Связано ли появление алгебры логики с разработкой персонального компьютера

Обновлено: 04.07.2024

Теоретическим фундаментом работы компьютеров является алгебра логики. Математический аппарат алгебры логики удобен для описания функционирования аппаратные средства компьютера т.к. основной системой счисления в компьютере является двоичная и значений логических переменных, которые используются в алгебре логики, тоже два: «0» и «1».

Алгебра логики — изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Таблица истинности – это табличное представление логической схемы, в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов вместе со значением выходного сигнала. С помощью таблиц истинности описывают работу логических элементов.

Базовые логические операции (в порядке их выполнения)

· Операция НЕ – логическое отрицание (инверсия). Выражается связкой НЕ и обозначается: not(a), «ùa», «Øa», «-a», «a», НЕ(a).Высказывание ùA (читается "не A" или "инверсия A")истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.

Таблица истинности
A	ùA

Логическая схема

Таблица истинности
А	B	A&B

· Операция И – конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) или логическое умножение. Выражается связкой И, обозначается: a and b, a и b, знаками «Ù», «&» («амперсэнд»), И (a; b).

Логическая схема

Таблица истинности
А	B	AÚB

· Операция ИЛИ – дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) или логическое сложение. Выражается связкой ИЛИ и обозначается: a or b, a или b, знаком «Ú», «+», ИЛИ (a; b).

Логическая схема

· Операция ЕСЛИ . ТО … – импликация (следование)

· Операция … ТОГДА … И ТОЛЬКО ТОГДА – эквиваленция (двойное следование)

Таблица истинности
А	B	A Þ B

Таблица истинности
А	B	A Û B

Логические основы компьютеров

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ (вентили, триггеры). С помощью схем можно реализовать логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера.

Триггер – электронная схема, применяемая в ПК для запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое – двоичному нулю. Триггер – важнейшая структурная единица ОП ПК. Каждый триггер может запомнить, хранить и считывать 1 бит информации. Один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода; для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта 8 х 2 10 = 8 192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Сумматор – это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел. В целях упрощения работы ПК все многообразие математических операций в процессоре сводится к сложению двоичных чисел. Сумматор служит центральным узлом арифметико-логического устройства ПК, но он находит применение также и в других устройствах ПК.

Цель урока: рассмотреть и изучить основные понятия алгебры логики (высказывание, логические операции) и научиться строить таблицы истинности для логических высказываний; способствовать развитию логического мышления, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления; воспитывать информационную культуру, интерес к предмету, культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Этапы урока

Организационный этап

Сегодня мы с вами начинаем новый раздел информатики, который я надеюсь, для вас не будет очень сложным, хотя на самом деле он действительно очень сложный. И то, что мы сегодня его начнём далеко не означает, что вы его закончите очень, очень скоро, т.к. вы с ним будете встречаться и в 10 классе и в 11 классе. И даже если кто-то из вас надумает сдавать ОГЭ и ЕГЭ, то это вам пригодиться.

Что бы понять, что это за раздел такой, без которого, принципе, не смогли бы существовать информационные технологии, без которого бы работа компьютера была бы просто невозможна, я предлагаю вам посмотреть на экран. Я думаю это ваш любимый канал ТНТ. И вы смотрели данное телешоу.

Подготовка обучающихся к усвоению материала: активное целеполагание.

На экране отрывок из телешоу «Где логика».

Какие у вас мысли? Как вы думайте, что объединяет эти картинки?

Это всё название конфет.

В этом шоу, как и в принципе в нашей жизни мы постоянно ищем логику. Те варианты, которые предлагали вы и участники шоу, они имеют право быть?

У человека логика вариативна, т.е. мы с вами можем использовать различные формы мышления. А для компьютера это подошло бы? Нет

Компьютер выполняет алгоритмы, т.е. программисты закладывают в нём законы, по которым он должен работать. И мы с вами должны чётко понимать, что если у нас есть исходные данные и алгоритм работы, то мы должны получить некий результат. Т.е. вся работа компьютер подчиняется неким законам, и чтобы понять эти законы мы должны начать изучать с азов.

Может быть мне, кто-то скажет, какую тему мы начали изучать? (Логика)

Данную тему вы не только будете изучать со мной, на помощь к вам придёт учебник. Откройте учебник на странице _____ и прочитайте, как называется раздел. (Логические основы построения компьютера. Основные понятия алгебры логики)

В тетради запишите название раздела и параграфа, так как они записаны в учебнике.

Поисково-исследовательский этап.

Я вам предлагаю сыграть в игру, «Крестики-нолики». Только эта игра у нас будет модернизирована. Играть будут девочки против мальчиков. Поэтому каждая группа выбирает своего капитана, и я их приглашаю к себе. Вы наверно думаете, что играть будут ваши капитаны. На самом деле вы ошибаетесь, играть вы будете все вместе. Капитаны только выбирают сектора, и назначать отвечающих.

Все наши вопросы будут начинаться со слов «Верно ли что…»

Капитан выбирают сектор. Если группа отвечает правильно, то на импровизированном поле ставится знак (крестик или нолик)

1 сектор. Верно, ли что число в двоичной системе записывается при помощи нулей и единичек? (Верно)

2 сектор. Верно ли что, информация в компьютере храниться в виде двоичного кода? (верно)

3 сектор. Верно, ли что в русском языке предложения по цели высказывания бывают только вопросительные и повествовательные? (Нет)

4 сектор. Верно ли что мышь – это устройств вывода информации? (Нет)

5 сектор. Верно ли что монитор – это устройство ввода информации? (Нет)

6 сектор. Верно ли что, процессор – это устройство обработки информации? (Да)

7 сектор. Верно ли что, жёсткий диск – это устройство хранения данных? (Да)

У нас вами осталось неоткрыты два сектора. Посмотрите на эти предложения, что их объединяет. Что у них общее? (На все эти предложения мы можем дать ответ либо да, либо нет).

Логика имеет дело с повествовательными предложениями, и называются эти предложения высказываниями.

Найдите в учебнике определение, что такое высказывание и выпишите его в тетрадь.

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

А сейчас давайте поработаем с заданием. На слайде задание. Будут ли эти предложения высказываниями? У вас на парте у каждого лежат сигнальные карточки. Зелёная карточка – это высказывание и оно истинное. Красная карточка – это высказывание и оно ложное. Желтая карточка – это вообще не высказывание.

Примеры предложений:

Какое сегодня число?

Маша любит конфеты. (Мы не можем дать однозначный ответ, значит это не высказывание)

Задание 2. Задание на доске. Даны предложения. Нужно их раскидать на 3 группы: истинное высказывание, ложное высказывание, не является высказыванием.

Арбуз вкуснее дыни.

В городе N живут 2 млн. человек.

Лондон - столица Великобритании.

Март – весенний месяц.

Жирафы летят на север.

У квадрата 10 сторон и все разные.

Март – не весенний месяц.

В алгебре логики высказывания являются переменными, логическими переменными. И каждую логическую переменную можно обозначать, какой либо латинской буквой.

Могу ли я высказывание Лондон – столица Великобритании, обозначить латинской буквой А?

Посмотрите внимательно на два последних высказывания: Март - весенний месяц и марта – не весенний месяц. Что про них вы можете сказать? (Высказывания противоположные по смыслу). С помощью чего это достигнуто? (При помощи частицы НЕ)

Тогда если я высказывание «Март – весенний месяц» обозначу латинской буквой С, тогда как я могу обозначить противоположное высказывание? (НЕ С). Когда мы с вами добавили частицу НЕ, то, какое высказывание получилось? (Вначале оно было истинным, а стало ложным). Т.е. мы проделали с этим высказыванием какую-то операцию.

И сейчас мы перейдём к логическим операциям. А для этого будем заполнять таблицу, состоящую из 4 столбцов.

1 логическая операция НЕ или инверсия, или логическое отрицание. Второй столбец обозначение: черта над обозначением логической переменой. Если мы с вами будем программировать на языке Паскаль, то это будет, английская версия частицы «не» звучит, как not, в некоторых учебникам можно встретить значок, который похож на обозначение приставки в русском языке.

3 столбец – это таблица истинности.

У нас с вами логические переменные могут принимать разные значения, могут быть истинными, или ложными. Мы в таблице истинности рассматриваем все варианты или комбинации вариантов значений переменных, для того чтобы определить как в каждом варианте действует данная операция.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Пример. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение . Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе - ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ. Сергей изучает китайский язык, Михаил - японский, Вадим - арабский.

Пример. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

Россия - "Проект не наш, проект не США";

США - "Проект не России, проект Китая";

Китай - "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду;

второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду,

третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия - "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);

США - "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);

Китай - "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный - министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит, оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5, 6) справедливы, следует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее - российский, наиболее скрытным - министр США.

Контрольные вопросы

1. Что такое алгебра логики?

2. Для чего используется алгебра логики?

3. Булева функция - это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству .

4. Что называется высказыванием?

5. Какие значения принимают высказывания?

6. Что изучает алгебра логики?

7. Что такое логическая переменная?

8. Что такое логическая функция?

9. Какими способами можно представить значения логических единицы и нуля?

10. Нарисуйте амплитудную передаточную характеристики инвертора.

11. Перечислите статические параметры логического элемента.

12. Перечислите динамические параметры логического элемента.

13. Назовите особенности позиционной и непозиционной систем исчисления.

14. Поясните организацию два, восемь, десять и шестнадцатеричных систем исчисления.

15. Приведите примеры перевода из десятичной системы в двоичную и другие.

16. Что такое прямой, обратный и дополнительный коды? Как они создаются?

17. Как представляются отрицательные числа в двоичном коде?

18. Связано ли появление алгебры логики с разработкой персонального компьютера?

19. Назовите основные логические операции.

20. Приведите примеры предложений, которые не являются логическим высказыванием.

21. Покажите связь между алгеброй логики и двоичным кодированием информации.

22. Какой логический элемент нужно поставить в старший разряд, чтобы запомнить целое отрицательное число -5?

23. Назовите приоритеты логических операций.

24. Сформулируйте отрицание следующих высказываний: «2 > 5»; «10 < 7»; «а = 2».

При объяснении нового материала используется презентация (Приложение 1).

Логика – наука о формах и способах мышления
Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления
Алгебра логики – булева алгебра. Цель алгебры логики – описание поведения и структуры логических схем

Истинные высказывания правильно отражают свойства и отношения реальных вещей.

Ложные высказывания не соответствуют реальной действительности.

Истинное высказывание правильно отражает свойства и отношение реальных вещей (2*2=4).
Ложное высказывание не соответствует реальной действительности (2*2=5).

Логические операции задаются таблицами истинности.

Операция “ИЛИ” – “OR” – операция логического сложения:

Операция “И” – “AND” – операция логического умножения:

Операция “НЕ” – “NOT” – операция логического отрицания:

Импликация – логическое следование:

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации) ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Логическое выражение – это выражение, которое включает в себя логические переменные, объединенные логическими операциями
Таблица истинности определяет истинность или ложностьсоставного высказывания

Определить истинность или ложность логического высказывания:

A AND B OR C AND A

Инверсия, логическое умножение, логическое сложение.

A	B	C	A and B	C and A	A and B or C and A
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

Любое логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию.

Логической функцией называют функцию F(x₁, x₂, …x_n) – функция от логических переменных, которая может принимать значения либо логического “0”, либо логической “1”. Для каждой логической функции имеется таблица истинности логической функции.

Логическая функция может быть задана табличным способом или в виде соответствующих формул.

Каждая логическая функция 2-х аргументов имеет 4 возможных набора значений аргументов: 00, 01, 10, 11.

N = 2 4 = 16 различных логических функций.

Законы алгебры логики:

Закон исключения третьего

Закон двойного отрицания

Вопросы по теме: “Основы логики и логические основы компьютера”:

Практические задания по теме

Построить таблицу истинности по булеву выражению:

1. F(x1, x2, x3) = x3 \/ (2 & x1 & x3)

2. F(x1, x2, x3) = 1 & 2 \/ x2 \/ x1 & x3

3. F(x1, x2, x3) = 1 & x2 & x3 \/ 1 \/ x2 \/ x3

1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович.

Читайте также: