Составить интерполяционный многочлен лагранжа расчет провести в ms excel

Обновлено: 04.07.2024

Пример. Построить многочлен Лагранжа 3-й степени, если заданы значения в 4-х узлах интерполяции:

xi	-1
yi	-1

Решение: Многочлен Лагранжа для четырех узлов интерполяции запишется так –

Для вычисления значения многочлена в точке х можно воспользоваться электронными таблицами Exel (рис. 18). В ячейки А3:А6 и В3:В6 записываются соответствующие значения y_i и x_i. В ячейки С3:С6 – формулы для вычисления p_i(x). В столбце D3:D7 вычисляется значение

A	B	C	D
Вычисление многочлена Лагранжа
yi	xi	X
-1	-1	=$D$2-B3	=A3*(C5*C4*C6)/((B3-B4)*(B3-B5)*(B3-B6)
Копировать С3 в С6	=A4*(C3*C5*C6)/((B4-B3)*(B4-B5)*(B4-B6)
=A5*(C3*C4*C6)/((B5-B3)*(B5-B4)*(B5-B6)
=A6*(C3*C4*C5)/((B6-B3)*(B6-B4)*(B6-B5)
Значение L3(x)	=СУММ(D3:D6)

4 .Варианты лабораторных работ для решения алгебраических и трансцендентных уравнений .

Задания: На отрезке [-10, 10] определить корни следующих уравнений:

8. x^3 – 0,1x^2+0,4x-1,5=0

5. Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .

Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:

Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .

Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:

Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .

Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:

Варианты лабораторных работ для решения систем линейных алгебраических уравнений .

Найти решение системы линейных уравнений методом итераций с точностью е=10-3:

6. Варианты лабораторных работ для решения задач интерполирования .

Задания. Построить интерполяционный полином Лагранжа L(x). Вычислить приближенное значение F(x) с помощью L(x) в точке х= , выполнить вычисления с помощью Exel.

xk	0.1	0.3	0.4	0.6
yk	-0.1	0.5	0.8	1.7
xk	-1	-0.5	0.1	0.4
yk	1.0	2.2	1.7	0.8
xk	1.1	1.2	1.4	1.7
yk	-2.0	-1.8	-1.3	-1.0
xk	-1.0	-0.5	0.3
yk	0.9	0.7	0.4	0.8
xk	3.2	3.4	3.7
yk	-14	-10	-8	-12
xk	1.0	3.0	7.0	10.0
yk	0.3	0.7	0.9	1.0
xk	-10.0	-8.0	-5.0	-2.0
yk	6.0	3.0	0.0	-4.0
xk	2.0	3.0	5.0	6.0
yk	0.7	1.2	2.2	3.0
xk	0.7	1.2	2.2	3.0
yk	0.8	1.0	1.3	1.2
xk
yk	0.01	0.03	0.08	0.12
xk	-10	-8	-5	-2
yk	-2
xk
yk	0.1	-0.2	-0.3
xk	2.0	3.2	4.2	5.6
yk	-15	-10	-8	-6
xk	-4	-3	-2
yk
xk	10.5	11.5	12.5	13.0
yk	-6	-7	-5

6. Варианты лабораторных работ для решения задач интерполирования .

Задания. Построить интерполяционный полином Лагранжа L(x). Вычислить приближенное значение F(x) с помощью L(x) в точке х= , выполнить вычисления с помощью Exel.

Бывает ситуация, когда в массиве известных значений нужно найти промежуточные результаты. В математике это называется интерполяцией. В Excel данный метод можно применять как для табличных данных, так и для построения графиков. Разберем каждый из этих способов.

Использование интерполяции

Главное условие, при котором можно применять интерполяцию – это то, что искомое значение должно быть внутри массива данных, а не выходить за его предел. Например, если мы имеем набор аргументов 15, 21 и 29, то при нахождении функции для аргумента 25 мы можем использовать интерполяцию. А для поиска соответствующего значения для аргумента 30 – уже нет. В этом и является главное отличие этой процедуры от экстраполяции.

Способ 1: интерполяция для табличных данных

Прежде всего, рассмотрим применения интерполяции для данных, которые расположены в таблице. Для примера возьмем массив аргументов и соответствующих им значений функции, соотношение которых можно описать линейным уравнением. Эти данные размещены в таблице ниже. Нам нужно найти соответствующую функцию для аргумента 28. Сделать это проще всего с помощью оператора ПРЕДСКАЗ.

Выделяем любую пустую ячейку на листе, куда пользователь планирует выводить результат от проведенных действий. Далее следует щелкнуть по кнопке «Вставить функцию», которая размещена слева от строки формул.

• X;
• Известные значения y;
• Известные значения x.

В первое поле нам просто нужно вручную с клавиатуры вбить значения аргумента, функцию которого следует отыскать. В нашем случае это 28.

В поле «Известные значения y» нужно указать координаты диапазона таблицы, в котором содержатся значения функции. Это можно сделать вручную, но гораздо проще и удобнее установить курсор в поле и выделить соответствующую область на листе.

Аналогичным образом устанавливаем в поле «Известные значения x» координаты диапазона с аргументами.

Способ 2: интерполяция графика с помощью его настроек

Процедуру интерполяции можно применять и при построении графиков функции. Актуальна она в том случае, если в таблице, на основе которой построен график, к одному из аргументов не указано соответствующее значение функции, как на изображении ниже.

Выполняем построение графика обычным методом. То есть, находясь во вкладке «Вставка», выделяем табличный диапазон, на основе которого будет проводиться построение. Щелкаем по значку «График», размещенному в блоке инструментов «Диаграммы». Из появившегося списка графиков выбираем тот, который считаем более уместным в данной ситуации.

Как видим, график скорректирован, а разрыв с помощью интерполяции удален.

Способ 3: интерполяция графика с помощью функции

Произвести интерполяцию графика можно также с помощью специальной функции НД. Она возвращает неопределенные значения в указанную ячейку.

После того, как график построен и отредактирован, так как вам нужно, включая правильную расстановку подписи шкалы, остается только ликвидировать разрыв. Выделяем пустую ячейку в таблице, из которой подтягиваются данные. Жмем на уже знакомый нам значок «Вставить функцию».

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Интерполяция - это метод, который используется для оценки или определения значения между двумя известными значениями на линии или кривой. Этот вид прогнозирования используется во многих видах анализа, таких как инвестиции в рост, прогнозирование чисел, установление стратегий, страховые решения, движения цен, акции и рынки акций и т. Д.

Линейная интерполяция означает оценку будущего значения определенной переменной на основе текущих данных. В MS-Excel создается прямая линия, которая соединяет два известных значения, и, таким образом, будущее значение рассчитывается с использованием простой математической формулы или функции FORECAST.

Примеры для интерполяции в Excel

Давайте разберемся, как интерполировать в Excel с некоторыми примерами.

Вы можете скачать этот шаблон Интерполировать Excel здесь - Шаблон Интерполировать Excel

Пример № 1 - Использование простой математической формулы

Допустим, у нас есть простой набор данных из двух известных значений x и y, и мы хотим интерполировать значение (т.е. найти соответствующее значение y для значения x) следующим образом:

Итак, простая формула, которая используется для интерполяции этого значения:

Поэтому, когда мы применяем эту формулу к данному набору данных, мы получаем интерполированное значение y как:

Таким образом, мы можем видеть на скриншоте выше, что мы интерполировали значение с двумя известными значениями x и y. Могут быть моменты, когда становится трудно запомнить формулу. Таким образом, функция ПРОГНОЗ может быть использована в таких случаях.

Пример №2 - Использование функции FORECAST

Теперь допустим, что мы хотим интерполировать то же значение в примере 1 с помощью функции FORECAST.

Функция ПРОГНОЗ оценивает значение на основе существующих значений вместе с линейным трендом. Он имеет следующий синтаксис:

Итак, давайте теперь посмотрим на скриншот ниже, что происходит, когда мы применяем эту функцию FORECAST для интерполяции заданного значения x:

Таким образом, мы можем видеть на скриншоте выше, что функция FORECAST также хорошо работает для этого.

Пример № 3 - Использование функции прогноза

Теперь допустим, что у нас есть набор данных о розничной фирме, с указанием количества дней и соответствующих продаж фирмы в те дни (т. Е. Количества единиц, проданных в те дни), как показано ниже:

Давайте сначала посмотрим синтаксис функции OFFSET и функции MATCH:

Функция OFFSET возвращает ячейку или диапазон ячеек с указанным количеством строк и столбцов, в зависимости от высоты и ширины в указанных строках и столбцах. Он имеет следующий синтаксис:

OFFSET (ссылка, строки, столбцы, (высота), (ширина))

• ссылка: это отправная точка, откуда начинается отсчет строк и столбцов.
• row: это число строк, смещаемых ниже начальной ячейки ссылки.
• cols: это число столбцов, которые должны быть смещены вправо от начальной ссылочной ячейки.
• высота: опционально; Из возвращенной ссылки это высота строк.
• ширина: необязательно; Из возвращенной ссылки это ширина столбцов.

Функция MATCH возвращает относительное положение искомого значения в строке, столбце или таблице, которое соответствует указанному значению в указанном порядке. Он имеет следующий синтаксис:

MATCH (lookup_value, lookup_array, (match_type))

• lookup_value: это значение, которое необходимо сопоставить или просмотреть из lookup_array.
• lookup_array: это массив или диапазон ячеек, в которых нужно искать lookup_value.
• match_type: необязательно; это может принимать значения 1, 0, -1.

Значение по умолчанию для этого match_type равно 1. Для значения 1 функция MATCH найдет наибольшее значение, которое меньше или равно lookup_value, и значение должно быть в порядке возрастания. Для значения 0 функция MATCH находит первое значение, которое точно равно lookup_value. Для значения -1 функция найдет наименьшее значение, которое больше или равно lookup_value, и значение должно быть в порядке убывания.

Теперь, если мы хотим оценить продажи, скажем, на 28 дней, мы используем эти функции следующим образом:

Вторая функция OFFSET, используемая в качестве третьего параметра в функции FORECAST, используется для выбора известных_х (независимых значений, то есть количества дней).

Функция MATCH, используемая в качестве параметра в функции OFFSET, используется для генерации позиции значения, которая должна быть спрогнозирована, и, таким образом, для вычисления количества строк. Столбцы в функции MATCH, т. Е. Второй параметр в ней должен быть 0, так как зависимое значение требуется для того же выбранного столбца.

Таким образом, в течение 28 дней мы оценили или прогнозировали продажи фирмы как 1120. Аналогично, мы можем оценить продажи фирмы за другое количество дней, используя эту функцию ПРОГНОЗ.

Что нужно помнить о интерполяции в Excel

• Процесс извлечения простой функции из набора данных дискретных значений, так что функция проходит через все заданные значения и, таким образом, может использоваться для прогнозирования значений между заданными значениями, называется интерполяцией.
• Он используется для определения того, какие данные могут существовать вне собранных данных.
• Линейная интерполяция не является точным методом в MS Excel, однако, это экономит время и быстро.
• Линейная интерполяция может даже использоваться для прогнозирования значений осадков, географических точек данных и т. Д.
• Если данные не являются линейными, то для таких интерполяций в таких случаях могут использоваться другие методы: полиномиальная интерполяция, сплайн-интерполяция и т. Д.
• Функция FORECAST может даже использоваться для экстраполяции или прогнозирования будущих значений.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по интерполяции в Excel. Здесь мы обсуждаем, как интерполировать в Excel вместе с практическими примерами и загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете просмотреть наши другие предлагаемые статьи -

Для метода Лагранжа значение n+1=5, то есть порядок интерполяционного полинома n=4.

В общем случае интерполяционный полином Лагранжа представляется как:

где: y_i – значение исходной таблицы данных.

Q_i – вспомогательные функции.

Для нашего случая полином 4-го порядка равен:

1.2.4 Определение вспомогательных функций Q_i(x)

Вспомогательные функции Q_i(x) определяются как

Для нашего полинома вспомогательные функции будут следующими:

1.2.5 Определение интерполяционного полинома

Подставляя вспомогательные функции и значения ординат узлов интерполяции получаем необходимую интерполяционную функцию.

L₄(x) = y₀ + y₁ +

+ y₂ + y₃ +

+ y₄

Восстановление исходной функции в заданной точке, при помощи интерполяционного полинома

Примем точку, в которой будем восстанавливать исходную функцию за x = -2.

L₄(-2) = -14.121 + +4.206 - 0.99 -

6.294 +9.031

1.2.7 Определение погрешности интерпо­ляции путем сравнения значения х, полученного по интерполяционному полиному, и рассчитанного по f(x)

Рис.1 - Определение интерполяционного полинома Лагранжа

f(-2) = -2 +10sin(-2+1) = -10.4147

Для оценки погрешности между исходной и интерполяционной функции воспользуемся формулой:

R(-2)=|-10.4147 – (-5.6636)| = 4.75115

Вывод

Мы получили значительную погрешность и для того, чтобы её снизить необходимо увеличить число узлов на заданном интервале.

ЗАДАНИЕ 2

Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка у = a₂х 2 + a₁x + a₀ ме­тодом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициен­тах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при ₃=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчётное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной погрешностью в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах и при ₃=3. Если результат не устраивает, то наметить путь, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента ₃=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости).

Примечание: Задача аппроксимации, таким образом, выполняется дважды. В обоих случаях необходимо привести выводы всех расчётных формул и алгоритм расчёта, а не просто результат по готовому пакету программ.

Зачётная книжка № Д-12091; N₁₀ = 91/10 остаток 1

2.2.1 Исходные данные из предыдущей задачи

f(x) = x + 10sin(x+1); интервал [-10;5/4]

Таблица 3 – исходные данные

Номер узла	Значение аргумента, x	Значение функции, f(x)
0	-10	-14.1212
1	-7	-4,20585
2	-4,5	-0,99217
3	-1.5	-6,294
4	1,25	9,030732

2.2.2 Определение аппроксимирующей функции при помощи метода наименьших квадратов для равных весовых коэффициентов

В общем случае квадратичный критерий близости равен:

; (1)

; (2)

где - заданные табличные значения функции;

- расчетные значения по аппроксимирующей функции;

- весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-й

В качестве аппроксимирующего уравнения выбираем уравнение второго порядка с n =5:

; (3)

В качестве критерия близости – критерий (1).

Из математического условия минимума функции R, после постановки уравнения (3) в выражение (1) принимает вид:

; (4)

R = f(d₀; d₁; d₂) – является равенством 0, частных производных этой функции.

- математическое условие. (5)

Из решения системы (5) находим коэффициенты d₀; d₁; d_2.

Þ

После преобразования (сокращения на два, раскрытия скобок, изменения порядка суммирования) получим:

Þ (6)

= 5d₀;

= -10 – 7 - 4,5 - 1,5 + 1,25 = -21,75

= (-10) 2 + (-7) 2 + (-4,5) 2 + (-1,5) 2 +1,25 2 = 173,0625

= (-10) 3 + (-7) 3 + (-4,5) 3 + (-1,5) 3 +1,25 3 = -1435,547

= (-10) 4 + (-7) 4 + (-4,5) 4 + (-1,5) 4 +1,25 4 = 12818,566

= -14,1212 - 4,20585 - 0,99217 - 6,294 + 9,030732 = -16,58

= -14,1212×(-10)+(- 4,20585)×(-7)+(- 0,99217)×(-4,5)+(- 6,294)×(-1,5) +

= -14,1212×(-10) 2 +(- 4,20585)×(-7) 2 +(- 0,99217)×(-4,5) 2 +(- 6,294)×(-1,5) 2 +

+ 9,030732×1,25 2 = -1638,3

С учётом полученных данных система (6) принимает вид:

(7)

Из системы уравнений (7) находим:

Аппроксимирующий полином второго порядка при равенстве весовых коэффициентов имеет вид:

у = 0,014х 2 + 1,698x + 3,59.

Составим таблицу, в которую запишем как расчётные у, так и значения f(x).

Таблица 4 – Значения f(x), y_расч при равных коэффициентах.

Читайте также:

  
• Outlook express резервное копирование
  
• Как изменить вид номенклатуры в 1с ут 11
  
• Как открыть доступ к программе другому пользователю windows 7
  
• Ни загрузка ни выгрузка данных не были произведены 1с
  
• Как провести в 1с конвертацию из евро в доллары