Как компьютер вычисляет косинус

Обновлено: 06.07.2024

Использование косинуса в калькуляторе экономит много времени по сравнению с поиском в таблице, что люди делали до калькулятора. Косинус происходит от части математики, называемой тригонометрия, которая имеет дело с отношениями между сторонами и углами в прямоугольных треугольниках. Косинус определенно имеет дело с отношением между одним из непрямых углов, его смежной стороной и гипотенузой.

Нахождение косинусного соотношения

Проверьте режим калькулятора. На научных калькуляторах это отображается на экране. Для построения графиков калькуляторов нажмите «Режим». Если вы используете градусы (как правило, если вы находитесь в геометрии), калькулятор должен быть установлен в градусах или "градус". Если вы используете радианы (предкалькуляция или тригонометрия), для него следует установить радианы или «радианы».

Введите меру угла, для которого вы хотите узнать коэффициент косинуса. Например, 45 градусов.

Закройте скобки, нажав ")."

Нажмите клавишу ввода. Калькулятор должен отображать ваш коэффициент косинуса в десятичном виде. В этом примере вы должны увидеть 0, 7071.

Использование коэффициента косинуса для определения угла

Введите коэффициент косинуса. Это длина соседней стороны, деленная на длину гипотенузы. Например, используйте 1/2. Нажмите клавишу «1», клавишу деления, а затем клавишу «2».

Нажмите Ввод." Калькулятор покажет угол для вашего косинуса. В этом примере калькулятор должен отображать 60 градусов.

подсказки

При вводе угла он не должен быть больше 90 градусов, поскольку углы не соответствуют теореме о треугольной сумме углов. При вводе коэффициента косинуса у вас никогда не должно быть неправильной доли, потому что гипотенуза будет больше по определению и находится в знаменателе.

Как найти угол, используя синус, тангенс и косинус

Функции синуса, косинуса и тангенса часто должны использоваться для решения угловых задач в алгебраических, геометрических и тригонометрических тестах. Как правило, одному дается длина двух сторон прямоугольного треугольника и предлагается найти меру одного или всех углов в треугольнике. Расчет угла требует, чтобы вы использовали либо .

Как найти котангенс на графическом калькуляторе

В тригонометрии котангенс является обратной величиной касательной. Формула для определения касательной - это противоположная сторона, разделенная на соседнюю сторону треугольника. Итак, поскольку котангенс является обратным, то формулой для определения котангенса является смежная сторона, разделенная на противоположную сторону .

Как построить график и найти решение на калькуляторе

Графические калькуляторы - это один из способов помочь студентам понять взаимосвязь между графиками и решением ряда уравнений. Ключом к пониманию этой взаимосвязи является знание того, что решение уравнений является точкой пересечения графиков отдельных уравнений. Нахождение точки пересечения .

На Хабре было уже много статей, посвящённых быстрым вычислениям тригонометрии, когда сильно надо, но я хотел бы дополнить их одной небольшой заметкой с отсылкой к школьной тригонометрии.

Иногда может не быть аппаратной реализации тригонометрии, иногда могут быть иные причины, чтобы изобретать методы ускорения вычисления.

Математика

Давайте вспомним некоторые простые формулы из школьного курса.

Начнём с простых:
(1)

sin x = cos (90° - x)
cos x = sin (90° - x)
sin -x = -sin x
cos -x = cos x
В общем случае sin (90°N ± x) = ±cos x для нечётных N и ±sin x для чётных. Знак берётся исходя из знака аргумента в соответствующей четверти круга.

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - .
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - .

Косинус/синус любого угла может быть приведён к аргументу в диапазоне от 0° до 45°, используя формулы первой группы.

Для малых углов тригонометрические функции могут быть сведены к асимптотическим разложениям, если отбрасываемые члены заведомо выходят за разрядную сетку.

Все промежуточные углы могут быть получены суммированием больших углов с некоторым шагом (а для них тригонометрию можно считать таблично), и остатков, которые рано или поздно дадут линейное разложение.

Применение

Предположим, что мы работаем с числами одинарной точности IEEE-754 они имеют имена float, single и т.п. В мантиссе 23 знака, значит нам надо получить относительную погрешность 2^-23 .
Давайте оценим, как глубоко надо опуститься, чтобы построить таблицы аргументов.

Для синуса будем отбрасывать кубический член, поэтому нам нужно, чтобы его отношение к линейному было меньше чем допустимая погрешность, откуда выходит, что: 1 - (x - x^3/3!) / x = x^2/6 должно быть меньше 2^-23, откуда следует, что для аргументов не более чем 0.000846 радиана нам достаточно точности приближенного вычисления для синуса. Для косинуса, если отбрасывать квадратичный член, нужна точность примерно в 2 раза лучше — 0.000488 радиана.
Итак, нам не надо иметь табличные значения для аргумента меньше чем 0.000488 радиана.

Для построения таблицы перенормируем входной аргумент так, чтобы значению 0 соответствовал угол 0°, а для значения 1 — угол 45°, или pi/4=0.78539816 радиан. Тогда минимальный угол, полученный выше, будет пересчитан в 0.0006217 радиан, или примерно 1/1600 — это больше чем 1/2048 = 2^-11 .

Дальше нужно будет выбрать шаг таблиц исходя из того, как мы хотим распределить вычисления, показатель степени 11 мы разделим на несколько частей. Например, можно разбить его на две части: 11=6+5, тогда нам понадобятся две таблицы размером 64 и 32 записи (итого 96), или на три части: 11=4+4+3 (размер таблиц 16+16+8=40 записей), но будет больше операций умножения — конкретный выбор будет зависеть от задачи и располагаемых ресурсов.

Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.

Пример

Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.

Итак, задача: вычислить значение sin x для произвольного x .

Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x' ).

Шаг 2. В зависимости от значения аргумента x' используя формулы (1) выберем нужную функцию таким образом, чтобы аргумент её был в диапазоне от 0 до 1 (включительно) (назовём x'' . На этом шаге также нужно будет отметить знак получаемого результата.

[предположим для примера, что получился синус]

Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут "битовые поля" в двоичном представлении аргумента x'' — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.

Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.

Поскольку угол мы делили на pi/4 , то чтобы получить остаток в радианах, его надо умножить на эту же величину. "Битовый" остаток, умноженный pi/4 , обозначим как A. Тогда его синус будет равен A, а косинус — 1.

Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:

|sin x| = S123 + C123 A (если на шаге 2 получили синус)
|sin x| = C123 - S123 A (если на шаге 2 получили косинус)

Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.

Заключение

Аналогичный подход может использоваться как для вычисления в вещественных числах любого размера, так и, например, для реализации специализированной арифметики с фиксированной запятой. Собственно, в своё время именно последняя задача меня и сподвигла поковыряться в эту сторону, но это было давно.

Калькулятор работает по принципу цифровой техники.
Изначально с двоичными числами, далее переводит их в десятичные.
С натуральными всё понятно - это осуществимо. Даже с дробными - это простое смещение запятой. И с отрицательными понятно.
Но. чем он руководствуется в операциях с синусами и косинусами? Или изначально кто-то опытным путём рассчитал всю таблицу синусов (включая самые мельчайшие промежуточные значения) а потом забил их в память калькулятора? Ведь этих промежуточных значений может быть бесконечное число. Какими математическими формулами (избегая синусов) можно рассчитать эти самые синусы?
То же и относительно числа Пи. Калькулятор способен показать сколь угодно знаков после запятой, или количество знаков ограничено в его памяти?

Тогда вычисление сводится к простейшим операциям сложения и умножения, а точность бесконечна, т. е. можно получить любую заданную.

Я могу только полагаться на доверие.
Если я правильно понял - синусы и косинусы по этим формулам вполне можно вычислить через более простые функции? Они действительно дают точный результат?

Сцуко Мудрец (13657) Секретный Кот, тут доверять не нужно. Тейлор доказал это математические ещё в 18 веке, и с тех пор всё прекрасно считается по этим функциям. Я ссылку на Википедию дал, там всё написано. Эти формулы дают результат с какой угодно заданной точностью (т. к. этот ряд бесконечный), вопрос только во времени вычисления. Кстати число пи тоже можно самому посчитать математически с какой-угодно точностью, вопрос только во времени вычислений. Хотя калькуляторы-компьютеры их не считают напрямую, т. к. это константа и она не меняется, её можно взять посчитанную из справочника. Но, тем не менее, посчитать и число пи можно самому с любой точностью.

Эти функции разложены в ряды. Вот ряд он и вычисляет. А ПИ он просто знает (оно в ROM сидит)

Пи наверное с ограниченным количеством знаков после запятой.

Компенсатор_Х Гуру (3596) Секретный Кот, Само собой разумеется. Бесконечный ряд просто никому не нужен - он не дает никакого выигрыша по сравнению с, скажем, девятью знаками после запятой.

Числа в формате с плавающей точкой записанны как в калькуляторе не знаю есть форматы данных
обычное действительное 4байта
Действительное двойной тосности 8байт
И расширенное действительное 10байт хранятся они в экспотонциональной форме
В двоичном виде. К примеру если бы число занимало 1 байт 4 бита на мантису и 4 бита на порядок 1.101 101 это 1.625 *2^5 это я показал принцип там сложнее немножко порядок и мантиса имеют знаки. В некоторых книгах по ассемблеру описывается формат данных с плавающей точкой. Но для начала разберись с обычными целрчисленными

Число пи записано заранее, как константа. Синусы-косинусы вычисляются с помощью полиномов Чебышева, потому таблица получается значительно меньше, чем это кажется. Так для вычисления синуса точностью до третьего знака нужно взять из таблицы всего пять значений.

И не только синусы и косинусы. В принципе так же, как их вычисляли вручную - разложением в ряды. Но, конечно, куда быстрее, чем вручную. Схемы математического сопроцессора компьютера, как и калькулятора, специально приспособлены для вычислений таких рядов. И, конечно, с ограниченной точностью в десяток-два десятичных знаков.

Используйте инженерный калькулятор для сложных расчетов с применением тригонометрических функций. Команды вводятся с помощью мыши или клавиатуры.
Инженерный калькулятор позволяет производить сложные расчеты с применением различных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Калькулятор позволяет возводить числа в степень, вычислять логарифм числа.
Основные команды (цифры, умножение, деление, сложение, вычитание, равенство, сброс) можно вводить как с помощью мышки, так и с помощью цифровой клавиатуры (верхней или боковой). Подробные инструкции по работе с инженерным калькулятором смотрите внизу страницы.

Функции стандартных кнопок

Ввод команд с компьютерной клавиатуры

Для работы с калькулятором можно использовать любые цифровые клавиши: как цифровые клавиши находящиеся сверху, так и отдельные цифровые клавиши находящиеся справа.

Примеры вычислений на инженерном калькуляторе

Только корректные расчеты по всем правилам математики!

В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Всё для вашего удобства:

быстрые вычисления и загрузка,
верные расчеты по всем правилам,
полный функционал,
понятный интерфейс,
адаптация под любой размер устройства
бесплатно
не надо ничего устанавливать,
никакой всплывающей назойливой рекламы,
подробная инструкция с примерами

Содержание справки:

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Инструкция по функциям инженерного калькулятора

Как пользоваться MR MC M+ M- MS

Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

Как возвести в степень

Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:

12 [x y ] 3 [=]

12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]

Как найти корень кубический

Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:

729 [3√x] [=]

729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]

Как найти корень на калькуляторе

Задача: Найти квадратный корень 36.

Решение: всё просто, нажимаем так:

36 [ y √x] 2 [=]

36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]

При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.

Как возвести в квадрат

Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:

[x y ] «икс в степени игрик», [X 2 ] «икс в квадрате»

Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».

Например: 45 [x y ] 6 [=]

Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625

Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов

1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.

Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:

В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:

90 [sin] [=]

Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:

60 [cos] [=]

Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.

Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе

[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».

Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:

35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666

Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

1 [log] [=]

Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:

100 [log] [=]

Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].

Как пользоваться памятью на калькуляторе

Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.

MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.

Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:

145 [MR]

После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:

[MR]

На экране отобразится снова 145.

Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.

Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Из этой статьи вы узнаете, как пользоваться основными функциями научного (инженерного) калькулятора. Научный калькулятор пригодится при изучении алгебры, геометрии и тригонометрии.

Найдите основные функции. На калькуляторе есть несколько функций, которые понадобятся для решения алгебраических, тригонометрических, геометрических и других задач. Найдите на калькуляторе следующие функции:

Читайте также: