Кто описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1 на которой основана компьютерная техника

Обновлено: 07.07.2024

I. Понятие двоичной системы счисления…………………………………………………………………..

1.1. История двоичной системы счисления

1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

1.3. Перевод десятичного числа в двоичное

II. Почему удобна двоичная система? ………………………………………………

2.1. Достоинства двоичной системы

2.2. Недостатки двоичной системы

Кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.

Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.

Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.

Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее написание десятичных цифр:

Понятие двоичной системы счисления.

Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием два. (Позиционная система счисления (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

История двоичной системы счисления.

Мысль о двоичной системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени. Иезуит Буве (Bouvet), миссионер в Китае, которому Лейбниц писал о своём изобретении, сообщил ему, что в Китае существует загадочная надпись, которую можно вполне объяснить бинарной системой. Надпись эта, которую приписывают императору Фо-ги, жившему в 25 веке до н. э., основателю Китайской империи, покровителю наук и искусств, не могла быть объяснена китайскими учёными, которые считали её не имеющей смысла. Она состоит из ряда длинных и коротких чёрточек. Если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся надпись оказывается просто рядом натуральных чисел, написанных по двоичной системе. Вот эта надпись:

Двоичная система счисления оказалась удобной для использования в ЭВМ. Использование двоичной системы оказалось наиболее эффективным в электронных схемах: цифры 0 и 1 удобно кодировать уровнями напряжения, соответствующим напряжению на шинах питания, „0“ и „+V“; использование большего количества уровней привело бы к усложнению схем. Хотя были прецеденты создания и троичных ЭВМ.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:

1 – это один (и это предел разряда)

11 – это три (и это снова предел)

100 – это четыре

1.3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

1. 10001001 = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0* 2^ + 0*2^ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

2. 1011_ = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11_

3. 10101010_ = 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ = 128 + 32 +8 + 2 = 170_

4. 101101_ = 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 63_

5. 100,101_ = 1*2^ +0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 4 + 2 = 6Элементы оглавления не найдены._

6. 111101_ = 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 32 +16 + 13 = 61_

7. 1001_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 9

8. 10011,1_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ = 19,5

9. 11101,11_ = 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ +1*2^ + 1*2^ = 57,5

10. 100111 = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ +1*2^ + 1*2^ + 1*2^ = 39

1.4. Перевод десятичного числа в двоичное:

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)

38 / 2 = 19 (0 остаток)

19 / 2 = 9 (1 остаток)

9 / 2 = 4 (1 остаток)

4 / 2 = 2 (0 остаток)

2 / 2 = 1 (0 остаток)

1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1. 1001101_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 64 + 8 + 5 = 77_

2. 49_ = \dfrac < 49 > < 2 >= 110001_

3. 15_ = \dfrac < 49 > < 2 >= 1111_

4. 31_ = \dfrac < 31 > < 2 >= 11111_

5. 0,45_ = \dfrac < 0,45 > < 2 >= 0,11100_

6. 95_ = \dfrac < 95 > = 1011111_

7. 102_ = \dfrac < 2 >= 1100110_

8. 58_ = \dfrac < 58 > < 2 >= 110100_

9. 4956_ = \dfrac < 4956 > < 2 >= 101101011100_

10. 125_ = \dfrac < 125 > < 2 >= 10111101_

2. Почему удобна двоичная система?

Стоит отметить, что двоичная система издавна была предметом пристального внимания ученых. Официальное рождение двоичной системы счисления связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Во время работы ЭВМ постоянно происходит преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную, и наоборот. Да и человеку, имеющему дело с ЭВМ, часто приходится прибегать к преобразованиям чисел.

Вот, что писал Лаплас об отношении великого немецкого математика Г.В. Лейбница к двоичной (бинарной) системе: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытиё и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

Главное достоинство двоичной системы – простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требуется ничего запоминать, ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе счисления.

Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр):

- электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), широко использовались в конструкциях первых ЭВМ;

- участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/ размагничен);

- участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает);

- триггер, может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко используется в оперативной памяти компьютера.

Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой при конструкции ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы Дж. фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой. Работа написана в 1946 году.

2.1. Достоинства двоичной системы счисления:

1. Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.

2. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

3. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

4. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.

5. Двоичная арифметика проще десятичной.

2.2. Недостатки двоичной системы счисления:

1. Итак, код числа, записанного в двоичной системе счисления представляет собой последовательность из 0 и 1. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.

2. Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

3.1. Заключение:

В ходе изучения данной темы мы выяснили, что двоичная система счисления намного старше электронных машин. Двоичной системой счисления люди интересуются давно. Особенно сильным это увлечение было с конца 16 до 19 века. Знаменитый Лейбниц считал двоичную систему счисления простой, удобной, красивой. Даже по его просьбе была выбита медаль в честь этой «диадической» системы (так называли тогда двоичную систему счисления).

Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации.

Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы.

Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.

Почти все ЭВМ используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления.

Но двоичная система имеет и недостатки:

- ею пользуются только для ЭВМ для внутренней и внешней работы;

- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Библиографический список

1. Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия программиста. М.: Просвещение, 1990.

2. Решетников В.Н., Сотников А.Н. Информатика – что это? М.: Радио и связь, 1989.

Здравствуйте, в этой статье мы поговорим про такую важную тему, как двоичная система исчисления, называемую также бинарным кодом. Всем, кто хочет идти работать в ай-ти сферу должны обязательно разобраться в этом разделе, а для всех остальных будет полезно ознакомиться для общего развития, с представленной ниже информацией.

Я попытаюсь дать все необходимые понятия, и попытаюсь подробно разжевать их, чтобы у вас не осталось никаких вопросов. Попробую дополнить всё примерами, а самые сложные моменты попытаюсь объяснить на пальцах. После прочтения вы узнаете о представлении чисел в двоичном коде, некоторые особенности и полезные свойства этой системы счисления, отрасли, где она применяется и краткую теорию её становления в информатике.

Экскурс в прошлое

Бинарное исчисление было введено немецким математиком и ученым Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке. Он считал двоичную нумерацию простой и красивой. Вот что он сам про неё говорил: «вычисление с помощью двоек является для науки основным и порождает новые великие изобретения. При сведении чисел к таким основаниям, как 0 и 1 — появляется чудесный порядок» . Однако счисление не получило большой популярности. По нему не издавали работ до 20 века. Однако, с появлением первых ЭВМ все поменялось и мы пользуемся им до сих пор.

Минимально необходимый теоретический базис

Для того чтобы полностью разобраться с двоичным исчислением нужно разобрать, или повторить основные определения. Это будет фундаментом для того, чтобы вы смогли понять то, что дальше написано. К ним относятся такие понятия как:

Цифры – знаки с помощью которых мы записываем числа (0-9);
Алфавит – набор знаков, которые мы используем для отображения числового значения. В арабском алфавите, который используется во всем мире, знаки состоят из цифр от 0 до 9.
Разряд — место (позиция) цифры, которое она занимает. Далее я наглядно покажу, что он из себя представляет.
Основание – количество символов, которое используется, чтобы представить информацию в нужной системе счисления. Например, в шестнадцатеричном исчислении используются – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 16 символов.
Позиционные система счисления – системы, где значение цифры зависит от её разряда (места в числе). Например, в 1000 единица обозначает “тысячу” а в 10 “десяток”. Количество, которое обозначает знак “1” меняется.

Понимая все то, что написано выше, можно перейти к сути вопроса. Итак:

Двоичная система счисления – позиционная система с основанием 2. Для отображения чисел применяется два знака – 0 и 1.

В математике обозначается с помощью нижнего индекса, где указано основание. Выглядит это вот так . Натуральные числа представляются по следующей формуле:

Немного про то, что значат буквы в формуле:

а – цифры (нуль или единица)
n – номер последней позиции в числе. Отсчет начинаем от 0 и считаем справа налево
k – индекс позиции

Практика

Без практики объяснить, как этим пользоваться – трудно. Поэтому рассмотрим пару примеров. Однако для начала вам необходимо скачать таблицу, где значения бинарного кода представляются в десятичной форме. Я взял первую попавшуюся таблицу с интернета. Выглядеть она будет примерно так:

Задача 1: Представить 7 в двоичном коде, а потом расписать его с помощью формулы выше.

Для того чтобы это сделать надо:

Как видно из примера здесь нет ничего сложного. Давайте разберем что-нибудь посложнее, да и найдем таблицу посерьезнее. Я взял вот такую:

Задача 2: отобразить 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся точно такими же, однако я покажу другой способ для выполнения первого пункта. Принцип тот же, но он кажется мне более удобным.

Получаем что

Смотрим что в таблице:

Далее я приведу несколько свойств, которые вы сможете применить при работе с двоичной системой.

Полезные свойства

Добавляя справа нулик, вы увеличиваете числовое значение в два раза. Выглядит это как-то так:

Области применения

Заключение

На этом всё, вот вы и познакомились с двоичной системой исчисления. Здесь мы рассмотрели общие положения и научились пользоваться таблицей для проверки результатов. Также вы знаете отрасли применения. Прочитав другие материалы нашего сайта, вы сможете научиться выполнять арифметические операции, и переводить счисление с основанием два в другие нумерации. Например шестнадцатеричную и восьмеричную (основание шестнадцать и восемь). При возникновении вопросов оставляйте их в комментариях.

Немного истории

Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.

Таблица и алфавит

Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1 . Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.

Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.

Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы . Например:

100110₂ = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38₁₀

Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:

Делимое	38	19	9	4	2
Делитель	2	2	2	2	2
Частное	19	9	4	2	1
Остаток	0	1	1	0	0

Для перевода в другие системы необходимо:

Перевести двоичный код в десятичный.
Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.

Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

11001001₂ = 11 001 001 = 011 001 001 = 311₈

11001001₂ = 1100 1001 = С9₁₆

Представление двоичных чисел

В двоичной системе также существует понятие «отрицательных» чисел. И для того, чтобы провести какую-либо операцию с ними в двоичном коде, необходимо представить его в виде дополнительного кода. Запись положительного числа при этом не меняется ни для одного из кодов.

Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.

Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:

A > 0	A_пр = 0A	101011₂; A_пр = 0101011₂
A ≤ 0	A_пр = 1\|A\|	-101011₂; A_пр = 1101011₂

Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:

A > 0	A_обр = 0A	101011₂; A_обр = 0101011₂
A ≤ 0	A_обр = 1 A	-101011₂; A_обр = 1010100₂

Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:

A > 0	A_доп = 0A	101011₂; A_доп = 0101011₂
A ≤ 0	A_доп = 1 A + 1	-101011₂; A_доп = 1010101₂

Применение двоичной системы в информатике

Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.

1.Обучающая – формирование новых знаний, умений и навыков по теме “Двоичная система счисления”, осознанное понимание представления чисел в двоичной системе счисления, перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления, контроль за усвоением учебного материала.

2.Развивающая – развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала, самостоятельность, развитие речи, активизировать познавательную деятельность учащихся;

3.Воспитательная – активизация познавательной и творческой активности учащихся, воспитание чувства ответственности, коммуникативности,

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный, продолжительность 45 минут.

Возраст учащихся: 9 класс.

1.Организационный момент.

2.Повторение и обобщение предыдущих знаний.

Разминка для ума (ребята отвечают на вопросы):

Действие производимое с клавишей (нажатие)
Неправильная запись в программе (ошибка)
Переведите на английский язык слово «вычислять» (компьютер)
Ноль или единица в информатике (бит)
Строго определенная последовательность действий при решении задачи (алгоритм)
Указание исполнителю (команда)
Графический способ представления информации (блок-схема)
Символ - разделитель (пробел)
Простейший прибор для вычислений (счеты)
Гибкий магнитный диск (дискета)
Так называют специалистов в своей области (ас)
Процедура «альтернатива», как ее можно назвать иначе? (ветвление, выбор)
«Мозг» компьютера (процессор)
Взломщик компьютерных программ (хакер)
Многократно повторяющаяся часть алгоритма (программы) (цикл)
Печатающее устройство (принтер)
Указатель местоположения на экране (курсор)
Состояние, в котором включенный компьютер не реагирует на действия пользователя (зависание)
Место хранения информации (память)
Всемирная глобальная сеть (Интернет)
Карманное вычислительное устройство (калькулятор)

3. Подготовка к восприятию нового материала, мотивация.

-Сегодня на уроке вы имеете возможность показать свои знания не только по информатике, но и по математике.

- Вопросы ученикам:

1. С каким универсальным техническим устройством мы работаем на уроках информатики? (Это устройство называется компьютер).

2. Для чего была изобретена ЭВМ? (ЭВМ изобретена для работы с числами).

3. Зачем нужны числа? (Для практических вычислений)

4. На каком школьном учебном предмете вас учат работать с числами?

(С числами работаем на математике).

5. Сколько цифр используется для представления чисел? (10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

6. Какие сигналы используются в компьютере и как они обозначаются?

(включено, выключено; 0,1)

7. Сколько цифр используется? (Используется 2 цифры: 0 и 1).

8. Какая это система счисления? (Это двоичная система счисления).

- Итак, тема сегодняшнего нашего урока звучит: “Двоичная система счисления”.

Сегодня мы с вами познакомимся с 2СС и научимся работать с двоичными числами:

переводить из двоичной в десятичную СС

переводить из десятичной в двоичную СС

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в ЭВМ двоичная система счисления.

В ЭВМ используют двоичную систему, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток, нет тока; включено, выключено и т.д., одному из состояний ставится в соответствие 1, другому – 0), а не десять, как в десятичной системе;

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

упрощается выполнение арифметических действий;

возможность использовать аппарат булевой алгебры для выполнения логической преобразований информации.

- В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.).

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.

4.Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную.

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

- Затем ребята составляют таблицу перевода десятичных чисел от 0 до 20 в двоичную систему счисления.

Читайте также: