Система счисления это множество способов записи чисел совокупность файлов
Обновлено: 04.07.2024
Продолжаем разбирать темы из школьной программы в обработке для “чайников”. Сегодня поговорим о системах счисления. Что это вообще такое и кому они нужны? Вникаем вместе с доцентом кафедры «Информатика» ГГТУ Любовью Михайловой.
Малыш загибает пальчики на руке. Нечесаный, закутанный в шкуры человек рисует углем черточки на камне. Одетый в белоснежное жрец выводит изящные круги и завитушки на листе папируса… Я нажимаю NumLock на клавиатуре и набираю 12345… Что общего между мной и тем дикарем, выводящим черточку за черточкой? Мы записываем числа. Только я делаю это быстрее. И не только потому, что мой инструмент – компьютер – более совершенен. Я использую более удобный и совершенный принцип записи числа – другую, нежели он, систему счисления.
Что же такое система счисления?
Определение таково: символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Или: совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.
Итак, есть некие символы, необязательно цифры, и правила, определяющие то, как надо трактовать последовательность этих символов – число.
Какими они бывают
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая символом, фиксирована и не зависит от его положения в записи числа.
Самая простая и самая древняя непозиционная система счисления – унарная. Помните нашего дикаря? В качестве базового символа в такой системе могло использоваться все что угодно: единичная линия, камешек, отдельный узелок на веревке. Сколько узелков (черточек, камешков) – такова величина числа. Недостаток очевиден: слишком длинная запись числа получается. Если я пишу про 10 коров – еще терпимо, а если про 100?
Чтобы сделать запись числа короче, додумались ввести отдельные обозначения еще для нескольких величин. В Древнем Египте это были числа, кратные 10:
В Древнем Риме: 1, 5, 1*10, 5*10 и т. д.
На Руси: 1, 2, … 9, 1 * 10, 2 * 10, … 9 * 10, 1 * 100 и т. д. Как и в Древнем Риме, для обозначения чисел использовались буквы со специальным символом – титло – над ними.
Недостатки, правда, у такой идеи прежние:
- слишком длинная запись, например, число 73 в римской системе записывалось как LXXIII;
- не самые простые правила трактовки записи;
- неудобно производить арифметические операции над числами.
А что с позиционной системой?
Позиционная система счисления устроена сложнее. В ней есть основание, определяющее «вес» разряда, а заодно количество цифр, которые используются для записи числа, сами цифры и разряд – место цифры в записи числа. Значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда)! Вот она, суть. Если в непозиционной системе все цифры – «рядовые» и имеют одинаковый вес, то в позиционной у нас шеренга – от новобранца до генерала; чем ближе к началу, тем «тяжелее» очередной боец.
Давайте разберемся, как это работает, на примере современной десятичной системы счисления. Пусть мы имеем запись числа, например: 12345. Что это означает:
5 * 100 + 4 * 101 + 3 * 102 + 2 * 103 + 1 * 104?
10 – основание системы счисления; степень, в которую возводится десятка, – номер разряда – позиции цифры в записи числа. Вот эта 10n и есть вес.
Для справки: нет единого мнения насчет того, кто изобрел современную, «арабскую», систему счисления, которую мы используем. Доподлинно известно, что в средневековую Европу ее принесли именно арабы, а широкое распространение она получила не ранее XVI века. Это была настоящая революция в математике! Дроби, простые и десятичные, а также «любимые» школьниками логарифмы появились после введения позиционной десятичной системы счисления.
Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Принцип один и тот же: основание и набор цифр. Однако наибольшее практическое значение имеют двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем последние две используются в основном не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.
Зная, как устроены системы счисления, можно сформулировать правила перевода из одной системы в другую. Проще всего осуществлять перевод между системами, у которых
основания – степень одного числа: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной. Сложнее переходить от десятичной записи к двоичной и т. п. и наоборот. Впрочем, это тема для отдельного разговора.
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные.
Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не
зависит от позиции (разряда).
Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости
от её места в строке, соответствует только 1 предмет.
Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.
Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.
Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению
50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)
одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,
то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450
(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может
отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде
секунд и минут существует 60 разнообразных символов ( «00» - «59»), в разряде часов – 24 символа
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в
числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции
Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда
меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.
Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в
последовательности цифр, которые изображают число.
Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное
множество позиционных систем.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
- непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
- позиционными (значение цифры зависит от позиции).
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления —
количество различных цифр, используемых в этой системе.
отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
По определению веса разряда
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
- пронумеровать разряды исходного числа;
- записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
- выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Цель урока: Представить в игровой форме изученный материал темы «Системы счисления» и проверить знания учащихся с целью подготовки к контрольной работе.
Задачи урока:
Систематизировать и обобщить ЗУН учащихся при изучении тем «Позиционные, непозиционные СС», «Перевод чисел из одной СС в другие», «Арифметические операции в двоичной СС»;
Повторить алгоритмы перевода из одной СС в другие: перевод в десятичную СС, из десятичной СС, перевод дробных и смешанных чисел, перевод целых и смешанных чисел из двоичной в восьмеричную, шестнадцатеричную СС и обратно;
Подготовить учащихся к итоговой контрольной работе по теме «Системы счисления»
Развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;
Расширять кругозор и развивать познавательный интерес, речь и внимание учащихся, творческое и логическое мышление посредством выполнения занимательных задач);
Развивать коммуникативные способности при работе в группе, формировать умение самооценки.
Повышать уровень информационной культуры, мотивации учащихся путем использования нестандартных заданий;
Формирование творческого подхода к решению задач, четкости и организованности, умения оценивать свою деятельность и деятельность своих одноклассников;
Воспитывать дух здорового соперничества, дружелюбного отношения друг к другу.
умение формулировать собственные учебные цели данной темы, принимать решение, брать ответственность на себя (быть лидером в группе, принимать решение в случае нестандартной ситуации, нести ответственность за выбор.
понимание места данной информатики в системе других наук: математики, физики,истории, применение знаний, полученных в данной теме, в другой деятельности, в повседневной жизни;
Учебно-познавательные: знание определений изучаемых понятий системы счисления, видов систем счисления: унарные, позиционные, непозиционные, основание, алфавит, цифра, базис, разряд; умение задавать вопросы к изучаемым фактам, выбирать необходимые алгоритмы для перевода алгоритмы из одной СС в другие: перевод в десятичную СС, из десятичной СС, перевод дробных и смешанных чисел, перевод целых и смешанных чисел из двоичной в восьмеричную, шестнадцатеричную СС и обратно из одной СС в другие, овладение измерительными навыками;
Информационные: владеть навыками работы со справочной литературой; самостоятельно извлекать, систематизировать, анализировать, отбирать необходимую для решения учебной задачи информацию; владеть навыками использования технических устройств ПК и программного обеспечения.
Коммуникативные: уметь организовываться, представить свою группу; владеть способами деятельности в группе; следовать этическим нормам и правилам ведения диалога; уметь высказать свое суждение и спросить мнение партнера.
Компетенции личностного самосовершенствования: владеть навыками оценки и самооценки
Планируемые результаты:
Учащиеся владеют умениями работать со справочной литературой, принимать решения в нестандартной ситуации, всеми вышеперечисленными понятиями «Системы счисления, виды систем счисления: унарные, позиционные, непозиционные, основание, алфавит, цифра, базис, разряд» и оперируют ими; знают различие между позиционными и непозиционными СС, знают алгоритмы перевода из одной СС в другие, умеют переводить целые, числа из одной СС в другие, используя алгоритмы перевода, выполняют арифметические операции с двоичными числами, решают примеры и задачи в других позиционных СС, занимательные задачи.
Формы и методы обучения:
Методы: вербальный, наглядный, репродуктивный, проблемно–поисковый, исследовательский, практический.
Методы контроля: устный, тестовый.
Приемы: проблемные вопросы.
Формы: индивидуальная, групповая, фронтальная.
Основные понятия и термины: Системы счисления, виды СС (унарные, позиционные, непозиционные), основание, алфавит, цифра, базис, разряд, алгоритмы переводы из одной СС в другие, связь между двоичной и шестнадцатеричной СС, особенности двоичной арифметики, правила арифметических действий в других СС, навыки работы на ПК, программное обеспечение ПК.
Основные источники информации:
1. Семакин И.Г. Информатика. Базовый курс. 9 класс (2010 год)
2. Семакин И.Г.Задачник-практикум 7-11 класс (2010 год)
Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран;
Раздаточный материал:
Жетончики с двоичными числами;
Приложение № 1 Решение заданий «Системы счисления» №1-6
Приложение №2 Компьютерный тест «Системы счисления»;
Для удаления окон теста используется файл «Завершение VARIANT 1 2», т.к окна теста при этом открываются и на рабочем столе, ярлык файла «Завершение VARIANT 1 2», необходимо так же расположить на рабочем столе для удаления теста с рабочего стола.
Приложение№3 Оценочные листы.
Ход урока
Организационный момент (8 мин.):
Эпиграф к уроку: «Все есть число»- говорили Пифагорийцы.
Учитель: Как вы думаете, почему я выбрала такой эпиграф к нашему уроку? (Потому что мы изучаем тему «Системы счисления»; мы каждый день имеем дело с разными Системами счисления: 60 СС – время,24-количество часов в сутках, 7 - дни недели, 12 – месяцы, 2 – компьютерная СС, 10 – арабские цифры и т.д.; потому что нас окружает множество чисел…)
Учитель: Сегодня на уроке мы повторим, обобщим и приведем в систему наши знания по теме « Системы счисления», но не в обычной форме, а в форме игры. Ваша задача - показать свои знания и умения по этой теме в ходе выполнения заданий. Прежде чем начать игру, предлагаю вам разбиться на команды следующим образом…
Деление на группы:
2 команды по 6 человек, судьи -2 человека, которые проверяют правильность выполнения заданий, начисляют баллы за конкурсы и делают записи в специальной таблице.
Учитель:При входе в кабинет каждый из вас получил номер в двоичной СС, вам нужно, используя ваши знания, полученные на прошлых уроках, перевести числа в десятичную СС и вы узнаете, в какой группе будете работать. (Учащиеся, переводят номера, используя алгоритм перевода в десятичное число, учитель выводит слайд на экран с правильными ответами). Учащиеся знакомятся с составом команд.
Команды представляют свое название и девиз в течение 3 мин.
Повторение (30мин.)
Учитель: «Все есть число», -говорили пифагорийцы,подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.
А как умеют работать с числами участники сегодняшней игры? Сейчас нам предстоит узнать.
Задание 1.1 (За правильный ответ 2 балла).
В бумагах одного чудака – математика найдена его биография. Она начиналась следующими удивительными словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей».
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка? Восстановите их истинный смысл.
(Ответ: недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Основание этой системы определяется фразой: «спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком…». Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 - в десятичной), а, следовательно, основанием системы является 5. Т. е. все числа в автобиографии записаны в пятеричной системе счисления.
44 -> 24, 100 ->25, 34 - >19, 11 ->6, 10 ->5)
Один мудрец писал «мне 33 года, моей матери 124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года». Какую систему счисления использовал мудрец, и сколько ему лет (За правильный ответ 2 балла).
(Решение:33х + 124х + 131х = 343х
3х + 3 + х 2 + 2х + 4 + х 2 + 3х + 1 = 3х2 + 4х + 3
х 2 – 4х – 5 = 0
х1 = 5, х2 = – 1 (не является решением)
Один человек имел 100 монет. Он поровну разделил их между двумя своими детьми. Каждому досталось по 11 монет и одна осталась лишней. Какая система счисления использовалась, и сколько было монет? (За правильный ответ 2 балла).
100х = 11х + 11х + 1
х 2 – 2х – 3 = 0
х1 = 3, х2 = – 1 (не является решением)
Кроссворд «Основные понятия системы счисления» (За правильный ответ 3 балла).
По горизонтали:
Система, в которой количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе (непозиционная)
Символы, при помощи которых записывается число (цифра)
Самый яркий пример непозиционной системы счисления (римская)
По вертикали:
Система, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе (позиционная)
Как называется позиция цифры в числе (разряд)
Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел(алфавит)
Задание 3. Диктант (За все правильные ответы 7 баллов).
Весь материал - в архиве.
Читайте также: