Как записать число в десятичной системе счисления на компьютере
Обновлено: 04.07.2024
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
Алфавит системы счисления — это перечень символов, используемый в конкретной системе счисления.
Основание системы счисления — это количество символов в её алфавите.
В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.
Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).
Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.
Представим десятичное число \(652,17\) в развёрнутом виде.
Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с \(0\). Цифра \(2\) находится в разряде единиц, ставим над ней \(0\), далее разряд десятков — над цифрой \(5\) ставим \(1\) и т. д.
Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:
652,17 10 = 6 × 10 2 + 5 × 10 1 + 2 × 10 0 + 1 × 10 − 1 + 7 × 10 − 2 .
Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток (\(1\)), нет тока (\(0\)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.
Запишем двоичное число \(111001,101\) в развёрнутом виде.
111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.
Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа \(452,214\).
452,214 8 = 4 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 2 × 8 − 1 + 1 × 8 − 2 + 4 × 8 − 3 .
Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
- непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
- позиционными (значение цифры зависит от позиции).
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления —
количество различных цифр, используемых в этой системе.
отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
По определению веса разряда
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
- пронумеровать разряды исходного числа;
- записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
- выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.
1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.
Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.
Пример 1.
Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.
Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :
Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:
2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.
Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.
Пример 2
Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.
Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:
Пример 3.
Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.
Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:
3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую
Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.
Пример 4.
Читайте также: