Как решать задачи с соотношением сторон

Обновлено: 04.07.2024

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

a и d — крайние члены пропорции

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4
Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

Запишем в виде отношения: 4 : 2
Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
Выполняем деление: 4/2 = 2

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d = a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
6 * 4 = 2 * 12
24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
10 * 4 ≠ 16 * 2
40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

По основному свойству пропорции перемножаем множители:
15 * 4 = 3x
Получаем уравнение: 60 = 3x
60/3 = x
x = 20.

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
Где x — четвертый член пропорции.
По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
Выводим уравнение 18x = 216
Находим x:
x = 216 : 18
x = 12
Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
Пропорция составлена верно.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
х = 1 * 30 : 12/8
х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Читайте также: