Соотношение между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной

Обновлено: 04.07.2024

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

240. В п. 148 мы узнали, как разделить окружность на 4 равных части: для этого надо в круге O построить 2 перпендикулярных диаметра. Соединив точки деления, получим правильный вписанный в круг 4-угольник ABCD (чер. 236).

Из ∆AOB, в котором O прямой, имеем:

AB 2 = AC 2 + OB 2

Назовем сторону AB чрез a₄ (чтобы показать, что это — сторона 4-угольника) и радиус круга через R. Тогда

a₄ 2 = R 2 + R 2 = 2R 2 ,

241. В том же п. 148 мы узнали, что хорда, стягивающая дугу, равную 6-й части окружности, равна радиусу; другими совами: сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу , т. е.

где a₆ обозначает сторону правильного вписанного шестиугольника.

242. Разделив окружность на шесть равных частей и соединив точки деления чрез одну, получим правильный треугольник, вписанный в круг, - обозначим его сторону чрез a₃. Пусть ABC (чер. 237) есть правильный треугольник, вписанный в круг O. Выразим его сторону чрез радиус R круга.

Мы предварительно делили окружность на 6 равных частей, и одна из этих точек деления, точка D, лежит на ◡CB. Легко сообразить, что ◡ACD = ◡ABD, так как каждая состоит из 3 шестых частей окружности. Поэтому точка D лежит на одном диаметре с точкою A. Построив этот диаметр AD и хорду DB, получим ∆ABD, у которого угол при B прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно,

или, зная, что AB = a₃, AD = 2R и DB = R (ибо a₆ = R), получим a₃ 2 = 4R 2 – R 2 = 3R 2 ,

243. Мы можем также, пользуясь п. 240, найти a6 (т. е. сторону правильного вписанного восьмиугольника), a16 и т. д., а пользуясь п. 241, найти a12, затем a24 и т. д. Найдем, например, выражение a12 чрез R. Для этого чрез O (чер. 237) построим OE ⊥ DB и затем хорду DE; тогда DE = a12. Сторона правильного шестиугольника DB разделится прямою OE в точке K пополам; DB = R, следовательно, DK = R/2. Из ∆ODK имеем:

244. Мы можем еще научиться делить окружность на 5, на 10, на 20 и т. д. Равных частей и вместе с тем научиться строить правильные многоугольники об 5, об 10, об 20 и т. д. Сторонах, а также найти выражения сторон этих многоугольников чрез радиус круга. Удобнее начать с правильного десятиугольника.

Чтобы исследовать эту задачу, допустим, что ◡AB (чер. 238) есть десятая часть окружности и хорда AB = a₁₀. Тогда ◡AB = 36° и, следовательно, ∠AOB = 36°; ∆AOB равнобедренный (AO = OB, как радиусы). Так как угол при его вершине = 36°, то на долю углов при основании остается 180° – 36° = 144°, но эти углы равны, следовательно, ∠A = ∠B = 72°.

Построим биссектор BC угла B; тогда ∠ABC = 36° и ∠CBO = 36°. Далее видим, что ∠ACB (внешний для ∆OCB) = ∠O + ∠CBO = 36° + 36° = 72°. Отсюда заключаем: 1) ∆ABC равнобедренный (углы при A и C равны), - следовательно, CB = OC или OC = AB.

Так как далее биссектор внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные двум его другим сторонам (п. 215), то

Но AB = CO и OB = OA, следовательно,

Отсюда видим, что для получения отрезка OC, равного стороне AB правильного десятиугольника, надо радиус круга OA разделить на такие два отрезка AC и CO, чтобы один из них был средним пропорциональным между всем радиусом OA и другими отрезком AC.

Такое деление отрезка называется иногда золотым делением , но обычно называют его делением отрезка в крайнем и среднем отношении. Как выполнять такое деление, будет указано в следующем п., а здесь мы найдем выражение стороны правильного вписанного десятиугольника (a₁₀) чрез радиус круга.

Из (1) имеем (AO = R, CO = a₁₀, следовательно, AC = R – a₁₀):

245. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Пусть требуется данный отрезок AB (чер. 239) разделить на такие две части, чтобы одна из них была среднею пропорциональною между всем отрезком AB и его остальною частью.

Для этого построим BC ⊥ AB и отложим BC = AB; затем, принимая BC за диаметр, построим круг, – его центр O расположен в середине отрезка BC. Построим далее прямую AO, которая пересекает круг в точках D и E и наконец отложим на AB отрезок AM = AD. Тогда в точке M отрезок AB разделится так, как это требовалось.
В самом деле AE есть секущая и AB касательная к кругу O. Поэтому (п. 221) имеем:

Вычтем из каждого отношения этой пропорции по 1; получим:

AE/AB – 1 = AB/AD – 1,

(AE – AB)/AB = (AB – AD)/AD,

или, так как AE – AB = AE – BC = AE – DE = AD = AM и AB – AD = AB – AM = MB,

AM/AB = MB/AM или MB/AM = AM/AB,

что и доказывает, что мы достигли требуемого результата.

Заметим, что AM/AB < 1, ибо AM < AB, следовательно, и MB/AM < 1 или MB < AM, т. е. средним пропорциональным является большая из двух частей, на которые мы делим отрезок AB.

246. Теперь мы можем построить правильный вписанный в круг десятиугольник: надо разделить радиус круга в крайнем и среднем отношении и строить хорды, равные большей из полученных частей.

Если разделить окружность на 10 равных частей и соединять точки деления чрез одну, то получим правильный пятиугольник, вписанный в этот круг.

Так как , то легко получить пятнадцатую часть окружности: надо разделить ее на 6 и на 10 равных частей и вычесть из шестой доли окружности ее десятую долю, – этим решается вопрос построения правильного пятнадцатиугольника.

Мы можем затем удваивать число сторон построенных правильных многоугольников. Тогда получим правильные многоугольники о 20 сторонах, о 40 и т. д. сторонах, о 30 сторонах, о 60 сторонах и т. д.

248. Пусть имеем какой-либо правильный многоугольник об n сторонах. Легко вычислить каждый внутренний угол такого многоугольника. В самом деле, мы знаем (п. 81), что сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле 2d(n – 2) или в градусах 180°(n – 2).

Так как в правильном многоугольнике все углы между собою равны и всех их n, то каждый угол равен 180°(n – 2)/n.
Так, например, угол правильного шестиугольника = 180° · 4 / 6 = 120°, угол правильного десятиугольника = 180° · 8 / 10 = 144°, угол правильного десятиугольника = 180° · 14 / 16 = 157°30' и т. д.

Мы можем увидеть из этой же формулы, что с увеличением числа сторон угол многоугольника все увеличивается и приближается к 180°. В самом деле, этот угол равен

С увеличением числа n дробь 360°/n все уменьшается и может быть сделана, как угодно мала.

Затем из этой же формулы видим, что внутренний угол правильного многоугольника зависит только от числа сторон, не не зависит от самой стороны: если мы построим 2 правильных многоугольника ABC… и A'B'C'. (чер. 242) с одинаковым числом сторон, то, несмотря на то, что у одного каждая сторона больше каждой стороны другого, их внутренние углы должны быть равны между собою. Соединим еще центры этих многоугольников O с вершинами A и B, O' с вершинами A' и B'. Тогда ∆OAB

∆O'A'B', так как углы в этих треугольниках при вершинах A, B, A' и B' равны между собою, ибо каждый из них есть половина одного из равных внутренних углов многоугольников; построим еще апофемы OK и O'K' многоугольников. Тогда имеем:

AB/A'B' = OA/O'A' = OK/O'K' (последнее на основании п. 211),

т. е. отношение сторон правильных одноименных многоугольников равно отношению их радиусов и равно отношению их апофем .

Называя число сторон каждого многоугольника чрез n и умножая оба члена первого отношения на n, отчего это отношение не изменится, получим:

(AB · n) / (A'B' · n) = OA/O'A' = OK/O'K'.

По AB · n есть периметр первого многоугольника; также A'B' · n — периметр второго. Следовательно,
отношение периметров правильных одноименных многоугольников равно отношению их радиусов или их апофем .

249. Теперь мы можем найти зависимость между стороною какого-либо правильного многоугольника, вписанного в круг (ее обозначим an), стороною одноименно описанного около того же круга правильного многоугольника (ее обозначим bn) и радиусом R этого круга. Пусть ABCD. есть правильный многоугольник, вписанный в круг O (чер. 243); следовательно, в точках A, B, C, D и т. д. Круг разделен на равные части. Поэтому, построив в этих точках касательные к кругу, получим правильный описанный многоугольник MNP с тем же числом сторон. Построим апофему OK вписанного многоугольника, а апофемою описанного служит радиус нашего круга (например, OB). Тогда к нашим двум многоугольникам применим предыдущий п., и мы имеем:

250. В п. 243 мы указали возможность находить формулы для a₈, a₁₆ и т. д. для a₁₂, a₂₄ и т. д. Здесь дадим общую формулу, выражающую сторону правильного многоугольника, описанного в круг, с двойным числом сторон чрез сторону данного и через радиус круга. Пусть сторона данного вписанного правильного многоугольника есть AB (чер. 244), обозначим ее a_n. Построим OKC ⊥ AB; тогда OK есть апофема нашего правильного многоугольника и она равна, как найдено в предыдущем п.,

Правильные многоугольники

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

Правильный многоугольник — это такой многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Равносторонний треугольник и квадрат — правильные многоугольники. Если разделить окружность на п равных частей и соединить соседние точки отрезками, то получим правильный многоугольник. Вокруг всякого правильного многоугольника можно описать окружность, в него также можно вписать окружность, и центры этих окружностей совпадают.

Мы научимся строить правильный треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник при помощи циркуля и линейки и выведем формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной окружностей с длиной стороны правильного многоугольника.

Если число сторон вписанного правильного многоугольника увеличивать, то его периметр будет стремиться к длине окружности, а площадь — к площади круга. Отсюда можно получить формулы длины окружности и площади круга: С = 2πR и S = πR 2 .

Вы знаете, что углы измеряются в градусах. Градус, как известно, равен 1/180 части развернутого угла. Мы познакомимся еще с одной очень важной единицей измерения углов, которая связана с окружностью, — 1 радианом. 1 рад = 57°.

ТАБЛИЦА «Правильные многоугольники»

1. Правильный многоугольник. Теорема об описанной и вписанной окружностях.

Правильным называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Теорема. Вокруг всякого правильного многоугольника можно описать окружность. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.

Доказательство. Проведем биссектрисы двух углов правильного многоугольника. Получим равнобедренный треугольник (углы при основании равны как половины равных углов). Соединив точку пересечения биссектрис с третьей вершиной многоугольника, получим треугольник, равный 1-му (по двум сторонам и углу между ними). Продолжая соединять эту точку с остальными вершинами, получим множество равных равнобедренных треугольников. Тогда полученная точка равноудалена от всех вершин правильного многоугольника. Значит, она — центр описанной окружности. Так как высоты этих треугольников, опущенные на их основания, равны, то данная точка равноудалена и от сторон правильного многоугольника. Значит, она — центр вписанной окружности.

2. Выражение стороны а через R и r для правильного n-угольника.

Соединим центр правильного многоугольника с двумя соседними вершинами. Получим равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 360°/n. Половина его равна 180°/n, где n — число сторон. Из прямоугольного треугольника находим:

Правильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.

На рисунке видны некоторые правильные многоугольники: треугольник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:

из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.

Если провести все диагонали из одной вершины, любой \(n\)-угольник можно поделить на \(n-2\) треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле 180 ° ⋅ n − 2 .

Так как все углы правильного \(n\)-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна 180 ° ⋅ n − 2 n .

Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника .

Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.

В треугольнике \(AOK\) связаны сторона \(a\) (половина стороны \(AH\)), радиус описанной окружности \(OA = R\) и радиус вписанной окружности \(OK = r\).

a 2 = R ⋅ sin 180 ° n ; a = 2 R ⋅ sin 180 ° n ; R = a 2 sin 180 ° n ; a 2 = r ⋅ tg 180 ° n ; a = 2 r ⋅ tg 180 ° n ; r = a 2 tg 180 ° n ; r = R ⋅ cos 180 ° n ; R = r cos 180 ° n .

Так как \(n\)-угольник состоит из \(n\) треугольников, равных \(AOH\), то

Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.

Читайте также: