Как поставить двоичную систему счисления на компьютере

Обновлено: 06.07.2024

Немного истории

Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.

Таблица и алфавит

Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1 . Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.

Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.

Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы . Например:

100110₂ = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38₁₀

Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:

Делимое	38	19	9	4	2
Делитель	2	2	2	2	2
Частное	19	9	4	2	1
Остаток	0	1	1	0	0

Для перевода в другие системы необходимо:

Перевести двоичный код в десятичный.
Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.

Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

11001001₂ = 11 001 001 = 011 001 001 = 311₈

11001001₂ = 1100 1001 = С9₁₆

Представление двоичных чисел

В двоичной системе также существует понятие «отрицательных» чисел. И для того, чтобы провести какую-либо операцию с ними в двоичном коде, необходимо представить его в виде дополнительного кода. Запись положительного числа при этом не меняется ни для одного из кодов.

Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.

Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:

A > 0	A_пр = 0A	101011₂; A_пр = 0101011₂
A ≤ 0	A_пр = 1\|A\|	-101011₂; A_пр = 1101011₂

Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:

A > 0	A_обр = 0A	101011₂; A_обр = 0101011₂
A ≤ 0	A_обр = 1 A	-101011₂; A_обр = 1010100₂

Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:

A > 0	A_доп = 0A	101011₂; A_доп = 0101011₂
A ≤ 0	A_доп = 1 A + 1	-101011₂; A_доп = 1010101₂

Применение двоичной системы в информатике

Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Из этой статьи вы узнаете, как считать в двоичной системе счисления, которая используется во всех компьютерах. Поначалу это покажется необычным, но если знать всего несколько правил и немного попрактиковаться, можно научиться быстро считать в двоичной системе.

Десятичная система

Двоичная система

Ознакомьтесь с основами двоичной системы. Система счисления, которой мы ежедневно пользуемся, называется десятичной, потому что она включает десять цифр (от 0 до 9). В двоичной системе счисления используются всего две цифры — 0 и 1.

0 = ноль
1 = один
Если двоичное число состоит из нескольких цифр, учитывайте только последний 0: 1010 + 1 = 1011.

0 = ноль
1 = один
10 = два
Аналогичное правило используется в десятичной системе счисления, когда больше нет цифр, например, 9 + 1 = 10. В двоичной системе такое случается гораздо чаще, потому что в ней используются всего две цифры.

0 = ноль
1 = один
10 = два
11 = три
100 = четыре
101 = пять

110 = шесть
111 = семь
1000 = восемь
1001 = девять
1010 = десять

Научитесь добавлять новые цифры. Обратите внимание, что десять (1010) не является каким-то особенным числом в двоичной системе. Сейчас нас больше интересует число восемь. Восемь (1000) равно 2 x 2 x 2 (10 х 10 х 10). Умножайте числа на два (10), чтобы находить другие числа, например, шестнадцать (10000) и тридцать два (100000).

Двенадцать плюс один = 1100 + 1 = 1101 = тринадцать (0 + 1 = 1, а остальные цифры не меняются).
Пятнадцать плюс один = 1111 + 1 = 10000 = шестнадцать (цифр больше нет, поэтому слева от 1111 мы приписываем 1, а все остальные цифры превращаем в ноли).
Сорок пять плюс один = 101101 + 1 = 101110 = сорок шесть (1 + 1 = 10, а остальные цифры не меняются).

1 — это разряд единиц;
1 0 — это разряд двоек;
1 00 — это разряд четверок;
1 000 — это разряд восьмерок.

Преобразуйте двоичное число 10011 в десятичное.
Первая справа цифра 1. Она находится в разряде единиц. Поэтому умножьте ее на единицу: 1 x 1 = 1.
Вторая справа цифра тоже 1. Она находится в разряде двоек. Поэтому умножьте ее на два: 1 x 2 = 2.
Следующая цифра 0. Умножьте ее на четыре: 0 x 4 = 0.
Следующая цифра тоже 0. Умножьте ее на восемь: 0 x 8 = 0.
Последняя (справа) цифра 1. Умножьте ее на шестнадцать: 1 x 16 = 16.

1 + 2 + 16 = 19.
Таким образом 10011 (в двоичной системе) = 19 (в десятичной системе).

Также можно научиться считать в двоичной системе на пальцах. Каждый вытянутый палец будет цифрой 1, а каждый согнутый — 0. [1] X Источник информации

Дополнительные статьи

Об этой статье

Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.

| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).

Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).

Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.

В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.

| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.

Египетская система счисления
Кириллическая система счисления
Римская система счисления
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.

Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».

| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:

Развёрнутая форма представления чисел

В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:

Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:

Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

Запишем полученный результат.

Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!

Перевод числа в десятичную систему счисления

С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.

Двоичная система счисления

| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 21_10.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;

2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:

Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

Переведите число 13₁₀ в двоичную систему счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.

Рассмотрим базовые арифметические операции.

Кодирование числовой информации в памяти компьютера

Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти компьютера;

3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.

Представьте число 56₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:

3. дополним незначащими нулями:

Диапазон значений целых чисел без знака

Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.

Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.

Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти;

3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.

4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.

Представьте число +292₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:

3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:

4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:

Ответ: +292₁₀ = 0000000100100100₂

Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;

2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;

3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);

4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.

Представьте число –87₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:

2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:

4. прибавляем к числу единицу:

Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.

Диапазон значений целых чисел со знаком
Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.

Переводы

1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

а) 1100₂	д) 1100011₂	з) 1001110111000₂
б) 11000₂	е) 100101101₂	к) 1001000010111₂
в) 101010₂	ж) 101110110₂	л) 101110101111₂
г) 1100011₂	з) 111111₂	м) 1111111₂

2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

а) 42	д) 232	з) 400
б) 97	е) 286	к) 405
в) 111	ж) 309	л) 528

3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:

Развёрнутая форма представления чисел

В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:

Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:

Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

Запишем полученный результат.

Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!

Перевод числа в десятичную систему счисления

Двоичная система счисления

| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 21_10.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;

2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:

Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:

Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

Переведите число 13₁₀ в двоичную систему счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.

Рассмотрим базовые арифметические операции.

Кодирование числовой информации в памяти компьютера

Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти компьютера;

3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.

Представьте число 56₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:

3. дополним незначащими нулями:

Диапазон значений целых чисел без знака

Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.

Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти;

3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.

4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.

Представьте число +292₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:

3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:

4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:

Ответ: +292₁₀ = 0000000100100100₂

Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;

2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;

3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);

4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.

Представьте число –87₁₀ в компьютерной форме.

1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:

4. прибавляем к числу единицу:

Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.

Переводы

а) 1100₂	д) 1100011₂	з) 1001110111000₂
б) 11000₂	е) 100101101₂	к) 1001000010111₂
в) 101010₂	ж) 101110110₂	л) 101110101111₂
г) 1100011₂	з) 111111₂	м) 1111111₂

2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

а) 42	д) 232	з) 400
б) 97	е) 286	к) 405
в) 111	ж) 309	л) 528

3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

Читайте также: