и \(CED\) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда \(\angle CED = \angle CAB\) , откуда \(\angle CED - \angle CAB = 0^\) .

\(F\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\) – медиан треугольника \(ABC\) . Известно, что \(S_ = 1\) . Найдите \(S_\) .

\(ED\) – средняя линия треугольника \(ABC\) , тогда \(ED = 0,5\cdot AB\) , \(ED\parallel AB\) .

Так как \(ED\parallel AB\) , то \(\angle DEF = \angle ABF\) , \(\angle EDF = \angle FAB\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей), следовательно, треугольники \(DEF\) и \(ABF\) подобны (по двум углам). Так как \(ED = 0,5\cdot AB\) , причём стороны \(ED\) и \(AB\) лежат (в треугольниках \(DEF\) и \(ABF\) соответственно) против равных углов, то \[\dfrac>> = \left(\dfrac\right)^2 = 0,5^2 = 0,25,\] откуда с учётом того, что \(S_ = 1\) находим \(S_ = 0,25\) .

Отрезок \(BK\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(ABC\) с точкой на противоположной стороне, причем \(\angle AKB = \angle B\) . При этом известно, что \(BK = 10\) , \(AB = 12\) , \(AC = 18\) . Найдите \(BC\) .

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACB\) :
\(\angle AKB = \angle B\) ,
\(\angle A\) – общий, тогда треугольники \(ABK\) и \(ACB\) подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда \[\dfrac = \dfrac,\] откуда \(\dfrac = \dfrac\) , следовательно \(BC = 15\) .

Отрезок \(BK\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(ABC\) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что \(\angle AKB = 105^\) , \(AB = 12\) , \(AC = 24\) , \(AK = 6\) . Найдите \(\angle ABC\) . Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACB\) :
\(\angle A\) – общий,
\[\dfrac = \dfrac,\] тогда треугольники \(ABK\) и \(ACB\) подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда \(\angle ABC = \angle AKB = 105^\) .

На сторонах \(AB\) , \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) лежат точки \(D\) , \(E\) и \(F\) соответственно. Известно, что \(\dfrac = 0,5\) , \(AC = 2\cdot DE\) , \(AB-EF=EF\) \(\angle DEF = 61^\) , \(\angle EFD = 55^\) . Найдите \(\angle C\) . Ответ дайте в градусах.

Так как \(\angle DEF = 61^\) , \(\angle EFD = 55^\) , то \(\angle EDF = 180^ - 61^ - 55^ = 64^\) .

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(EFD\) : по условию
\[\dfrac = 0,5 = \dfrac = \dfrac,\] тогда треугольники \(ABC\) и \(EFD\) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда \(\angle C = \angle EDF = 64^\) .

Отрезок \(BK\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(ABC\) с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что \(AB = 12\) , \(AC = 24\) , \(AK = 6\) , \(BK = 10\) , \(BC = 20\) . Найдите \(\angle AKB - \angle B\) . Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACB\) :
\[\dfrac = \dfrac = \dfrac,\] тогда треугольники \(ABK\) и \(ACB\) подобны по пропорциональности трех сторон.

В подобных треугольниках против пропорциональных сторон лежат равные углы, тогда \(\angle B = \angle AKB\) , следовательно \(\angle AKB - \angle B = 0^\) .

Как показывает статистика, планиметрические задачи вызывают наибольшие сложности у учащихся старших классов. Именно поэтому школьникам будет полезно освежить в памяти основные принципы решения задач с подобными треугольниками при подготовке к ЕГЭ. Причем еще раз повторить эту тему стоит всем ученикам, независимо от того, профильный или базовый уровень планирует сдавать выпускник.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете качественно подготовиться к аттестационному испытанию. Чтобы решение задач ЕГЭ по теме «Подобные треугольники» давалось легко, рекомендуем вспомнить основную теорию. Найти ее вы можете в соответствующем разделе нашего сайта. Здесь представлены основные признаки подобных треугольников (для решения заданий ЕГЭ знать их необходимо), формула отношения их площадей и другая базовая информация. Ее специалисты образовательного портала «Школково» подготовили и изложили в максимально доступной форме.

Отточить навык решения задач ЕГЭ на нахождение сторон и углов подобных треугольников, а также, например, задачи по теореме Пифагора учащиеся также смогут на нашем сайте. В разделе «Каталог» представлен широкий перечень упражнений различной сложности, который постоянно обновляется.

В каждом задании прописано решение и дан правильный ответ. Выполнять задачи с применением признаков подобия площадей подобных треугольников можно в режиме онлайн.

Любое из представленных упражнений при необходимости можно сохранить в разделе «Избранное». Таким образом, к нему возможно будет вернуться в дальнейшем, к примеру, для обсуждения с преподавателем.

Читайте также: