При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на сумму этой строки
Обновлено: 06.07.2024
Выведем формулы для вычисления детерминанта произвольной матрицы второго и третьего порядков по ее исходным элементам, а затем с помощью полученных формул обсудим общие свойства определителей.
Таким образом при
и формула (1) сохраняется и в этом случае.
3) Если , , то (матрица содержит нулевой столбец). С другой стороны, , .
По формуле ( I 0) получили бы тот же результат: = .
Итак, формула ( I 0) верна для определителя любой матрицы второго порядка.
Без ограничения общности можем считать (в противном случае поступим как в пункте 2) или 3) для определителя матрицы второго порядка).
1) Сначала рассмотрим случай .
Таким образом, при ,
2) Пусть теперь , но .
Получена та же формула (2), что и в случае 1).
3) Пусть теперь и . В этом случае
Легко проверяется справедливость формулы (2) и в этом случае.
Итак, для определителя матрицы третьего порядка (или короче, для определителя третьего порядка) справедлива формула
Из формул (1) и (2) легко следует равенство
правая часть которого представляет собой алгебраическую сумму произведений элементов первой строки на некоторые определители матриц второго порядка, состоящих из элементов остальных строк (второй и третьей) матрицы с сохранением их расположения.
Каждая такая матрица может быть получена из матрицы вычеркиванием первой строки и одного из столбцов (первого, второго, третьего), а их определители называются минорами элементов первой строки матрицы или минорами элементов первой строки ее определителя.
Если, как обычно, элементы матрицы обозначить , а соответствующие им миноры - , то полученное равенство примет вид:
где число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы .
Принято говорить, что формула (12) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.
Точно так же читатель может получить аналогичные формулы разложения определителя третьего порядка по элементам второй и третьей строки и по элементам любого столбца. Например, в случае второго столбца формула разложения имеет вид:
Для произвольной ( - й ) строки и произвольного ( -ого) столбца соответствующие разложения имеют вид:
Пусть теперь - произвольная квадратная матрица порядка : , здесь - номер строки, - номер столбца.
Матрица , у которой произвольный ( - й ) столбец совпадает с соответствующей ( - й ) строкой матрицы , называется транспонированной к матрице . Следовательно, если , , то .
Заметим, что понятие транспонированной матрицы может быть введено для произвольной матрицы (не обязательно квадратной).
Так, например, для матрицы
транспонированная матрица имеет вид
Как и выше, определитель квадратной матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием - ой строки и -го столбца, назовем минором элемента , а величину алгебраическим дополнением элемента матрицы .
Для краткости вместо выражения "определитель матрицы" часто говорят просто "определитель" , используя при этом следующие обозначения:
Определитель обладает следующими свойствами:
1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. при замене его строк соответствующими столбцами и наоборот: .
2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель лишь меняет знак.
3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
4. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на некоторое число , то сам определитель умножается на .
5'. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
7. Если все элементы - й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых
то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме - й , такие же, как и в исходном определителе, а -я строка в одном из слагаемых определителей состоит из элементов , в другом – из элементов .
Аналогичное свойство имеет место и для столбцов определителя.
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.
9. Определитель равен сумме произведений элементов произвольной его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
10. Сумма попарных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой ("чужой") строки (столбца) равна нулю:
Перечисленные свойства легко могут быть проверены читателем для определителей второго и третьего порядков с использованием формул (1) и (2), что мы частично уже сделали.
Обратим внимание на свойство 8. Это единственное из элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы было положено нами в основу понятия определителя, и только оно сохраняет его величину: согласно свойству 2 при перестановке любых двух строк (столбцов) определитель, вообще говоря, меняет свое значение; то же самое происходит (согласно свойству 5) при умножении строки (столбца) определителя на некоторое число; выбрасывание же нулевой строки (столбца) нарушает размер матрицы – она перестает быть квадратной.
Отметим также, что матрицы и имеют одинаковые ранги, так как они эквивалентны ( получается из с помощью элементарных преобразований, хотя и одного вида), и если матрица вырожденная, т.е. , то матрица содержит нулевую строку и поэтому .
Верно и противоположное утверждение: если матрица невырожденная, т.е. , то на главной диагонали матрицы нет нулевых элементов ( ), и поэтому . Таким образом, матрица является вырожденной тогда и только тогда , если ее определитель равен нулю ( ).
Интересно отметить, что и при всех остальных элементарных преобразованиях строк (столбцов) невырожденной матрицы (очевидно, кроме выбрасывания нулевой строки (столбца)) ее определитель, хотя и изменяет свои значения, но не обращается в ноль (что следует из свойств 2 и 5 определителя).
Заметим, что формулы (5), обобщающие выведенные нами формулы (4), могут быть приняты за индуктивные определения детерминанта произвольного порядка через детерминанты порядка (на единицу ниже). Так, для вычисления определителя четвертого порядка по одной из формул (5) потребуется вычислить четыре определителя третьего порядка. Если при этом воспользоваться формулой (2), то это приведет к довольно утомительным вычислениям. А что будет, если потребуется вычислить определитель более высокого порядка, например, седьмого?
Конечно, если некоторые элементы строки (столбца), к которой мы применяем свойство 9, окажутся нулями, то нет необходимости вычислять соответствующие им миноры.
Поэтому практичнее, не отказываясь от применения свойства 9 (формулы (5)), использовать свойство 8 для создания в какой-либо строке (столбце) возможно большего числа нулей.
Пример 2. Вычислите разложением по элементам третьей строки определитель четвертого порядка
Вычисление определителей третьего порядка производилось по формуле (2).
Пример 3. Вычислите, используя свойство 8, определитель предыдущего примера.
1. Если матрицы и , то матрица 3A – 2B имеет вид
а) , б) , в) , г) ,д)
2. Для матриц указать те операции, которые можно выполнить:
а) АВ, б)ВА , в) А Т В, г) В Т А, д) АВ Т ,е) В Т А Т , ж) А Т В Т , з) ВА Т
3. При умножении матрицы A на матрицу B справа должно соблюдаться условие
а) число строк матрицы A равно числу строк матрицы B
б) число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B
в) число столбцов матрицы A равно числу столбцов матрицы B
г) если матрицы не квадратные, то они должны быть одинакового размера
д) верный ответ отсутствует
4. Для матриц элемент c23 произведения С = B A равен:
5. Квадратная матрица называется диагональной, если
а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
6. Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если
а) элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
б) элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
в) элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
г) элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
д) элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
7. При каком a определитель равен 0
б) поменяет знак
г) станет равным нулю
д) увеличится в два раза
9. Указать верные утверждения, связанные с определением и существованием обратной матрицы:
б) обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная
г) A·A-1 = A-1·A = E, где E – единичная матрица соответствующего размера
10. Элемент обратной матрицы A – (в случае существования) вычисляется по формуле
а)
б)
в)
г)
д)
е)
11. Если матрица , то элемент матрицы, обратной к A, равен:
а)4, б)-4 в)1/4 ,г)-1/4 , д)2 , е)-2
12. Чему равен определитель матрицы B, где .
а)4, б)20 в)1 ,г)-1, д)2 , е) 21
13. Указать те преобразования строк (столбцов) матрицы, которые являются элементарными:
а) умножение строки (столбца) на ненулевое число
б) замена элементов строки (столбца) произвольными числами
в) замена строки (столбца) суммой этой строки (столбца) и другой строки (столбца), предварительно умноженной на некоторое число
г) поменять местами две строки (два столбца)
д) замена строки (столбца) нулевой строкой (столбцом)
е) транспонирование матрицы
14. Выбрать верные утверждения. Ранг матрицы равен.
а) числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы;
б) числу столбцов матрицы;
в) произведению числа строк на число столбцов матрицы;
г) максимальному число линейно независимых строк (столбцов) матрицы;
д) число строк матрицы.
15. Чему равен ранг матрицы
е) Ранг матрицы может измениться если
а) транспонировать матрицу,
б) переставить строки,
в) переставить столбцы,
г) умножить строку на ненулевое число,
д) добавить строку
16. Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система
а) не имеет решений
б) имеет единственное решение
в) имеет не более n решений
г) имеет ровно n решений
д) имеет бесконечно много решений
18. Число векторов в фундаментальной системе решений однородной системы равно.
а) рангу матрицы системы
б) числу ненулевых строк в ступенчатом виде
в) числу базисных переменных
г) числу свободных переменных
д) наивысшему порядку отличного от нуля минора
е) числу констант в общем решении
19. Чему равно b, при котором система совместна
20. Чему равно значение n, при котором система
имеет бесконечно много решений.
21. В системе базисными можно объявить переменные
а) ,
б)
в)
г)
д)
е)
22. В линейном пространстве определены операции:
а) Сложения и умножения на число,
б) Сложения, умножения и умножения на число,
в) Сложения, умножения, деления и умножения на число
23. Набор векторов образует базис линейного векторного пространства если
а) они линейно независимы
б) их количество равно размерности пространства
в) они линейно независимы и любой вектор пространства представим их линейной комбинацией
г) они линейно независимы и их количество равно размерности пространства
д) они линейно независимы, но добавление к ним еще одного делает их линейно зависимыми
24. Базисом линейной оболочки векторов являются векторы
б)
в)
г)
д)
25. Задача, характеризующаяся тем, что целевая функция является инейной функцией переменных, а область допустимых значений определяется системой линейных равенств или неравенств, называется
A. Задача математического программирования
B. Задача линейного программирования
C. Задача динамического программирования
D. Задача о составлении плана производства
26. Последовательное улучшение плана задачи линейного программирования, позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение это
Какие элементы в матрице составляют главную диагональ, а какие – побочную?
Укажите, какие из матриц , , , , , являются диагональными, треугольными, трапециевидными?
Даны две матрицы и . Какое из соотношений верно?
а) A = B; б) A > B; в) ; г) A = B = E;
Найдите матрицу X, если: а) ; б) .
Укажите размеры матрицы A, если известно, что .
Найдите AB – BA, если , .
Найдите произведение , если .
Известно, что . Найдите m и n.
Даны матрицы , , . Существуют ли произведения: AB; AC; BA; CA; ABC?
Тема №2 «определители и их свойства»
.Найдите значение элемента определителя
а) , б) ? Если «да», то с каким знаком?
7.Подберите i и k так, чтобы произведение входило в определитель 5го порядка со знаком «+».
Как изменится определитель 3го порядка, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?
Тема №3 «обратная матрица»
При каких значениях параметра λ матрица имеет обратную?
При каких значениях параметра λ матрица имеет обратную?
Дана матрица . Найдите , .
Непосредственным подсчётом покажите, что , если , . Будет ли матрица B обратной A?
Тема № 4 «ранг матрицы»
При каких значениях параметра λ ранг матрицы равен двум?
При каких значениях параметра λ ранг матрицы равен трём?
Найдите ранг матрицы:
При каких значениях λ система имеет единственное решение?
При каких значениях λ система несовместна?
При каких значениях λ система имеет бесконечное множество решений?
7. Сколько решений имеет система?
Найдите фундаментальную систему решений:
Образуют ли наборы чисел (3, −2, 0, 1, 0), (−2, 1, 0, 0, 1), (3, −1, 1, 0, 0) фундаментальную систему решений для системы
. Неизвестное найдено по формуле Крамера : .
Найдите второе неизвестное системы.
По заданным условиям найдите многочлен f(x): f(1) = – 1, f(–1) = 9, f(2) = – 3.
Тема 7 «векторы»
1. Может ли вектор составлять с осями координат углы 45, 60, 30?
3. Найдите длину вектора , если , , .
4. Найдите единичный вектор, образующий с осью Oy угол 60 и с осью Oz – угол 120.
6. Вычислите скалярное произведение векторов , , если , , .
8. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы = 120 и = 45. Какой угол он составляет с осью Oy?
9. Вычислите проекции вектора на координатные оси, если , = 45, = 60, = 120.
11. Найдите направляющие косинусы вектора .
13. Найдите угол между векторами и .
14. Каким должно быть число , чтобы векторы и были перпендикулярны?
17. Вектор , коллинеарный вектору , образует тупой угол с осью Oz. Зная, что , найдите его координаты.
При каких значениях и векторы и коллинеарны?
Проверьте, лежат ли точки A(0, 2, −1), B(3, 1, 1), C(2, −1, 0) и D(−4, 1, 2) в одной плоскости.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Закажи скайп-консультацию и узнай все секреты успешной сдачи экзаменов онлайн!
Математика Тесты с ответами Тема 7-12
Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)
Тема 7. Интегральное исчисление (часть 1)
Отметьте верные утверждения
совокупность всех производных функции называется неопределенным интегралом от этой функции
+неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого
+если в определение интеграла ʃ f(x)dx = F(x) + С вместо аргумента х подставить выражение (kх + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной
+производная от первообразной для некоторой функции равна самой этой функции
функция F(x) = 2х является первообразной для функции f(x) = х2.
Производная функции имеет вид …
Неопределенный интеграл от функции - это.
одна первообразная функции
совокупность всех производных функции
совокупность всех дифференциалов функции
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и еще двумя прямыми
+совокупность всех первообразных функции
Отметьте верные утверждения:
+a) ʃ dF(x)=F(x)+C, C – const
b) d( ʃ f(x)dx) = ʃ f(x)dx
d) ʃ dF(x)=C*F(x), C – const
Производная произведения (x+2)e x равна …
г) e x-1 ( e +2 x + x 2 )
Тема 8. Интегральное исчисление (часть 2)
Отметьте верные утверждения:
+a) функция F(x)=x 3 /3+6,5 является первообразной для f(x)=x 2
+b) совокупность все первообразны функций называется неопределенным интегралом от этой функции
c) функция F(x)= x 2 является первообразной для f(x)= x 3 /3
d) – правильная дробь
+e) – рациональная дробь
Множество первообразны функции f(x)=1/(2-2x) имеет вид …
К методам интегрирования относятся:
+интегрирование по частям
+метод нелинейной подстановки
+ метод линейной подстановки
Отметьте верные утверждения:
+a) если F(x) - некоторая первообразная для f(x). то все функции вида F(x) + С. где С - произвольное число, также являются первообразными для f(x)
b) если F(х) - некоторая первообразная для f(x). то все функции вида C*F(x). где. С - произвольное число, также являются первообразными для f(x)
+c) интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
+d) - правильная дробь
e) дробь НЕ является рациональной
Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…
хотя бы в одной точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
+если в каждой точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
хотя бы в одной точке х этого промежутка f '(x) = F(x)
если в каждой точке х этого промежутка f '(x) = F(x)
Тема 9. Интегральное исчисление (часть 3)
Определенный интеграл – это (отметьте верные утверждения)…
для неположительной функции площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс
предел производной функции при стремлении аргумента к нулю
разложение неопределенного интеграла на множители
+для неположительной функции площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс, взятая со знаком минус
+предел интегральной суммы при стремлении наибольшей из длин отрезков к нулю
Интегральная сумма – это…
предел суммы произведений длин отрезков, на которые разбит отрезок интегрирования на значения функции в точках этих отрезков
+сумма произведений длин отрезков, на которые разбит отрезок интегрирования, на значения функции в точках этих отрезков
Для рационализации интеграла можно использовать:
дифференцирование пределов интегрирования
+выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента с последующей заменой переменной
замену неопределенного интеграла на определенный
Отметьте верные утверждения:
+определенный интеграл - это определенное число
все свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла
неопределенный интеграл - это определенное число
+производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции
+постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
Отметьте верные утверждения:
+1) если F(x) - некоторая первообразная для f(x). то все функции вида F(x) + С. где С - произвольное число, также являются первообразными для f(x)
2) если F(х) - некоторая первообразная для f(x). то все функции вида C*F(x). где. С - произвольное число, также являются первообразными для f(x)
+3) интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
+4) - правильная дробь
5) дробь НЕ является рациональной
Тема 10. Матрицы
Матрицы имеют одинаковую размерность. Если Е – единичная матрица того же размера, что и матрицы А,В,С , и матрица С=3А+В–Е , тогда верно равенство
А=С–В+Е
Если , то матрица 4А имеет вид …
Определитель равен …
Даны матрицы и . Тогда А+В равно …
Определитель равен …
Тема 11. Основные свойства определителей
Для матрицы не существует обратной, если x равно …
При перестановке местами двух столбцов матрицы ее определитель
+умножается на (-1)
становится равным нулю
Если матрица содержит одинаковые строки, то ее определитель равен …
Если строка матрицы состоит из одних нулей, то определитель матрицы равен
Для матрицы не существует обратной, если значение x равно …
Тема 12. Ранг матрицы
Что такое ранг матрицы?
порядок обратной матрицы
+наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы
отличный от нуля определитель матрицы
Какие преобразования матрицы относятся к элементарным?
+умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля
прибавление к каждому элементу строки или столбца одного и того же числа
вычитание другой матрицы
+изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
Если система линейных уравнений имеет более одного решения, то такая система.
У какой из этих матриц ранг может равняться четырем?
квадратная матрица третьего порядка
+матрица размерности четыре на пять
матрица размерности три на четыре
Если система линейных уравнений имеет только одно решение, то такая система.
Читайте также: