Замена столбца матрицы matlab

Обновлено: 05.07.2024

Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

В традициях нашего сайта разберём на примере:

Решить систему линейных уравнений:

4*a + b - c = 6
a - b + c = 4
2*a - 3*b - 3*c = 4

Метод обратной матрицы в Matlab

Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

В итоге у нас получится 2 матрицы:

Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv .
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1 . Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

Метод Гаусса

Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) - левое деление.
При следующей записи:

Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

Метод разложения матрицы

Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

Возможны следующие разложения:

  • разложение Холецкого
  • LU разложение
  • QR разложение

Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

LU разложение

Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

QR разложение

И через QR разложение соответственно:

Отметим, что апостроф ( ' ) после Q означает транспонирование.

Стандартные функции Matlab

Так же Matlab предлагает функцию linsolve , с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

Повторение

Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:

Решить систему линейных уравнений:
6*a - b - c = 0
a - 2*b + 3*d = 0
3*a - 4*b - 4*c = -1

  • Методом обратной матрицы:
  • Методом Гаусса:
  • LU разложение:
  • QR разложение:

На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

Много функций в MATLAB® могут взять элементы существующего массива и поместить их в различную форму или последовательность. Это может быть полезно для предварительной обработки ваших данных для последующих расчетов или анализа данных.

Изменение

reshape функционируйте изменяет размер и форму массива. Например, измените форму матрицы 3 на 4 к матрице 2 на 6.

Пока число элементов в каждой форме то же самое, можно изменить их в массив с любым количеством размерностей. Используя элементы от A , создайте 2 2 3 многомерными массивами.

Транспонирование и зеркальное отражение

Общая задача в линейной алгебре состоит в том, чтобы работать с транспонированием матрицы, которая превращает строки в столбцы и столбцы в строки. Для этого используйте transpose функционируйте или .' оператор.

Создайте 3х3 матрицу и вычислите транспонировать.

Подобный оператор ' вычисляет сопряженное транспонирование для комплексных матриц. Эта операция вычисляет сопряженное комплексное число каждого элемента и транспонирует его. Создайте комплексную матрицу 2 на 2 и вычислите ее сопряженное транспонирование.

flipud инвертирует строки матрицы в направлении "сверху вниз" и fliplr инвертирует столбцы в направлении "слева направо".

Перемена и вращение

Можно переключить элементы массива определенным числом положений с помощью circshift функция. Например, создайте матрицу 3 на 4 и переключите ее столбцы направо 2. Второй аргумент [0 2] говорит circshift переключать строки 0 мест и переключать столбцы 2 места направо.

Переключать строки A 1 и сохраняют столбцы, задают второй аргумент как [-1 0] .

rot90 функция может вращать матрицу против часовой стрелки 90 градусами.

Если вы вращаетесь еще 3 раза при помощи второго аргумента, чтобы задать количество вращений, вы заканчиваете с исходным матричным A .

Сортировка

Сортировка данных в массиве является также ценным инструментом, и MATLAB предлагает много подходов. Например, sort функциональные виды элементы каждой строки или столбца матрицы отдельно в порядке возрастания или убывания. Создайте матричный A и вид каждый столбец A в порядке возрастания.

Сортировка каждой строки в порядке убывания. Второе значение аргумента 2 указывает, что вы хотите отсортировать построчный.

Чтобы отсортировать целые строки или столбцы друг относительно друга, используйте sortrows функция. Например, отсортируйте строки A в порядке возрастания согласно элементам в первом столбце. Положения изменения строк, но порядок элементов в каждой строке сохраняются.

Похожие темы

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация MATLAB

Поддержка

© 1994-2021 The MathWorks, Inc.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте
Войти

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста - например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. Введите матрицу размерностью два на три

Для хранения матрицы используйте двумерный массив с именем A. При вводе учтите, что матрицу А можно рассматривать как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых является вектор-строкой длиной три, следовательно, строки при наборе отделяются точкой с запятой:

» А = [3 1 -1; 2 4 3]
А =
3 1 -1
2 4 3

Для изучения простейших операций над матрицами приведем еще несколько примеров. Рассмотрим другие способы ввода. Введите квадратную матрицу размера три так, как описано ниже:

Начните набирать в командной строке

Нажмите клавишу . Обратите внимание, что пакет ничего не вычислил. Курсор мигает на следующей строке без символа ». Продолжите ввод матрицы построчно, нажимая в конце каждой строки . Последнюю строку завершите закрывающей квадратной скобкой, получается:

2 7 0
-5 1 2]
B =
4 3 -1
2 7 0
-5 1 2

Еще один способ ввода матриц состоит в том, что матрицу можно трактовать как вектор-строку, каждый элемент которой является вектор-столбцом. Например, матрицу два на три

можно ввести при помощи команды:

» С = [[3; 4] [-1; 2] [7; 0]]
С =
3 -1 7
4 2 0

Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:

Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

Элементы матриц могут входить в состав выражений:

Расположение элементов матрицы в памяти компьютера определяет еще один способ обращения к ним. Матрица А размера m на n хранится в виде вектора длины mn, в котором элементы матрицы расположены один за другим по столбцам

[А(1,1) А(2,1) . А(m,1) . А(1,n) А(2,n) . А(m,n)].

Для доступа к элементам матрицы можно использовать один индекс, задающий порядковый номер элемента матрицы в векторе.
Матрица С, определенная в предыдущем подразделе, содержится в векторе

[C(1,1) C(2,1) C(1,2) С(2,2) С(1,3) С(2,3)],

который имеет шесть компонент. Доступ к элементам матрицы осуществляется следующим образом:

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы. Сложение и вычитание матриц, так же как чисел и векторов, осуществляется при помощи знаков плюс и минус. Найдите сумму и разность матриц С и А, определенных выше:

» S = А+В
. Error using ==> ±
Matrix dimensions must agree.

Для умножения матриц предназначена звездочка:

» Р = С*В
P =
-25 9 11
20 26 -4

Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева:

» Р = А*3
Р =
9 3 -3
6 12 -3
» Р = 3*А
Р =
9 3 -3
6 12 9

Замечание 1

Если матрица есть произвольная матрица размера n m, то матрица, транспонированная по отношению к А,есть матрица размера m n: Таким образом, строки матрицы становятся столбцами матрицы , а столбцы матрицы становятся строками матрицы .
Комплексно-сопряженная матрица получается из исходной в два этапа: выполняется транспонирование исходной матрицы, а затем все комплексные числа заменяются на комплексно-сопряженные.

Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц:

Замечание 2

При вводе вектор-строк их элементы можно разделять или пробелами, или запятыми. При вводе матрицы К применены запятые для более наглядного разделения комплексных чисел в строке.

Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:

» В2 = В^2
B2 =
27 32 -6
22 55 -2
-28 -6 9

Проверьте полученный результат, умножив матрицу саму на себя.
Убедитесь, что вы освоили простейшие операции с матрицами в MatLab. Найдите значение следующего выражения

Учтите приоритет операций, сначала выполняется транспонирование, потом возведение в степень, затем умножение, а сложение и вычитание производятся в последнюю очередь.

4. Умножение матриц и векторов

Вектор-столбец или вектор-строка в MatLab являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, поэтому все вышеописанные операции применимы и для умножения матрицы на вектор-столбец или вектор-строки на матрицу. Например, вычисление выражения

можно осуществить следующим образом:

5. Блочные матрицы

» К = [А В; С D]
K =
-1 4 2 0
-1 4 0 5
3 -3 8 9
-3 3 1 10

Обратной задачей к конструированию блочных матриц является задача выделения блоков. Выделение блоков матриц осуществляется индексацией при помощи двоеточия. Введите матрицу

и затем выделите подматрицу с элементами , задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:

Для выделения из матрицы столбца или строки (то есть массива, у которого один из размеров равен единице) следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием без указания пределов. Например, запишите вторую строку матрицы Р в вектор р

При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:

6. Удаление строк и столбцов

В MatLab парные квадратные скобки [ ] обозначают пустой массив, который, в частности, позволяет удалять строки и столбцы матрицы. Для удаления строки следует присвоить ей пустой массив. Удалите, например, первую строку квадратной матрицы:

Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:

Аналогичным образом удаляются и столбцы. Для удаления нескольких идущих подряд столбцов (или строк) им нужно присвоить пустой массив. Удалите второй и третий столбец в массиве M

Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.

7. Заполнение матриц при помощи индексации

Выше было описано несколько способов ввода матриц в MatLab. Однако часто бывает проще сгенерировать матрицу, чем вводить ее, особенно если она обладает простой структурой. Рассмотрим пример такой матрицы:

Генерация матрицы Т осуществляется в три этапа:
1. Создание массива T размера пять на пять, состоящего из нулей.
2. Заполнение первой строки единицами.
3. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента.
Соответствующие команды MatLab приведены ниже.

» A(1:5, 1:5) = 0
A=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
» A(1, 🙂 = 1
A=
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
» A(end, 3:end) = -1
A=
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 -1 -1 -1

Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций.

8. Создание матриц специального вида

Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros, аргументами которой являются число строк и столбцов матрицы:

» A = zeros(3, 6)
A =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:

» A = zeros(3)
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:

» I = eye(4)
I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Функция eye с двумя аргументами создает прямоугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:

» I = eye(4, 8)
I =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции
ones:

» E = ones(3, 7)
E =
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.

MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными элементами. Результатом функции rand является матрица чисел, распределенных случайным образом между нулем и единицей, а функции randn — матрица чисел, распределенных по нормальному закону:

» R = rand(3, 5)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.7382
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763

Один аргумент функций rand и randn приводит к формированию квадратных матриц:
Часто возникает необходимость создания диагональных матриц, т.е. матриц, у которых все недиагональные элементы равны нулю. Функция diag формирует диагональную матрицу из вектор-столбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали матрицы:

» d = [1; 2; 3; 4];
» D = diag(d)
D =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4

Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например

» A = [10 1 2; 1 20 3; 2 3 30];
» d = diag(A)
d =
10
20
30

9. Поэлементные операции с матрицами

Поскольку векторы и матрицы хранятся в двумерных массивах, то применение математических функций к матрицам и поэлементные операции производятся так же, как для векторов.
Введите две матрицы

Умножение каждого элемента одной матрицы на соответствующий элемент другой производится при помощи оператора .*:

Для деления элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй используется оператор ./, а для деления элементов второй матрицы на соответствующие элементы первой служит .:

» R1 = А./В1
R1 =
-2.0000 2.5000 -0.1250
0.4286 -1.3333 -1.8000
» R2 = А.В1
R2 =
-0.5000 0.4000 -8.0000
2.3333 -0.7500 -0.5556

Поэлементное возведение в степень осуществляется при помощи оператора .^. Показатель степени может быть числом или матрицей того же размера, что и матрица, возводимая в степень. Во втором случае элементы первой матрицы возводятся в степени, равные элементам второй матрицы.

10. Визуализация матриц

Матрицы с достаточно большим количеством нулей называются разреженными. Часто необходимо знать, где расположены ненулевые элементы, т.е. получить так называемый шаблон матрицы. Для этого в MatLab служит функция spy. Посмотрим шаблон матрицы G
.

После выполнения команды spy на экране появляется графическое окно Figure No. 1. На вертикальной и горизонтальной осях отложены номера строк и столбцов. Ненулевые элементы обозначены маркерами, внизу графического окна указано число ненулевых элементов (nz = 19).
Наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы дает функция imagesc, которая интерпретирует матрицу как прямоугольное изображение. Каждый элемент матрицы представляется в виде квадратика, цвет которого соответствует величине элемента. Для того чтобы узнать соответствие цвета и величины элемента следует использовать команду colorbar, выводящую рядом с изображением матрицы шкалу цвета (Insert (в графическом окне Figure No. 1), colorbar). Наконец, для печати на монохромном принтере удобно получить изображение в оттенках серого цвета, используя команду colormap(gray) (Edit (в графическом окне Figure No. 1), Colormap, Colormap Editor, Tools, gray). Мы будем работать с матрицей G. Набирайте команды, указанные ниже, и следите за состоянием графического окна:

В результате получается наглядное представление матрицы.

Работа с матрицами.

Это означает, что матрица имеет n строк и m столбцов.

Если элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны 0, то такая матрица называется "единичной" (обозначение: E или I).

Пример: определить матрицу для системы MATLAB.

Решение: в системе MATLAB для матриц применяются буквенные обозначения. Множество элементов записывается в квадратных скобках "[]"; элементы одной строки записываются через запятую или через пробел, строки разделяются точкой с запятой ";".

A = [3 2; 1 4];
или
A = [3 2; 1 4]

A = [3, 2; 1, 4];
или
A = [3, 2; 1, 4]

Если Вы хотите, чтобы система MatLab отобразила результат операции в рабочем поле, точку с запятой ставить не нужно.

Приведем результаты работы программ:


Без точки с запятой:


С точкой с запятой:

Любое число является матрцей размерностью 1*1.

Действия над матрицами:

Внимание! A*B не равно(!) B*A.

Для матриц не определена операция деления (X = b/A). Зато есть операция нахождения обратной матрицы (Команда MATLAB: A -1 ). Тогда X = A -1 *b. Команда MATLAB: X = A^(-1).

Умножение матриц (MATLAB).

Узнать, как математически выполняется умножение матриц, можно в соответствующем разделе: Математика/Умножение матриц.

В MATLAB у множение записывается при помощи оператора * или .* (для поэлементного умножения).

Пример: выполнить умножение матриц в системе MATLAB:




Определитель квадратной матрицы.

Естественно, необходимо знать, как математически вычисляется определитель матриц. Почитайте в соответствующем разделе: Математика/Определитель (детерминант) матрицы.

В MATLAB нахождение определителя записывается при помощи команды det( ).

Пример: найти определитель матрицы A = [0 1; 2 0] с помощью MATLAB.

Обратная матрица.

Обязательно прочитайте, как математически вычисляется обратная матрица, в соответствующем разделе: Математика/Нахождение обратных матриц.

В MATLAB нахождение обратных матриц записывается при помощи команды ^(-1).

Пример: найти обратную матрицу для A = [2 3 1; 2 8 0; 5 6 3] с помощью MATLAB.

Ответ: A -1 =[12 -1.5 -4; -3 0.5 1; -14 1.5 5].

1. Матрица строка. Указывается переменная, ставится знак присвоения и в квадратных скобках через запятую или пробел перечисляются элементы:

2. Матрица столбец. В качестве разделителя элементов применяется символ «;»:

3. Квадратная или прямоугольная матрица:

>> C = [5 6 9; 56 45 73; 15,21,36];

4. Генерация вектора. Синтаксис: = : : . Если не указать шаг, то по умолчанию он принимается за 1.

5. Единичная матрица. Синтаксис: =ones( , ).

6. Нулевая матрица. Синтаксис: =zeros( , );

Доступ к ячейкам матрицы. Синтаксис: ( , ). Необходимо помнить, что нумерация строк и столбцов начинается с 1.

Операции с матрицами:

1. Скалярные операции. Умножение и деление матрицы на число, а также сложение и вычитание матрицы и числа (скаляр) – «.*», «./»,«.+», «.–». Каждая скалярная операция выполняются с каждой ячейкой матрицы отдельно. Любая скалярная (поэлементная) операция, то есть операция сразу над всем массивом, в MatLab обозначаются при помощи точки.

2. Сложение и вычитание матриц. Данная операция выполнима только с матрицами одинакового размера. При выполнении операции действие выполняется с соответствующими друг другу ячейками.

3. Произведение матриц. Производится последовательное умножение строки первой матрицы на столбец второй. Для реализации данной операции необходимо выполнение условия (количество строк первой матрицы ровно количеству столбцов во второй матрице). Матрица результата будет иметь столько же строк сколько и в первой матрице, и количество столбцов равное количеству столбцов во второй матрице.

4. Удаление отдельных столбцов или строк. Для удаления отдельных столбцов или строк матрицы используются: пустые квадратные скобки [] и оператор двоеточие (:).

Лучший способ начать работу с Matlab — это научиться обращаться с мат­рицами. В Matlab матрица — это прямоугольный массив чисел. Особое значение придается матрицам 1x1, которые являются скалярами, и матрицам, имеющим один столбец или одну строку, — векторам.

Хороший пример матрицы, можно найти на гравюре времен Ренессанса художника и любителя математики Альбрехта Дюрера (рис. 1, а). Это изображение со­держит много математических символов, и если хорошо присмотреться, то в верхнем правом углу можно заметить квадратную матрицу (рис. 1, б). Это матрица из­вестна как магический квадрат и во времена Дюрера считалось, что она обладает магическими свойствами. Она и на самом деле обладает замечательными свойствами, стоящими изучения.


Рис. 1. Гравюра времен Ренессанса художника Альбрехта Дюрера (а), магический квадрат (б)

Матрицы в Matlab можно вводить несколькими способами:

— вводить полный список элементов;

— генерировать матрицы, используя встроенные функции;

— загружать матрицы из внешних файлов;

— создавать матрицы с помощью собственных функций в m-файлах.

1. Ввод матриц как списков элементов. Необходимо следо­вать условиям:

— отделять элементы строки пробелами или запятыми;

— использовать точку с запятой ; для обозначения окончания каждой строки;

— окружать весь список элементов квадратными скобками [ ].

Чтобы ввести матрицу Дюрера запишем:

A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

Matlab отобразит матрицу:

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Особые свойства магического квадрата связаны с различными способами суммирования его элементов. Если найти сумму элементов вдоль какой-либо строки или столбца, или вдоль какой-либо из двух главных диагоналей, то получится одно и тоже число:

sum(A) — сумма элементов столбцов матрицы А.

Matlab выдаст ответ:

34 34 34 34

Когда выходная переменная не определена, Matlab использует переменную ans, коротко от answer — ответ, для хранения результатов вычисления.

Matlab предпочитает работать со столбцами матрицы, таким образом, лучший способ получить сумму в строках — это транспонировать матрицу, подсчитать сумму в столбцах, а потом транспониро­вать результат. Операция транспонирования обозначается апострофом. Она зеркально отображает матрицу относительно главной диагонали и меняет строки на столбцы. Таким образом:

16 5 9 4

3 10 6 15

2 11 7 14

13 8 12 1

sum(A')'

вызывает результат вектор-столбец, содержащий суммы в строках:

Сумму элементов на главной диагонали можно получить с помощью функции diag, которая выбирает эту диагональ:

diag(A)

ans = 34

Другая диагональ, называемая антидиагональю, не так важна математически, поэтому Matlab не имеет специальной функции для нее. Но функция, которая вначале предполагалась для использования в графике, fliplr, зеркально отображает матрицу слева направо:

sum(diag(fliplr(A)))

ans = 34

Таким образом, доказано, что матрица на гравюре Дюрера действительно магическая.

Функция magic. Matlab на самом деле обладает встроенной функцией, которая создает магический квадрат почти любого размера. Не удивительно, что эта функция называется magic:

B=magic(4)

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

Эта матрица почти та же матрица, что и на гравюре Дюрера, и она имеет все те же магические свойства. Единственное отличие заключается в том, что два средних столбца поменялись местами. Для того чтобы преобразовать B в матрицу Дюрера A, переставим их местами:

Это означает, что для каждой строки матрицы B элементы переписываются в порядке 1, 3, 2, 4:

16 3 2 13

5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Почему Дюрер переупорядочил столбцы, по сравнению с тем, что использует Matlab? Без сомнения, он хотел включить дату гравюры, 1514, в нижнюю часть магического квадрата.

2. Генерирование матриц с использованием встроенных функций. Matlab имеет четыре функции, которые создают основные матрицы:

zeros(m, n)


Матрица размерности с нулевыми элементами

ones(m, n)

rand(m, n)

Равномерное распределение случайных элементов

randn(m, n)

Нормальное распределение случайных элементов

Пример 1.



3. Загрузка матриц из внешних файлов. Команда load считывает двоичные файлы, содержащие матрицы, созданные в Matlab ранее, или текстовые файлы, содержащие численные данные. Тексто­вые файлы должны быть сформированы в виде прямоугольной таблицы чисел, отделенных пробелами, с равным количеством элементов в каждой строке. Например, создадим в Блокноте текстовой файл, содержащий 4 строки:


Сохраним этот файл под именем magik.dat. Тогда команда:

load magik.dat

прочитает этот файл и создаст переменную magik, содержащую матрицу.

4. Создание матриц с помощью собственных функций в m-файлах. Создадим файл, включающий следующие пять строк:

A = [16.0 3.0 2.0 13.0

5.0 10.0 11.0 8.0

9.0 6.0 7.0 12.0

4.0 15.0 14.0 1.0];

Сохраним его под именем magik.m. Тогда выражение

прочитает файл и создаст переменную А, содержащую исходную матрицу.


Объединение — это процесс соединения маленьких матриц для создания боль­ших. Пара квадратных скобок — это оператор объединения. Например, начнем с матрицы А (магического квадрата ) и сформируем:

B = [A A+32; A+48 A+16]


Результатом будет матрица , получаемая соединением четырех подматриц:


2. Индексы элементов матриц

Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, A(4,2) — это число в четвертой строке и втором столбце. Для нашего магического квадрата A(4,2) =15. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвер­том столбце матрицы А, набрав:

A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)

Однако это не самый лучший способ суммирования отдельной строки. Также возможно обращаться к элементам матрицы через один индекс, A(k). В этом случае массив рассматривается как длинный вектор, сформированный из столбцов исходной матрицы.

Так, для магического квадрата, A(8) — это другой способ ссылаться на значение 15, хранящееся в A(4,2).

Если использовать значение элемента вне матрицы, Matlab выдаст ошибку:

. Index exceeds matrix dimensions.

С другой стороны, если сохранить значение вне матрицы, то размер матрицы увеличивается:

16 3 2 13 0

5 10 11 8 0

4 15 14 1 17

Оператор двоеточия. Двоеточие : — это один из наиболее важных операторов Matlab. Он проявляется в различных формах. Выражение:

— это вектор-строка, содержащая целые числа от 1 до 10:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Для получения обратного интервала:

100 93 86 79 72 65 58 51

0:pi/4:pi

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Индексное выражение, включая двоеточие, относится к части матрицы: A(1:k, j) это первые k элементов j-го столбца матрицы А. Так:

sum(A(1:4,4))

вычисляет сумму четвертой строки. Но есть и лучший способ. Двоеточие, само по себе, обращается ко всем элементам в строке и столбце матрицы, а слово end — к последней строке или столбцу. Так:

sum(A(:,end))

вычисляет сумму элементов в последнем столбце матрицы А:

ans = 34


Почему магическая сумма квадрата равна 34? Если целые числа от 1 до 16 отсортированы в четыре группы с равными суммами, эта сумма должна быть:

sum(1:16)/4

ans = 34

3. Матричные функции линейной алгебры

Математические операции, определенные на матрицах являются объектом линейной алгебры (табл. 1).

Матричные функции линейной алгебры

det(A) — возвращает определитель квадратной матрицы A.

rank(A) — возвращает ранг матрицы A.

trace(A) — возвращает след матрицы A.

inv(A) — возвращает матрицу, обратную квадратной матрицы A.

size(A) — возвращает вектор-строку, содержащую количество строк и столбцов в массиве A.

length(X) — возвращает длину вектора X.

max(A) — возвращает вектор-строку, содержащую значения максимальных элементов в столбцах матрицы А.

min(A) — возвращает вектор-строку, содержащую значения минимальных элементов в столбцах матрицы А.

Когда мы выходим из мира линейной алгебры, матрицы становятся двумерными численными массивами. Арифметические операции на массивах производятся поэлементно. Это означает, что суммирование и вычитание являются одинако­выми операциями для матриц и массивов, а умножение для них различно. Matlab использует точку, как часть записи для операции умножения массивов.

Список операторов включает в себя:


Если магический квадрат Дюрера умножить на себя по правилам умножения массивов:

результатом будет массив, содержащий квадраты целых чисел от 1 до 16:

256 9 4 169

25 100 121 64

81 36 49 144

16 225 196 1

Операции над массивами полезны для создания таблиц. Пусть n — это вектор-столбец:

pows = [n n.^2 2.^n]

создает таблицу квадратов и степеней двойки:


Элементарные математические функции работают с массивами поэлементно. Так:

x = (1:0.1:2)'

s = [x sin(x)]

создает таблицу значений синуса.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Читайте также: